2024/9/25信息学科立体化教材第2章 离散时间信号与离散时间系统2.1 2.1 离散离散时间时间信号信号2.2 2.2 离散离散时间时间系系统统 2.3 2.3 离散离散时间时间信号和系信号和系统统的的频频域描画域描画 2.4 2.4 延延续续信号的抽信号的抽样样 2.5 2.5 离散离散时间时间信号的抽信号的抽样样 2.6 2.6 序列的抽取与插序列的抽取与插值值 X2024/9/25信息学科立体化教材2.1 离散离散时间时间信号信号2.1.1 几种常用序列几种常用序列2.1.2 序列的周期性序列的周期性 2.1.3 用用单单位脉冲序列来表示恣意序列位脉冲序列来表示恣意序列 2.1.4 序列的运算序列的运算 2.1.5 序列的能量序列的能量 X2024/9/25信息学科立体化教材2.1 离散离散时间时间信号信号 离散离散时间信号信号(序列序列) 离散离散时间信号只在离散信号只在离散时间上上给出函出函数数值，是，是时间上不延上不延续的序列。离散的序列。离散时间信号在数学上可用信号在数学上可用时间序列序列n来表示，来表示，n的的取取值范范围为整数，整数，n取其他取其他值没有意没有意义。 离散离散时间信号可以是由模信号可以是由模拟信号信号经过采采样得到，例如得到，例如对模模拟信号信号进展等展等间隔采隔采样， 在数在数值上与模上与模拟信号的关系信号的关系为X2024/9/25信息学科立体化教材2.1 离散时间信号离散时间信号 离散离散时间信号的信号的时域表示域表示 离散离散时间信号可以用公式表示信号可以用公式表示 离散离散时间信号信号还可以用集合符号可以用集合符号.表示表示X2024/9/25信息学科立体化教材2.1 离散时间信号离散时间信号 离散离散时间信号也可以用信号也可以用图形表示形表示x(n)x(3)x(1)x(4)x(-4)x(-3)x(-2)x(2)x(-1)x(0)-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 nX2024/9/25信息学科立体化教材2.1.1 几种常用序列几种常用序列 1. 单单位脉冲序列位脉冲序列 单单位抽位抽样样 (n)1-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 nX2024/9/25信息学科立体化教材2.1.1 几种常用序列几种常用序列 2. 单单位位阶跃阶跃序列序列 和和 的关系的关系为为 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 nu (n)1X2024/9/25信息学科立体化教材2.1.1 几种常用序列几种常用序列 3. 矩形序列矩形序列 和和 、 的关系的关系为为： 0 1 2 3 N-1 nRN (n)1X2024/9/25信息学科立体化教材2.1.1 几种常用序列几种常用序列 4. 实实指数序列指数序列 式中，式中， a为实为实数。当数。当|a|1时时，序列，序列是是发发散的。散的。a为负为负数数时时，序列是，序列是摆动摆动的。的。 a20 1 2 3 4 nanu (n)a4a3a1X2024/9/25信息学科立体化教材2.1.1 几种常用序列几种常用序列 5. 复指数序列复指数序列 或或 它具有它具有实实部和虚部，部和虚部， 0是复正弦的数字域是复正弦的数字域频频率。率。 假假设设用极坐用极坐标标表示，那么表示，那么 因此因此X2024/9/25信息学科立体化教材2.1.1 几种常用序列几种常用序列 6. 正弦型序列正弦型序列 式中：式中：A为为幅度，幅度， 0为为数字域的数字域的频频率，它反映了序列率，它反映了序列变变化化的速率，的速率，为为起始相位。起始相位。 X2024/9/25信息学科立体化教材2.1.1 几种常用序列几种常用序列 7. 用用MATLAB产产生离散信号的函数生离散信号的函数 MATLAB中中许许多函数都可用来多函数都可用来产产生离散信号，例如三生离散信号，例如三角函数、指数函数、角函数、指数函数、rand函数等，关于函数等，关于这这些函数的用法可些函数的用法可参参见见MATLAB中的中的help。