第第5 5章章 杆件的强度与刚度计算杆件的强度与刚度计算直杆轴向拉伸与压缩时的强度与变形计算直杆轴向拉伸与压缩时的强度与变形计算 杆件的强度条件与刚度条件杆件的强度条件与刚度条件杆件剪切时的强度计算杆件剪切时的强度计算 圆轴扭转时的强度与刚度计算圆轴扭转时的强度与刚度计算 平面弯曲梁的强度与刚度计算平面弯曲梁的强度与刚度计算 直杆组合变形时的强度计算直杆组合变形时的强度计算 超静定问题简介超静定问题简介 5.2 5.2 直杆轴向拉伸与压缩时的强度与变形计算直杆轴向拉伸与压缩时的强度与变形计算 5.3 5.3 杆件剪切时的强度计算杆件剪切时的强度计算 5.4 5.4 圆轴扭转时的强度与刚度计算圆轴扭转时的强度与刚度计算 5.6 5.6 直杆组合变形时的强度计算直杆组合变形时的强度计算 第第第第5 5 5 5 章章章章 杆杆杆杆件件件件的的的的强强强强度度度度与与与与刚刚刚刚度度度度计计计计算算算算目录目录5.7 5.7 超静定问题简介超静定问题简介 5.1 5.1 概述概述 5.5 5.5 平面弯曲梁的强度与刚度计算平面弯曲梁的强度与刚度计算 5.1 5.1 概述概述构件中的最大应力需视其受力与变形的具体情况而有所构件中的最大应力需视其受力与变形的具体情况而有所不同不同对于杆件变形的基本形式，通常采用其横截面上正应力对于杆件变形的基本形式，通常采用其横截面上正应力或切应力建立强度条件，组合变形情况的强度条件建立则或切应力建立强度条件，组合变形情况的强度条件建立则比较复杂，需要考虑材料的力学性能，研究危险点的应力比较复杂，需要考虑材料的力学性能，研究危险点的应力状态，选用合适的强度理论状态，选用合适的强度理论许用应力是构件正常工作时所允许承受的最大应力许用应力是构件正常工作时所允许承受的最大应力 构件中的最大应力构件中的最大应力构件中的最大应力构件中的最大应力许用应力许用应力许用应力许用应力 通用的强度条件式为：通用的强度条件式为： 5.1.1 5.1.1 强度条件强度条件5.1.2 5.1.2 刚度条件刚度条件构件中的最大变形量、许用变形量均需视构件中的最大变形量、许用变形量均需视其受力与变形的具体情况而有所不同其受力与变形的具体情况而有所不同 构件中的最大变形量构件中的最大变形量许用变形量许用变形量 通用的刚度条件式为：通用的刚度条件式为： 5.2.1 5.2.1 直杆轴向拉伸直杆轴向拉伸( (紧缩紧缩) )时的强度计算时的强度计算(1)(1)(1)(1)强度条件式强度条件式强度条件式强度条件式 (2)(2)许用应力许用应力 材料工作时所允许承受的最大应力称为许用应材料工作时所允许承受的最大应力称为许用应力，用力，用表示，表示， = o / n ，n 就叫作安全就叫作安全系数系数(n1)。缘由：由于决定构件强度的量时存在主观考虑缘由：由于决定构件强度的量时存在主观考虑与客观实际间的差异与客观实际间的差异 ，构件应具有必要的强度，构件应具有必要的强度储备。储备。5.2 5.2 直杆轴向拉伸直杆轴向拉伸( (紧缩紧缩) )时的强度与变形计算时的强度与变形计算(3)(3)应用强度条件式可以解决：应用强度条件式可以解决： 1)1)强度校核强度校核 2)2)截面设计截面设计 3)3)确定许可载荷确定许可载荷 例例5-1 5-1 螺旋压板夹紧装置如图螺旋压板夹紧装置如图(a)(a)所示。已知圆柱形工所示。已知圆柱形工件承受轴线方向的作用力件承受轴线方向的作用力Pz=4kNPz=4kN。假定工件与压板及工件。