第四节第四节 格林公式及其应用格林公式及其应用(2)(2)二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件1格林公式PPT课件 (2)定理定理2. 设设D 是是单连通域单连通域 ,在在D 内内具有具有一阶连续偏导数一阶连续偏导数,(1) 沿沿D 中任意光滑闭曲线中任意光滑闭曲线 L , 有有(2) 对对D 中任一分段光滑曲线中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分曲线积分(3)(4) 在在 D 内每一点都有内每一点都有与路径无关与路径无关, 只与起止点有关只与起止点有关. 函数函数则以下则以下四个条件等价四个条件等价:在在 D 内是某一函数内是某一函数的全微分的全微分,即即 注：两个前提条件缺一不可注：两个前提条件缺一不可2格林公式PPT课件 (2)说明说明: 积分与路径无关时积分与路径无关时, 曲线积分可记为曲线积分可记为 证明证明 (1) (2)设设为为D 内内任意两条任意两条由由A 到到B 的有向分段光滑曲的有向分段光滑曲线线,则则(根据条件根据条件(1)3格林公式PPT课件 (2)证明证明 (2) (3)在在D内取内取定点定点因曲线积分因曲线积分则则同理可证同理可证因此有因此有和和任一点任一点B( x, y ),与路径无关与路径无关,有函数有函数 4格林公式PPT课件 (2)证明证明 (3) (4)设存在函数设存在函数 u ( x , y ) 使得使得则则P, Q 在在 D 内具有连续的一阶偏导数内具有连续的一阶偏导数,从而在从而在D内每一点都有内每一点都有5格林公式PPT课件 (2)证明证明 (4) (1)设设L为为D中任一分段光滑中任一分段光滑闭曲线闭曲线,(如图如图) ,利用利用格林公式格林公式 , 得得所围区域为所围区域为证毕证毕6格林公式PPT课件 (2)说明说明: 根据定理根据定理2 , 若在某区域内若在某区域内则则2) 求曲线积分时求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算可利用格林公式简化计算,3) 可用积分法求可用积分法求d u = P dx + Q dy在域在域 D 内的原函数内的原函数:及动点及动点或或则原函数为则原函数为若积分路径不是闭曲线若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线可添加辅助线;取定点取定点1) 计算曲线积分时计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径可选择方便的积分路径;7格林公式PPT课件 (2)例例1. 计算计算其中其中L 为上半为上半从从 O (0, 0) 到到 A (4, 0).解解: 为了使用格林公式为了使用格林公式, 添加辅助线段添加辅助线段它与它与L 所围所围原式原式圆周圆周区域为区域为D , 则则8格林公式PPT课件 (2)例例2. 验证验证是某个函数的全微分是某个函数的全微分, 并求并求出这个函数出这个函数. 证证: 设设则则由定理由定理2 可知可知, 存在函数存在函数 u (x , y) 使使。9格林公式PPT课件 (2)例例3. 验证验证在右半平面在右半平面 ( x 0 ) 内存在原函内存在原函数数 , 并求出它并求出它. 证证: 令令则则由由定理定理 2 可知存在原函数可知存在原函数10格林公式PPT课件 (2)或或11格林公式PPT课件 (2)内容小结内容小结1. 格林公式格林公式2. 等价条件等价条件在在 D 内与路径无关内与路径无关.在在 D 内有内有对对 D 内任意闭曲线内任意闭曲线 L 有有在在 D 内有内有设设 P, Q 在在 D 内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数, 则有则有12格林公式PPT课件 (2)思考与练习思考与练习1. 设设且都取正向且都取正向, 问下列计算是否正确问下列计算是否正确 ?提示提示:13格林公式PPT课件 (2)2. 设提示:14格林公式PPT课件 (2)3. 设设 C 为沿为沿从点从点依逆时针依逆时针的半圆的半圆, 计算计算解解: 添加辅助线如图添加辅助线如图 ,利用格林公式利用格林公式 .原式原式 =到点到点15格林公式PPT课件 (2)4. 质点质点M 沿着以沿着以AB为直径的半圆为直径的半圆, 从从 A(1,2) 运动运动到到点点B(3, 4),到原点的距离到原点的距离,解解: 由图知由图知 故所求功为故所求功为锐角锐角,其方向垂直于其方向垂直于OM, 且与且与y 轴正向夹角为轴正向夹角为求变力求变力 F 对质点对质点M 所作的功所作的功. ( 90考研考研 ) F 的大小的大小等于点等于点 M 在此过程中受力在此过程中受力 F 作用作用,16格林公式PPT课件 (2)