这这里主要引里主要引见见信号信号处处置中的公用置中的公用函数。函数。 (1)单单位脉冲函数位脉冲函数 单单位脉冲序列的位脉冲序列的产产生函数如下：生函数如下： X2024/9/25信息学科立体化教材2.1.1 几种常用序列几种常用序列 function x,n = impseq(n0,n1,n2) % 产产生生 x(n) = delta(n-n0); n1 = n,n0 = n2 % x,n = impseq(n0,n1,n2) if (n0 n2) | (n1 n2) error(参数必需参数必需满满足足 n1 = n0 = n2) end n = n1:n2; %x = zeros(1,(n0-n1), 1, zeros(1,(n2-n0); x = (n-n0) = 0; X2024/9/25信息学科立体化教材2.1.1 几种常用序列几种常用序列 (2)单单位位阶跃阶跃函数函数 单单位位阶跃阶跃序列的序列的产产生函数如下：生函数如下： function x,n = stepseq(n0,n1,n2) % 产产生生 x(n) = u(n-n0); n1 = n,n0 = n2 % x,n = stepseq(n0,n1,n2) if (n0 n2) | (n1 n2) error(参数必需参数必需满满足足 n1 = n0 = 0; X2024/9/25信息学科立体化教材2.1.1 几种常用序列几种常用序列 例例2.1 用用MATLAB产生各种离散序列。生各种离散序列。 解解 MATLAB程序如下：程序如下：x1, n1=impseq(0,-5,5);subplot(2,2,1);stem(n1,x1);xlabel(n);ylabel(x(n); x2, n2=stepseq(0,-1,10);subplot(2,2,2);stem(n2,x2);xlabel(n);ylabel(x(n);xlim(n2(1),n2(end) X2024/9/25信息学科立体化教材2.1.1 几种常用序列几种常用序列n3 = -1:10;x3 = stepseq(0,n3(1),n3(end)-stepseq(5,n3(1),n3(end);subplot(2,2,3);stem(n3,x3);xlabel(n);ylabel(x(n);xlim(n3(1),n3(end) n4=0:20;x4=sin(0.3*n4);subplot(2,2,4);stem(n4,x4);xlabel(n);ylabel(x(n);X2024/9/25信息学科立体化教材2.1.1 几种常用序列几种常用序列X2024/9/25信息学科立体化教材2.1.1 几种常用序列几种常用序列 例例2.2 用用MATLAB产生复指数序列。生复指数序列。 解解 MATLAB程序如下：程序如下： n=0:1:20; alpha=-0.1+0.5j; x=exp(alpha*n); subplot(2,2,1); stem(n,real(x); title(实部部); xlabel(n)X2024/9/25信息学科立体化教材2.1.1 几种常用序列几种常用序列 subplot(2,2,3); stem(n,imag(x); title(虚部虚部); xlabel(n) subplot(2,2,2); stem(n,abs(x); title(振幅振幅); xlabel(n) subplot(2,2,4); stem(n,(180/pi)*angle(x); title(相位相位); xlabel(n) X2024/9/25信息学科立体化教材2.1.1 几种常用序列几种常用序列X2024/9/25信息学科立体化教材2.1.2 序列的周期性序列的周期性 假假设对一切一切n存在一个最小的正整数存在一个最小的正整数N，使下面等式成，使下面等式成立：立： 那么称序列那么称序列x(n)为周期性序列，周期周期性序列，周期为N。 下面下面讨论正弦序列的周期性。正弦序列的周期性。设 那么那么 假假设 为整数整数时，那么，那么 根据周期序列的定根据周期序列的定义可知，可知，这时正弦序列正弦序列为周期序列，其周期序列，其周期周期满足足 N、k必需必需为整数。整数。 