关于实数完备性的关于实数完备性的6个基本定理个基本定理1. 确界原理（定理）；确界原理（定理）； 2. 单调有界定理（定理）单调有界定理（定理）； 3. 区间套定理（定理）；区间套定理（定理）；4. 有限覆盖定理（定理）有限覆盖定理（定理） 5. 聚点定理（定理）聚点定理（定理）6. 柯西收敛准则（定理）；柯西收敛准则（定理）； 在实数系中这六个命题是相互等价的在实数系中这六个命题是相互等价的 。第七章习题课第七章习题课在有理数系中这六个命题不成立在有理数系中这六个命题不成立 。1. 确界原理确界原理 在实数系中，任意非空有上（下）界的数集在实数系中，任意非空有上（下）界的数集必有上（下）确界。必有上（下）确界。2. 单调有界定理单调有界定理； 在实数系中，单调有界数列必有极限。在实数系中，单调有界数列必有极限。即数列的单调有界定理在有理数域不成立。即数列的单调有界定理在有理数域不成立。 3. 区间套定理区间套定理 若若 是一个区间套，则在实数系中存在唯一的点是一个区间套，则在实数系中存在唯一的点 所以区间套定理在有理数系不成立。所以区间套定理在有理数系不成立。反例：反例：4. 有限覆盖定理有限覆盖定理在实数系中，闭区间在实数系中，闭区间a, b的任一开覆盖的任一开覆盖H，必，必可从可从H中选出有限个开区间覆盖中选出有限个开区间覆盖a, b。反例：反例：5. 聚点定理聚点定理实数系中的任意有界无限点集至少有一个聚点。实数系中的任意有界无限点集至少有一个聚点。反例：反例： S是有界的无限有理点集，在实数域内的聚点为是有界的无限有理点集，在实数域内的聚点为e,因而在有理数域没有聚点。因而在有理数域没有聚点。5.1 致密性定理：致密性定理：在实数系中，有界数列必含有收敛子列。在实数系中，有界数列必含有收敛子列。反例：反例：其极限为无理数其极限为无理数e,从而任一子列均收敛于从而任一子列均收敛于e。故故xn在有理数域内没有收敛的子列。在有理数域内没有收敛的子列。6. 柯西收敛准则柯西收敛准则反例：反例：即柯西收敛准则在有理数域不成立。即柯西收敛准则在有理数域不成立。几个概念：几个概念：区间套（闭区间套），区间套（闭区间套），聚点（聚点（3个等价定义及其等价性的证明），个等价定义及其等价性的证明），开覆盖（有限开覆盖）。开覆盖（有限开覆盖）。举例说明闭区间套定理中将闭区间换成开区间举例说明闭区间套定理中将闭区间换成开区间结论不成立。结论不成立。 但不存在属于所有开区间的公共点。但不存在属于所有开区间的公共点。 举例说明有限覆盖定理中将闭区间换成开区间举例说明有限覆盖定理中将闭区间换成开区间结论不成立。结论不成立。但不能从中选出有限个开区间盖住（但不能从中选出有限个开区间盖住（0， 1）。）。因为右端点始终为因为右端点始终为1，左端点有限个中必有一个最小者，左端点有限个中必有一个最小者，构成了开区间（构成了开区间（0， 1）的一个开覆盖）的一个开覆盖 ，定定义义 有有界界数数列列(点点列列) xn的的最最大大聚聚点点 与与最最小小聚聚点点A分分别别称为称为xn的上极限与下极限的上极限与下极限,记作记作数列的上下极限概念数列的上下极限概念 1. 在在（a，b）上上的的连连续续函函数数 f 为为一一致致连连续续的的充充要要条条件是件是 f（a+0）与）与f（b-0）都存在。）都存在。不适合无限开区间不适合无限开区间 f(x)一致连续的判定：一致连续的判定：3. 闭区间上连续的函数必一致连续。闭区间上连续的函数必一致连续。5. 若若f(x)在在有限区间有限区间I上无界，则上无界，则f(x)在在I上必上必不不一致连续。一致连续。P168.1.解答解答P168.7.证法证法1：不妨设不妨设xn单调增加。单调增加。 若若xn无界或无界或xn是常数列，是常数列， 则则xn一定没有聚点。一定没有聚点。不合题意。不合题意。故故xn必为有界数列且不是常数列。必为有界数列且不是常数列。从而从而xn一定有确界，一定有确界，由单调有界定理的证明可知：由单调有界定理的证明可知：证法证法2：由单调有界定理的证明可知：由单调有界定理的证明可知：故故xn一定有界，从而有确界。一定有界，从而有确界。证证有限区间有限区间I上一致连续的函数必有界。上一致连续的函数必有界。 若若I为闭区间，则结论显然。为闭区间，则结论显然。下面假设下面假设I为开区间（为开区间（a, b）。）。证证P172.3 证法证法2