第四章 一次函数2. 一次函数与正比例函数 在某个变化过程中在某个变化过程中, ,有两个变量有两个变量x x和和y y, ,如果给定一个如果给定一个x x值值, ,相应地就确定一个相应地就确定一个y y值值, ,那么我们称那么我们称y y是是x x的函数的函数, ,其中其中x x是自变是自变量量, ,y y是因变量是因变量. .1.1.什么叫函数什么叫函数? ?2.2.函数有哪些表达方式函数有哪些表达方式? ? 函数有图象、表格、代数表达函数有图象、表格、代数表达式三种表达方式式三种表达方式. .回顾与思考回顾与思考 在现实生活当中有许多问题都可在现实生活当中有许多问题都可以归结为函数问题以归结为函数问题, ,大家能不能举一大家能不能举一些例子些例子? ? 议一议议一议 1. 1. 某弹簧的自然长度为某弹簧的自然长度为3 cm3 cm，在弹性，在弹性限度内，所挂物体的质量限度内，所挂物体的质量x x每增加每增加1 1千克，千克，弹簧长度弹簧长度y y增加增加0.5 cm.0.5 cm. (1) (1) 计算所挂物体的质量分别为计算所挂物体的质量分别为 1 kg1 kg， 2 kg2 kg， 3 kg3 kg， 4 kg4 kg， 5 kg5 kg时时的长度，并填入下表：的长度，并填入下表： x x/kg/kg0 01 12 23 34 45 5y y/cm/cm3 33.53.54 44.54.55 55.55.5做一做做一做 (2)(2)你能写出你能写出x x与与y y之间的关系吗？之间的关系吗？y=3+0.5x 2.2.某辆汽车油箱中原有油某辆汽车油箱中原有油100 L,100 L,汽车汽车每行驶每行驶50 km50 km耗油耗油9 L.9 L. (1) (1) 完成下表：完成下表：汽车行使路汽车行使路程程x x/km/km0 05050100100150150200200300300油箱剩余油油箱剩余油量量y y/ /L1009182736446(2) (2) 你能写出你能写出x x与与y y的关系吗的关系吗? ?y=1000.18x做一做一 做做(3) (3) 汽车行驶的路程汽车行驶的路程x x可以无限增大吗可以无限增大吗? ?行驶路程有没有一个取值范围行驶路程有没有一个取值范围? ? 油箱剩余油量油箱剩余油量y y呢呢? ?议一议议一议 上面的两个函数关系式上面的两个函数关系式: (1): (1)y y=3+0.5=3+0.5x x(2) (2) y y=100=1000.180.18x x, ,大家讨论一下大家讨论一下, ,这两个这两个函数关系式有什么关系吗函数关系式有什么关系吗? ?请小组间交流请小组间交流. . 若两个变量若两个变量 x x、y y之间的关系可以表之间的关系可以表示成示成y y= =kxkx+ +b b( (b b为常数，为常数，k k不等于不等于0 0）的形式，）的形式，则称则称 y y是是x x的一次函数的一次函数. .（x x为自变量，为自变量，y y为为因变量因变量. .）当当b b=0=0时，称时，称y y是是x x的正比例函数的正比例函数. .一次函数：一次函数：议一议议一议 1.1.在函数在函数(1)(1)y = = ，（，（2 2）y= =x-5, (3) -5, (3) y=-4=-4x，(4) (4) y=2=2x -3 -3x, (5) , (5) y=x-2, (6) -2, (6) y= = 中中是一次函数的是是一次函数的是 ，是正比例函数，是正比例函数的是的是 . . 3x1x-22(2),(3)(3)练一练练一练 2. 2.若函数若函数 y y=(6+3=(6+3m m) )x x+4+4n n-4-4是一次函数，是一次函数，则则m m, ,n n应该满足的条件是应该满足的条件是 , ,若是正比例函数，则若是正比例函数，则m,nm,n应该满足是应该满足是 ， . . 3.3.当当k k= = 时时, ,函数函数y y=(=(k k+3)+3)x x 5 5是关是关于于x x的一次函数的一次函数 . m2,n为任意实数为任意实数m2n=1 k 8 23例例1 1 写出下列各题中写出下列各题中y y与与 x x之间的关系之间的关系式，并判断：式，并判断：y y是否为是否为x x的一次函数？是否的一次函数？是否为正比例函数？为正比例函数？