X2024/9/25信息学科立体化教材2.1.2 序列的周期性序列的周期性 1当当 为整数整数时，k=1，正弦序列是以正弦序列是以 为周期的周期周期的周期序列。序列。 例如，例如， ，这里里 ，所以它是一个周期序列，所以它是一个周期序列，最小周期最小周期为N=10， 10nx (n)=sin (0n)X2024/9/25信息学科立体化教材2.1.2 序列的周期性序列的周期性 2当当 为有理数有理数时，设 其中，其中，k，N为互素的整数，那么互素的整数，那么 为最小正整最小正整数，此数，此时正弦序列正弦序列为周期序列，其周期将大于周期序列，其周期将大于 。 3当当 是无理数是无理数时，那么任何整数，那么任何整数k都不能使都不能使N为正整数，正整数，这时正弦序列不是周期序列。正弦序列不是周期序列。 X2024/9/25信息学科立体化教材N=10N=20无周期无周期X2024/9/25信息学科立体化教材2.1.3 用用单单位脉冲序列来表示恣意序列位脉冲序列来表示恣意序列 恣意序列都可以表示成恣意序列都可以表示成单位脉冲序列的移位加位脉冲序列的移位加权和，和，即即 例如例如 可表示成可表示成 X2024/9/25信息学科立体化教材2.1.4 序列的运算序列的运算 序列的运算包括移位、反褶、和、序列的运算包括移位、反褶、和、积、标乘、累加、乘、累加、差分运算、卷差分运算、卷积、尺度、尺度变换等。等。 1. 移位移位 移位序列移位序列y(n)为 当当m为正正时，x(n-m)那么是指序列逐那么是指序列逐项依次延依次延时右右移移 m位而位而给出的一个新序列，当出的一个新序列，当m为负时， x(n-m)是指是指依次超前左移依次超前左移 m位。位。 X2024/9/25信息学科立体化教材2.1.4 序列的运算序列的运算 2. 反褶反褶 序列的反褶是将序列以序列的反褶是将序列以n=0的的纵轴为对称称轴进展展对褶。褶。 X2024/9/25信息学科立体化教材2.1.4 序列的运算序列的运算 3. 和和 两序列的和是指同序号两序列的和是指同序号n的序列的序列值逐逐项对应相加而构相加而构成的一个新序列。和序列成的一个新序列。和序列y(n)可表示可表示为 X2024/9/25信息学科立体化教材2.1.4 序列的运算序列的运算 4. 积 两序列相乘是指同序号两序列相乘是指同序号n的序列的序列值逐逐项对应相乘。乘相乘。乘积序列序列y(n)可表示可表示为 X2024/9/25信息学科立体化教材2.1.4 序列的运算序列的运算 5. 标乘乘 序列序列x(n)的的标乘是指乘是指x(n)的每个序列的每个序列值乘以常数乘以常数a。标乘序列乘序列y(n)可表示可表示为 X2024/9/25信息学科立体化教材2.1.4 序列的运算序列的运算 6. 累加累加 设设某序列某序列为为x(n) ，那么，那么x(n)的累加序列的累加序列y(n)定定义为义为 它表示它表示y(n)在某一个在某一个n0上的上的值值y(n0)等于在等于在这这一个一个n0上上的的值值x(n0)与以前一切与以前一切n上的上的值值x(n)之和。之和。 X2024/9/25信息学科立体化教材2.1.4 序列的运算序列的运算 7. 差分运算差分运算 前向差分前向差分 后向差分后向差分 比比较较以上两式，以上两式，显显然有然有 X2024/9/25信息学科立体化教材2.1.4 序列的运算序列的运算 8. 卷卷积积和运算和运算 X2024/9/25信息学科立体化教材2.1.4 序列的运算序列的运算 9. 尺度尺度变换变换 抽取抽取(decimation) M在原序列中每隔在原序列中每隔M-1点抽取一点点抽取一点f kf Mk M为为正整数正整数内插内插(interpolation) M在序列两点之在序列两点之间插入插入M-1个点个点X2024/9/25信息学科立体化教材2.1.4 序列的运算序列的运算 例例2.3 用用MATLAB实现两序列相乘和相加。两序列相乘和相加。 