假定工件与压板及工件与与V V形铁之间轴向方向摩擦力的摩擦系数是形铁之间轴向方向摩擦力的摩擦系数是f=0.4f=0.4，螺栓部，螺栓部分的最小直径分的最小直径d=13.4mmd=13.4mm，螺栓的许用应力为，螺栓的许用应力为=87MPa=87MPa。试问螺栓是否可以正常工作。试问螺栓是否可以正常工作。 现在取工件为研究对象，由于工件没有转动趋势，作为工程运算，可以忽略工件与压板及工件与V形铁之间的切向方向摩擦力，只是光滑接触, 则接触面上只存在约束力R ，画出受力图，由静力平衡条件Fy=0，得： 2Rcos45-Q=0于是 解：压板在解：压板在A A端铰支，端铰支，B B端受螺栓拉力端受螺栓拉力N N的作用，中的作用，中间受工件的反作用力间受工件的反作用力Q Q作用。由静力平衡条件作用。由静力平衡条件MA=0MA=0，有：，有： Q Ql-l-2l=02l=0 故故 N=Q/2 N=Q/2欲使工件在轴线方向欲使工件在轴线方向(Z方向方向)保持平衡，必须使保持平衡，必须使Q和和R产生的摩擦力等于工件所受轴向力产生的摩擦力等于工件所受轴向力Pz，于是有：，于是有： Pz=f(Q+2R) 由式由式(l)、(2)、(3)联立解得联立解得:由于由于87MPa87MPa，表明此螺栓在工作时，表明此螺栓在工作时是安全的是安全的, ,强度足够。强度足够。5.2.2 5.2.2 直杆轴向拉伸直杆轴向拉伸( (紧缩紧缩) )时的变形计算时的变形计算 变形实例：变形实例：例例1 工厂中的行车起吊重物时，如果工厂中的行车起吊重物时，如果行车的横梁变形过大，就会引起剧烈振行车的横梁变形过大，就会引起剧烈振动，以致造成生命和设备的事故。动，以致造成生命和设备的事故。例例2 化工厂的管道法兰，如变形超过了容化工厂的管道法兰，如变形超过了容许的范围，就会造成泄漏，影响化工生产许的范围，就会造成泄漏，影响化工生产的正常进行。的正常进行。变形是固体材料的固有特性，变形是固体材料的固有特性，但过大的变形是工程上所不允许的，但过大的变形是工程上所不允许的，因此，变形也是工程力学研究的重要内容之一。因此，变形也是工程力学研究的重要内容之一。(1)(1)绝对变形和相对变形绝对变形和相对变形1)1)绝对变形绝对变形设直杆的原始长度为设直杆的原始长度为L ，变形后的长，变形后的长度为度为L1，直杆的长度变化即为：，直杆的长度变化即为：称为杆件的绝对变形。称为杆件的绝对变形。拉伸时拉伸时 L称为直杆的绝对伸长，为正值；称为直杆的绝对伸长，为正值；压缩时压缩时 L称为直杆的绝对缩短，为负值。称为直杆的绝对缩短，为负值。不能表示不能表示变形程度变形程度 这这个个比比值值称称为为直直杆杆的的相相对对伸伸长长或或相相对对缩缩短短，统统称称为为杆杆的的轴轴向向线线应应变变。显显然然，是是无无因因次次量，在工程中也常用原长的百分数来表示。量，在工程中也常用原长的百分数来表示。用单位长度直杆的伸长或缩短来度量其纵向用单位长度直杆的伸长或缩短来度量其纵向变形。变形。2)2)相对变形相对变形泊松比。泊松比。也是无因次量，由实验求得，碳钢为也是无因次量，由实验求得，碳钢为0.27。杆件轴向拉伸时，横向尺寸由杆件轴向拉伸时，横向尺寸由b b变为变为b1b1，横向应，横向应变为变为 试验结果表明，在弹性范围内，横向应变与试验结果表明，在弹性范围内，横向应变与轴向应变之比的绝对值是一个常数，即轴向应变之比的绝对值是一个常数，即 或或3)3)虎克定律虎克定律该式称为虎克定律。该式称为虎克定律。上式即为虎克定律的另一表达式。上式即为虎克定律的另一表达式。式中式中E E为弹性模量。为弹性模量。 