论断论断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力向量方法求空向量方法求空间间角与距离角与距离 四川省万源中学四川省万源中学 楚润昱楚润昱论断论断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力l教学目标l1能用向量方法解决直线与直线，直线与平面，平面与平面的夹角的计算问题l2了解向量方法在研究立体几何问题中的应用. 论断论断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力一：知 识 梳 理1两条异面直线所成角的求法设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则论断论断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力论断论断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力|cos| 论断论断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力论断论断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力l二：辨辨 析析 感感 悟悟l1直线的方向向量与平面的法向量l(1)若n1，n2分别是平面，的法向量，则n1n2.()l(2)两直线的方向向量的夹角就是两条直线所成的角()l(3)已知a(2，3,1)，b(2,0,4)，c(4，6,2)，则ac，ab.()论断论断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力论断论断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力l(7)(2013上海卷改编)在如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线A1B与B1C所成角的大小为60.()论断论断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力l感悟提升l1利用空间向量求空间角，避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦，使空间点线面的位置关系的判定和计算程序化、简单化主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算论断论断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力l2两种关系l一是异面直线所成的角与其方向向量的夹角：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；否则向量夹角的补角是异面直线所成的角，如(2)l二是二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面，的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补，如(6).论断论断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力论断论断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力论断论断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力论断论断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力图2论断论断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力论断论断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力论断论断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力答案A论断论断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力l考点二利用空间向量求直线与平面所成的角l【例2】 (2013湖南卷)l如 图 ， 在 直 棱 柱 ABCD A1B1C1D1中 ，ADBC，BAD90，ACBD，BC1，ADAA13.l(1)证明：ACB1D；l(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值论断论断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力l(1)证明法一因为BB1平面ABCD，AC平面ABCD.ACBB1，又ACBD，lAC平面BB1D，l又B1D平面BB1D，从而ACB1D.论断论断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力论断论断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力论断论断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力论断论断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力l规律方法 (1)本题求解时关键是结合题设条件进行空间联想，抓住垂直条件有目的推理论证，在第(2)问中，运用空间向量，将线面角转化为直线的方向向量与平面法向量夹角，考查化归思想与方程思想l(2)利用空间向量求线面角有两种途径：一是求斜线和它在平面内射影的方向向量的夹角(或其补角)；二是借助平面的法向量论断论断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力l【训练2】 (2014青岛质检)如图，在三棱柱ABC A1B1C1中 ， CA CB， AB AA1，BAA160.l(1)证明：ABA1C；l(2)若平面ABC平面AA1B1B，ABCB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值论断论断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力图1l(1)证明如图1，取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.l因为CACB，所以OCAB.l由于ABAA1，BAA160，l故AA1B为等边三角形，l所以OA1AB.l因为OCOA1O，所以AB平面OA1C.l又A1C平面OA1C，故ABA1C.论断论断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力图2 论断论断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力论断论断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力论断论断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力论断论断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力论断论断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力论断论断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力论断论断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力论断论断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力论断论断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力l规律方法 (1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算l(2)设m，n分别为平面，的法向量，则二面角与互补或相等，故有|cos |cos|.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角论断论断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力论断论断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力论断论断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力论断论断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力论断论断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力论断论断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力l1若利用向量求角，各类角都可以转化为向量的夹角来运算l(1)求两异面直线a，b的夹角，须求出它们的方向l向量a，b的夹角，则cos |cos|.l(2)求直线l与平面所成的角，可先求出平面的法向量n与直线l的方向向量a的夹角，则sin |cos|.l(3)求二面角l的大小，可先求出两个平面的法向量n1，n2所成的角，则或.论断论断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力l2(1)利用向量夹角转化为各空间角时，一定要注意向量夹角与各空间角的定义、范围不同l(2)求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补，这是利用向量求二面角的难点、易错点. 论断论断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力【练习】如图所示，在三棱锥PABQ中，PB平面ABQ，BABPBQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH.(1)求证：ABGH；(2)求二面角DGHE的余弦值论断论断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力l(1)证明因为D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，所以EFAB，DCAB.所以EFDC.l又EF平面PCD，DC平面PCD，l所以EF平面PCD.l又EF平面EFQ，平面EFQ平面PCDGH，l所以EFGH.又EFAB，所以ABGH.论断论断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力l(2)在ABQ中，AQ2BD，ADDQ，所以ABQ90.l又PB平面ABQ，所以BA，BQ，BP两两垂直l以B为坐标原点，分别以BA，BQ，BP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系论断论断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力论断论断基础知识基础知识突破突破高频考点高频考点培养培养解题能力解题能力