解解 MATLAB程序如下：程序如下： clc; clear; x1=0,1,2,3,4,3,2,1,0;n1=-2:6; x2=2,2,0,0,0,-2,-2; n2=2:8; y1,n=sigmult(x1,n1,x2,n2); y2,n=sigadd(x1,n1,x2,n2); subplot(2,2,1);stem(n1,x1);title(序列序列x1) xlabel(n);ylabel(x1(n);X2024/9/25信息学科立体化教材2.1.4 序列的运算序列的运算 subplot(2,2,2);stem(n2,x2);title(序列序列x2) xlabel(n);ylabel(x2(n); subplot(2,2,3);stem(n,y1);title(两序列相乘两序列相乘) xlabel(n);ylabel(y1(n); subplot(2,2,4);stem(n,y2);title(两序列相加两序列相加) xlabel(n);ylabel(y2(n); X2024/9/25信息学科立体化教材2.1.4 序列的运算序列的运算X2024/9/25信息学科立体化教材2.1.5 序列的能量序列的能量 序列序列x(n)的能量的能量E定定义为序列各抽序列各抽样值的平方和，即的平方和，即 X2024/9/25信息学科立体化教材2.3 离散离散时间时间信号的信号的频频域描画域描画 2.3.1 离散离散时间时间信号的傅立叶信号的傅立叶变换变换2.3.2 离散离散时间时间信号的傅立叶信号的傅立叶变换变换性性质质 2.3.3 序列傅立叶序列傅立叶变换变换的的对对称性称性X2024/9/25信息学科立体化教材2.3.1 离散离散时间时间信号的傅立叶信号的傅立叶变换变换 延延续时间周期信号周期信号xT(t)的傅立叶的傅立叶变换定定义为 延延续时间非周期信号非周期信号x(t)的傅立叶的傅立叶变换定定义为X2024/9/25信息学科立体化教材2.3.1 离散离散时间时间信号的傅立叶信号的傅立叶变换变换 DTFT:离散离散时间傅里叶傅里叶变换(Discrete Time Fourier Transform) 离散离散时间信号信号x(n)的傅立叶的傅立叶变换定定义为 X(e j )的傅立叶反的傅立叶反变换为 在物理意在物理意义上，上， X(e j )表示序列的表示序列的频谱， 为数字域数字域频率。率。 X(e j )普通普通为 的复的复变函数，可表示函数，可表示为 X2024/9/25信息学科立体化教材2.3.1 离散时间信号的傅立叶变换离散时间信号的傅立叶变换 其中，其中， XR(e j ) ， XI(e j )分分别为X(e j )的的实部和虚部，部和虚部，通常称通常称|X(e j )|为幅幅频特性或幅度特性或幅度谱，而，而( )=argX(e j )称称为相相频特性或相位特性或相位谱，并且有，并且有 X2024/9/25信息学科立体化教材2.3.1 离散时间信号的傅立叶变换离散时间信号的傅立叶变换 例例2.14 求矩形序列的傅立叶求矩形序列的傅立叶变换 解解 其幅度其幅度谱和相位和相位谱分分别为 X2024/9/25信息学科立体化教材2.3.1 离散时间信号的傅立叶变换离散时间信号的傅立叶变换 0222 /N|X (ej)|N0(N=5)X2024/9/25信息学科立体化教材2.3.1 离散时间信号的傅立叶变换离散时间信号的傅立叶变换 离散离散时间信号的傅立叶信号的傅立叶变换具有以下两个特性：具有以下两个特性： (1) X(e j )是是 的周期函数，周期的周期函数，周期为2 。由于。由于e -j n=e j( +2)n ，故有，故有 (2)当当x(n)为实序列序列时， X(e j )的幅的幅值|X(e j )|在区在区间02内是偶内是偶对称函数，相位称函数，相位argX(e j )是奇是奇对称函数。称函数。 X2024/9/25信息学科立体化教材2.3.1 离散时间信号的傅立叶变换离散时间信号的傅立叶变换 利用利用MATLAB可以可以实现离散离散时间信号的傅立叶信号的傅立叶变换，并，并绘出幅出幅频特性和相特性和相频特性曲特性曲线，其，其MATLAB函数如下函数如下 function X,magX,angX = FourierTran(x,n,dot) % 计算离散序列的付立叶算离散序列的付立叶变换 % X,magX,angX = FourierTran(x,n) % 或或X,magX,angX = FourierTran(x,n,dot) if nargin 3 dot=600; end k=-dot:dot; w=(pi/dot)*k; X2024/9/25信息学科立体化教材2.3.1 离散时间信号的傅立叶变换离散时间信号的傅立叶变换 X=x*(exp(-j).