例例5-2 5-2 钢制实心圆柱长钢制实心圆柱长L=100mmL=100mm，受力如下图所示。，受力如下图所示。已知已知P=150kNP=150kN，D=40mmD=40mm，E=2.0E=2.0105MPa105MPa，0.280.28。试求圆柱长度的改变量及圆柱横截面积的相对改变量试求圆柱长度的改变量及圆柱横截面积的相对改变量S/SS/S。解：实心圆柱横截面面积为解：实心圆柱横截面面积为: :A=0.785D2=0.785A=0.785D2=0.785402=1256mm2402=1256mm2圆柱长度的改变量为圆柱长度的改变量为: :轴向应变轴向应变 横截面面积的相对改变量为横截面面积的相对改变量为: : 横向应变横向应变 =-= -0.28(-0.610-3)0.16810-3 变形后圆柱外径改变量为变形后圆柱外径改变量为: D=D=0.16810-340=6.7210-3 mm5.3 5.3 杆件剪切时的强度计算杆件剪切时的强度计算 点击图标播放点击图标播放 钢杆受剪钢杆受剪(1)(1)剪切的实例剪切的实例5.3.1 5.3.1 剪切的概念与实例剪切的概念与实例 剪板机剪板机螺栓连接螺栓连接铆钉连接铆钉连接销轴连接销轴连接平键连接平键连接(2)(2)剪切构件的受力特点剪切构件的受力特点构件受到等值、反向、作用线不重合构件受到等值、反向、作用线不重合但相距很近的两个力作用。但相距很近的两个力作用。(3)(3)剪切构件的变形特点剪切构件的变形特点构件上的两个力中间部分的相邻截构件上的两个力中间部分的相邻截面产生错动。这种变形称为剪切变形，面产生错动。这种变形称为剪切变形，发生相对错动的面称为剪切面。发生相对错动的面称为剪切面。剪切面总是平行于外力的作用线。剪切面总是平行于外力的作用线。挤压面总是垂直于外力的作用线。挤压面总是垂直于外力的作用线。5.3.2 5.3.2 剪切和挤压的实用计算剪切和挤压的实用计算(1)(1)剪切的实用计算剪切的实用计算简图简图受力图受力图分离体分离体假定分布假定分布1)1)剪力计算剪力计算 求内力的方法：截面法求内力的方法：截面法 (截、取、代、平截、取、代、平) Q=F 剪力剪力Q在截面上的分布比较复杂，在在截面上的分布比较复杂，在工程中假定它在截面上是均匀分布的，则工程中假定它在截面上是均匀分布的，则可得切应力计算公式：可得切应力计算公式：2)2)剪应力的计算剪应力的计算 为了保证受剪构件安全可靠地工作，要求构件剪切面上的切应力不得超过许用剪应力，即：3)3)剪切的强度条件剪切的强度条件式中式中 剪切面上的切应力；剪切面上的切应力； S S横截面积；横截面积； Q Q剪力。剪力。n n许用切应力许用切应力许用切应力许用切应力是利用剪切试验求出抗剪强度是利用剪切试验求出抗剪强度是利用剪切试验求出抗剪强度是利用剪切试验求出抗剪强度bbbb，再除以安全系数，再除以安全系数，再除以安全系数，再除以安全系数n n n n得到的，即得到的，即得到的，即得到的，即 n n = b = b = b = bn n n n。 塑性材料 =(0.60.8) 脆性材料 =(0.81.0) (1)(1)校核剪切强度校核剪切强度: :(2)(2)截面设计截面设计: :(3)(3)确定许可截荷确定许可截荷: :利用剪切强度条件利用剪切强度条件, ,可以解决可以解决: :压力容器制造厂用剪板机冲剪钢板，就是压力容器制造厂用剪板机冲剪钢板，就是要用足够大的剪力使一定厚度的钢板沿剪要用足够大的剪力使一定厚度的钢板沿剪切面剪断开，这是与强度问题性质相反的切面剪断开，这是与强度问题性质相反的“破坏问题。