（1 1）汽车以）汽车以60km/h60km/h的速度匀速行驶的速度匀速行驶, ,行驶行驶路程为路程为y y(km)(km)与行驶时间与行驶时间x x(h)(h)之间的关系之间的关系; ; 解：由路程解：由路程= =速度速度时间，得时间，得y y=60=60x x , ,y y是是x x的的 一次函数一次函数, ,也是也是x x的正比例函数的正比例函数. . 解：由圆的面积公式，得解：由圆的面积公式，得y y= = xx2 2, , y y不是不是x x的正比例函数，也不是的正比例函数，也不是x x的一次函数的一次函数. . （2 2）圆的面积）圆的面积y y (cm (cm2 2 ) )与它的与它的半径半径x x (cm) (cm)之间的关系之间的关系. . （3 3）一棵树现在高）一棵树现在高5 0 cm5 0 cm，每个月长，每个月长高高2 cm2 cm，x x 月后这棵树的高度为月后这棵树的高度为y y cm. cm. 解：这棵树每月长高解：这棵树每月长高2 cm2 cm，x x个月个月长高了长高了2 2x x cmcm，因而，因而y y=50+2=50+2x,yx,y是是x x的一的一次函数，但不是次函数，但不是x x的正比例函数的正比例函数. . 例例2 2 某地区电话的月租费为某地区电话的月租费为2525元元, ,在此基础上在此基础上, ,可免费打可免费打5050次市话次市话( (每次每次3 3分钟分钟),),超过超过5050次后次后, ,每次每次0.20.2元元. . (1)(1)写出每月电话费写出每月电话费y y( (元元) )与通话次数与通话次数x x( (x x50)50)的函数关系式；的函数关系式； 解解: (1) : (1) 根据题意得根据题意得: : 有有y y=25+(=25+(x x50)0.2 ,50)0.2 , 即即 y y=0.2=0.2x x+15;+15;试一试试一试(2)(2)求出月通话求出月通话150150次的电话费；次的电话费；(3)(3)如果某月通话费为如果某月通话费为53.653.6元元, ,求该月求该月通话的次数通话的次数. .(2) (2) 当当x x=150=150时时, , y y=0.2150+15=45;=0.2150+15=45;(3) (3) 因为因为53.6 25,53.6 25,可知通话次数大可知通话次数大于于5050次次, ,即当即当y y=53.6=53.6时时, , 53.6=0.2x+15,53.6=0.2x+15,解得解得 x x=193.=193.解解: :1.1.下列语句中下列语句中, ,具有正比例函数关系的是具有正比例函数关系的是( ).( ).A.A.长方形花坛的面积不变长方形花坛的面积不变, , 长长y y与宽与宽 x x 之间的之间的关系关系; ;B.B.正方形的周长不变正方形的周长不变, , 边长边长 x x与面积与面积 S S 之间的之间的关系关系; ;C.C.三角形的一条边不变三角形的一条边不变, , 这条边上的高这条边上的高h h与与S S之间之间的关系的关系; ;D.D.圆的面积为圆的面积为S S , , 半径为半径为r r , , S S 与与r r 之间的关系之间的关系. .C C练一练练一练2. 2. 如图如图, ,在在ABCABC中中, , B B与与C C 的平的平分线交于点分线交于点P P, , 设设A A= =x x, , BPCBPC= =y y, , 当当A A变化时变化时, ,求求y y与与x x之间的函数关系式之间的函数关系式, ,并判断并判断y y是不是是不是x x的一次函数的一次函数. .解解: : y y = = x x + 90 . + 90 . y y是是x x的一次函数的一次函数. .练一练练一练1 12 2 见教科书80页例2练一练练一练本节课收获本节课收获一次函数：一次函数： 若两个变量若两个变量 x x、y y之间的之间的关系可以表示成关系可以表示成y=kx+by=kx+b( (b b为常数，为常数，k k不不等于等于0 0）的形式，则称）的形式，则称 y y是是x x的一次函的一次函数数. .（x x为自变量，为自变量，y y为因变量为因变量. .） 当当b b=0=0时，称时，称y y是是x x的正比例函数的正比例函数. .作业：作业：随堂练习随堂练习习题习题4.24.2结束寄语结束寄语 时间是一个常数时间是一个常数, ,但对勤奋者来说但对勤奋者来说, ,是是一个一个“变数变数”. . 你在学业上的收获与你平时的付出是你在学业上的收获与你平时的付出是成正比的成正比的. .