(n*w); magX=abs(X); argX=angle(X); subplot(211); plot(w/pi,magX); xlabel(频频率率(单单位位pi);ylabel(|X(e jomega)|); title(幅幅频频特性特性); subplot(212); plot(w/pi,argX/pi); xlabel(频频率率(单单位位pi);ylabel(弧度弧度/pi); title(相相频频特性特性); X2024/9/25信息学科立体化教材2.3.1 离散时间信号的傅立叶变换离散时间信号的傅立叶变换 例例2.15 用用MATLAB实现例例2.14序列的傅立叶序列的傅立叶变换 解解 MATLAB程序如下程序如下 x=1,1,1,1,1;n=0:4; FourierTran(x,n); X2024/9/25信息学科立体化教材2.3.2 离散离散时间时间信号的傅立叶信号的傅立叶变换变换性性质质 1. 序列的傅立叶序列的傅立叶变换变换的的线线性性 假假设设序列序列x(n)和和y(n)的傅立叶的傅立叶变换变换分分别为别为X(e j )和和y(e j ) ，即，即 那么那么对对任何常数任何常数a和和b有有 X2024/9/25信息学科立体化教材2.3.2 离散时间信号的傅立叶变换性质离散时间信号的傅立叶变换性质 2. 序列的移位序列的移位 假假设 那么那么 即即时间的移位，的移位，导致致频域相移。域相移。 X2024/9/25信息学科立体化教材2.3.2 离散时间信号的傅立叶变换性质离散时间信号的傅立叶变换性质 3. 频域的相移域的相移 假假设 那么那么 即即频域的相移相当于域的相移相当于对序列序列进展了展了调制。制。 X2024/9/25信息学科立体化教材2.3.2 离散时间信号的傅立叶变换性质离散时间信号的傅立叶变换性质 4. 序列的反褶序列的反褶 假假设 那么那么 X2024/9/25信息学科立体化教材2.3.2 离散时间信号的傅立叶变换性质离散时间信号的傅立叶变换性质 5. 序列乘以序列乘以n 假假设设 那么那么 X2024/9/25信息学科立体化教材2.3.2 离散时间信号的傅立叶变换性质离散时间信号的傅立叶变换性质 6. 序列的共序列的共轭轭 假假设设 那么那么 X2024/9/25信息学科立体化教材2.3.2 离散时间信号的傅立叶变换性质离散时间信号的傅立叶变换性质 7. 序列的卷序列的卷积 假假设 那么那么X2024/9/25信息学科立体化教材2.3.2 离散时间信号的傅立叶变换性质离散时间信号的傅立叶变换性质 8. 序列相乘序列相乘 频频域卷域卷积积 假假设设那么那么 X2024/9/25信息学科立体化教材2.3.3 序列傅立叶序列傅立叶变换变换的的对对称性称性 假假设序列序列xe(n)满足足 那么称序列那么称序列xe(n)为共共轭对称序列。称序列。对于于实序列来序列来说，这一一条件就条件就变成成xe(n) = xe(-n) ，即，即xe(n)为偶偶对称序列。称序列。 假假设序列序列xo(n)满足足 那么称序列那么称序列xo(n)为共共轭反反对称序列。称序列。对于于实序列来序列来说，这一条件就一条件就变成成xo(n) = -xo(-n) ，即，即xo(n)为奇奇对称序列。称序列。 X2024/9/25信息学科立体化教材2.3.3 序列傅立叶变换的对称性序列傅立叶变换的对称性 任一序列均可表示成一个共任一序列均可表示成一个共轭对称序列和一个共称序列和一个共轭反反对称序列之和，即称序列之和，即 其中其中 序列的傅立叶序列的傅立叶变换也可分解成共也可分解成共轭对称分量与共称分量与共轭反反对称分量之和，即称分量之和，即 其中其中 X2024/9/25信息学科立体化教材2.3.3 序列傅立叶变换的对称性序列傅立叶变换的对称性 分分别是共是共轭对称的与共称的与共轭反反对称的，即称的，即 与序列情况一与序列情况一样，假，假设傅立叶傅立叶变换X(e j )是是实函数，且函数，且满足共足共轭对称，那么它是称，那么它是频率的偶函数，即率的偶函数，即X(e j )= X(e -j ) 。