破坏问题。 要要保保证证构构件件被被剪剪断断，一一定定要要使使剪剪切切面面上上的的平平均均切切应应力力大大于于材材料料极极限限切切应应力力bb，即即剪断条件为剪断条件为 剪切和挤压经常伴生出现挤压和压缩的区别挤压和压缩的区别: :紧缩均匀变形紧缩均匀变形挤压局部变形挤压局部变形1)1)挤压的概念挤压的概念(2)(2)挤压的实用计算挤压的实用计算挤压：挤压：连接和被连接件接触面相互压紧的现象称连接和被连接件接触面相互压紧的现象称“挤压挤压”。 2)2)挤压应力的计算挤压应力的计算因此，要保证构件安全、可靠地工作，除了因此，要保证构件安全、可靠地工作，除了计算剪切强度外，还要校核挤压强度。计算剪切强度外，还要校核挤压强度。 由挤压所引起的应力称为挤压应力，以由挤压所引起的应力称为挤压应力，以bsbs表示表示, ,如果挤压应力过大，就会使相互如果挤压应力过大，就会使相互接触部分产生塑性变形。接触部分产生塑性变形。式中式中 Pbs Pbs一挤压面上的挤压力；一挤压面上的挤压力； Sbs Sbs一挤压计算面积。一挤压计算面积。近似地认为挤压应力也是均匀分布在挤近似地认为挤压应力也是均匀分布在挤压面上，所以挤压应力可按下式计算：压面上，所以挤压应力可按下式计算：有效挤压面：挤压面面积在垂直于总挤压力作有效挤压面：挤压面面积在垂直于总挤压力作 用线平面上的投影。用线平面上的投影。 当接触面为平面当接触面为平面时，则此平面面积即时，则此平面面积即为挤压面积。为挤压面积。 对于圆柱面，取挤对于圆柱面，取挤压面的正投影面作为压面的正投影面作为挤压面的计算面积。挤压面的计算面积。挤压强度条件为：挤压强度条件为： 式中bs为材料许用挤压应力，其值由试验确定。 对于塑性较好的低碳钢材料,一般可取： bs=(1.7-2.0)3)3)挤压强度条件挤压强度条件 例例5-3 5-3 试求图示连接螺栓所需的直径大小。已知试求图示连接螺栓所需的直径大小。已知P=180kNP=180kN，t=20mmt=20mm。螺栓材料的剪切许用应力。螺栓材料的剪切许用应力=80MPa=80MPa，挤压许用应力挤压许用应力jy=200MPajy=200MPa。图3-4 联接螺栓解：螺栓具有两个剪切面，即解：螺栓具有两个剪切面，即m-m, n-nm-m, n-n截面，各剪切截面，各剪切面上的剪力为面上的剪力为Q=P/2Q=P/2，故切应力，故切应力根据剪切强度条件式根据剪切强度条件式(3-2)有：有： 即 即即综合考虑螺栓的剪切强度和挤压强度，按螺纹综合考虑螺栓的剪切强度和挤压强度，按螺纹直径规格取螺栓直径为直径规格取螺栓直径为d=48mm。如果两侧板厚度由原来的如果两侧板厚度由原来的t/2变为变为t/3，中间板厚，中间板厚度不变，试思考螺栓直径度不变，试思考螺栓直径d=48mm是否仍满足强是否仍满足强度要求。度要求。(1)(1)变形几何关系变形几何关系5.4 5.4 圆轴扭转时的强度与刚度计算圆轴扭转时的强度与刚度计算点击图标播放点击图标播放 5.4.1 5.4.1 圆轴扭转时横截面上的切应力圆轴扭转时横截面上的切应力由图示的几何关系可以看出由图示的几何关系可以看出: : (2)(2)物性关系物性关系切应力在横截面上的分布切应力在横截面上的分布 (3)(3)静力学关系静力学关系令令 那么那么 式中式中R为横截面外边缘圆的半径。令为横截面外边缘圆的半径。