假。假设X(e j )是是实函数，且函数，且满足共足共轭反反对称，那么它是称，那么它是频率的奇函数，即率的奇函数，即X(e j )= -X(e -j ) 。 X2024/9/25信息学科立体化教材2.3.3 序列傅立叶变换的对称性序列傅立叶变换的对称性 设序列序列x(n)的傅立叶的傅立叶变换为X(e j ) ，根据前面引，根据前面引见的的性性质得，得， x*(n)的傅立叶的傅立叶变换为X*(e -j ) ， x*(-n)的傅立的傅立叶叶变换为X*(e j ) 。由此可得到的。由此可得到的实部和虚部的傅立叶部和虚部的傅立叶变换分分别为 这阐明序列明序列x(n)实部的傅立叶部的傅立叶变换XR(e j )具有共具有共轭对称性称性质，而其虚部包括，而其虚部包括j在内的傅立叶在内的傅立叶变换Xo(e j )具有共具有共轭反反对称性称性质。 X2024/9/25信息学科立体化教材2.3.3 序列傅立叶变换的对称性序列傅立叶变换的对称性 序列序列x(n)的共的共轭对称分量和共称分量和共轭反反对称分量的傅立叶称分量的傅立叶变换为 这阐明序列明序列x(n)共共轭对称部分的傅立叶称部分的傅立叶变换对应于的于的X(e j )实部，而共部，而共轭反反对称部分的傅立叶称部分的傅立叶变换对应于的于的X(e j )虚部包括虚部包括j在内。在内。 假假设x(n)是是实序列，那么序列，那么这些性些性质将将变得特得特别地地简单和有用。和有用。这时序列的傅立叶序列的傅立叶变换是共是共轭对称的，即称的，即 所以，所以，实序列的傅立叶序列的傅立叶变换的的实部是部是 的偶函数，而的偶函数，而虚部是虚部是 的奇函数。的奇函数。 X2024/9/25信息学科立体化教材2.4 延延续续信号的抽信号的抽样样 离散离散时间信号通常是由延信号通常是由延续时间信号信号经周期抽周期抽样得到得到的。抽的。抽样就是利用周期性抽就是利用周期性抽样脉冲序列脉冲序列p(t)，从延，从延续信号信号xa(t)中抽取一系列的离散中抽取一系列的离散值，得到抽，得到抽样信号即离散信号即离散时间信信号，以表示号，以表示xa(t) 。抽。抽样是模是模拟信号数字化信号数字化处置的第一置的第一环节。 xa(t)再再经幅度量化幅度量化编码后即得到数字信号。后即得到数字信号。 完成抽完成抽样功能的器件称功能的器件称为抽抽样器，抽器，抽样器可以看成是器可以看成是一个一个电子开关。开关每隔子开关。开关每隔T秒秒闭合一次，便得到一个合一次，便得到一个输出出抽抽样值。在理想情况下，开封。在理想情况下，开封锁合合时间无无穷短。短。对实践抽践抽样，闭合合时间是是 秒，但秒，但 T。 X2024/9/25信息学科立体化教材2.4 延续信号的抽样延续信号的抽样p(t)p(t)(d)TT0000tttx a(t)0ttx a(t)电子开关(a)(b)(c)(e)(f)X2024/9/25信息学科立体化教材2.4 延续信号的抽样延续信号的抽样 1.理想抽理想抽样 设模模拟信号信号xa(t) ，冲激函数序列，冲激函数序列T(t)以及抽以及抽样信号信号xa(t)的傅立叶的傅立叶变换分分别为Xa(j )、 M(j )和和Xa(j ) ，可以，可以推推导出傅立叶出傅立叶变换的关系。的关系。 X2024/9/25信息学科立体化教材2.4 延续信号的抽样延续信号的抽样 从上式可以看出，一个延从上式可以看出，一个延续信号信号经过理想抽理想抽样后，其后，其频谱将以抽将以抽样频率率 s=2/T为间隔周期反复，隔周期反复，这就是就是频谱产生的周期延拓，如下生的周期延拓，如下图。留意，。留意，频谱大都是复数，大都是复数，图中中仅画出了其幅度画出了其幅度谱。也就是。也就是说，理想抽，理想抽样信号的信号的频谱，是，是频率的周期函数，其周期率的周期函数，其周期为 s，而，而频谱的幅度与原信号的的幅度与原信号的频谱相差一个常数因子相差一个常数因子1/T。所以除一个常数因子的区。所以除一个常数因子的区别外，每一个延拓的外，每一个延拓的谱分量与原信号的分量与原信号的频谱一一样。因此只需。因此只需各延拓分量与原各延拓分量与原频谱不不发生生频率上的交叠，那么有能率上的交叠，那么有能够恢恢复出原信号。复出原信号。X2024/9/25信息学科立体化教材2.4 延续信号的抽样延续信号的抽样(c)(a)000(b)X2024/9/25信息学科立体化教材2.4 延续信号的抽样延续信号的抽样 这样假假设原信号原信号xa(t)的的频谱Xa(j ) ，限制在某一最高，限制在某一最高频率范率范围内，即内，即 那么称其那么称其为带限信号。当限信号。当对带限信号的抽限信号的抽样满足足 h s /2时，那么原信号的，那么原信号的频谱和各次延拓分量的和各次延拓分量的谱彼此不重叠。彼此不重叠。这时采用一个截止采用一个截止频率率为 s/2的理想低通的理想低通滤波器，就可得波器，就可得到不失真的原信号到不失真的原信号频谱，即可以不失真地复原出原来的延，即可以不失真地复原出原来的延续信号。信号。 假假设原信号的的最高原信号的的最高频率率 h超越超越 s/2，那么各周期，那么各周期延拓分量延拓分量产生生频谱交叠，称交叠，称为混叠景象，因此无法不失真混叠景象，因此无法不失真地复原出原来的延地复原出原来的延续信号。由于信号。由于Xa(j )普通是复数，所以普通是复数，所以混叠也是复数相加。通常称混叠也是复数相加。通常称 s/2为折叠折叠频率或奈奎斯特率或奈奎斯特频率。率。 X2024/9/25信息学科立体化教材2.4 延续信号的抽样延续信号的抽样 2. 抽抽样信号的恢复信号的恢复 假假设满足奈奎斯特抽足奈奎斯特抽样定理，即信号定理，即信号频谱的最高的最高频率率小于折叠小于折叠频率，那么抽率，那么抽样后不会后不会产生生频谱混叠，可知混叠，可知 故将其故将其经过理想低通理想低通滤波器波器 就可得到原信号就可得到原信号频谱，即在，即在输出端就恢复出了原延出端就恢复出了原延续信号。信号。 X2024/9/25信息学科立体化教材2.4 延续信号的抽样延续信号的抽样 理想低通理想低通滤波器的波器的输出出为 上式就是从抽上式就是从抽样信号恢复原延信号恢复原延续信号的抽信号的抽样内插公式。内插公式。 其中其中 称称为内插函数。内插函数。 X2024/9/25信息学科立体化教材2.5 离散离散时间时间信号的抽信号的抽样样 离散离散时间信号信号x(n)的抽的抽样过程如下程如下图，抽，抽样后得到的后得到的序列序列xp(n)称称为离散离散时间抽抽样序列，其抽序列，其抽样周期周期为N。xp (n)x (n)p (n)x(n)nnp(n)xp(n)nX2024/9/25信息学科立体化教材2.5 离散时间信号的抽样离散时间信号的抽样 设序列序列x(n) ，离散，离散时间抽抽样序列序列xp(n)和冲激函数序列和冲激函数序列p(n)的傅立叶的傅立叶变换分分别用用X( )、 Xp( )和和P( )。 可以推可以推导出出 可以看出，一个序列可以看出，一个序列经过抽抽样后得到的离散后得到的离散时间抽抽样序列，其序列，其频谱是原序列的是原序列的频谱的周期延拓，周期的周期延拓，周期为抽抽样频率率 s。如下。如下图。 X2024/9/25信息学科立体化教材2.5 离散时间信号的抽样离散时间信号的抽样XP()XP()2S2S-MM0-2-S2S-22P()-MMX()000X2024/9/25信息学科立体化教材2.5 离散时间信号的抽样离散时间信号的抽样采采样定理：定理： 当抽当抽样频率率满足足 s 2 M。(设原序列的最高原序列的最高频率率为 M)时， 那么各次延拓分量的那么各次延拓分量的谱彼此不重叠。彼此不重叠。 Xp( )在在- M M之之间的部分与的部分与X( )的的频谱一一样(只相差一个系数只相差一个系数)。这时采用一个截止采用一个截止频率率为 s/2的理想低通的理想低通滤波器，就可得到不失真的原序列波器，就可得到不失真的原序列频谱。也就是也就是说，可以不失真地恢复出原来的序列。，可以不失真地恢复出原来的序列。 X2024/9/25信息学科立体化教材2.5 离散时间信号的抽样离散时间信号的抽样 假假设理想低通理想低通滤波器的波器的频率特性率特性为 理想低通理想低通滤波器的波器的输出出为