令 抗扭截抗扭截面模量面模量极惯性矩和抗扭截面模量极惯性矩和抗扭截面模量1)1)对于外直径为对于外直径为D D的实心圆截面的实心圆截面DDd2)2)对于外径为对于外径为D D、内径为、内径为d d的空心圆截面的空心圆截面轴表面的轴表面的剪应力剪应力圆轴上最圆轴上最大转矩截大转矩截面面(1)(1)圆轴扭转时的强度条件圆轴扭转时的强度条件max塑性材料：塑性材料：=(0.5=(0.50.6)0.6)脆性材料：脆性材料：=(0.8=(0.81.0)1.0)5.4.2 5.4.2 圆轴扭转时的强度条件和刚度条件圆轴扭转时的强度条件和刚度条件 利用其强度条件利用其强度条件, ,可以解决可以解决: : 2) 2)设计截面设计截面 3) 3)计算许可载荷计算许可载荷 1) 1)强度校核强度校核 例例5-4 5-4 某搅拌轴有上下两层桨叶。已知带动搅拌轴的电动机功某搅拌轴有上下两层桨叶。已知带动搅拌轴的电动机功率率Pm=17kWPm=17kW，机械传动效率，机械传动效率=90%=90%，搅拌轴转速，搅拌轴转速n=60 r/minn=60 r/min，上下，上下两层桨叶因所受阻力不同，分别消耗搅拌轴功率的两层桨叶因所受阻力不同，分别消耗搅拌轴功率的35%35%和和65%65%。此。此轴用轴用1171176 6不锈钢管制成，其扭转许用切应力不锈钢管制成，其扭转许用切应力=30MPa=30MPa，试，试校核此轴的强度。如将此轴改为实心轴，材料相同，试确定其直校核此轴的强度。如将此轴改为实心轴，材料相同，试确定其直径，并比较这两种圆轴的用钢量。径，并比较这两种圆轴的用钢量。 解解:(1)空心轴的强度校核空心轴的强度校核作用于搅拌轴上的实际功率作用于搅拌轴上的实际功率P= Pm=170.9=15.3kW故作用于搅拌轴上的主动扭矩为故作用于搅拌轴上的主动扭矩为:上、下两层桨叶分别消耗的功率为上、下两层桨叶分别消耗的功率为: :PB=0.35P=0.35PB=0.35P=0.3515.3=5.355kW15.3=5.355kWPC=0.65 P=0.65PC=0.65 P=0.6515.3=9.945kW15.3=9.945kW形成的阻力偶矩分别为：形成的阻力偶矩分别为： 用截面法，可求得用截面法，可求得ABAB段和段和BCBC段截面上的扭矩分段截面上的扭矩分别为：别为：Tn1=TA=2.435kNTn1=TA=2.435kNm mTn2=TC=1.583kNTn2=TC=1.583kNm m轴内径轴内径d=117-26=105mm，抗扭截面模量为：，抗扭截面模量为：最大切应力最大切应力取取D1=74 mm。=30MPa 故此轴强度校核合格。故此轴强度校核合格。 (2)(2)计算实心轴所需直径计算实心轴所需直径 设实心轴直径为设实心轴直径为D1D1，那么，那么(3)(3)两种轴用钢量比较两种轴用钢量比较实心圆轴横截面面积实心圆轴横截面面积钢材用量与横截面面积成正比，采用空心轴可节省钢材的钢材用量与横截面面积成正比，采用空心轴可节省钢材的百分数为百分数为:采用采用1171176 6空心圆轴的强度仍有不少裕量，故实空心圆轴的强度仍有不少裕量，故实际可节省多于际可节省多于51.4%51.4%的钢材用量。的钢材用量。 空心圆轴横截面面积空心圆轴横截面面积(2)(2)圆轴扭转时的变形及刚度条件圆轴扭转时的变形及刚度条件 1)1)圆轴扭转时的变形计算圆轴扭转时的变形计算单位长度的相对扭转角单位长度的相对扭转角 抗扭抗扭刚度刚度 工程上采用的扭转变形大小工程上采用的扭转变形大小 2)2)圆轴扭转变形的刚度条件圆轴扭转变形的刚度条件式中式中许用单位扭转角。许用单位扭转角。 单位长度的许用扭转角单位长度的许用扭转角 的值取决于轴的工作的值取决于轴的工作条件、工作要求及载荷性质，可从有关手册查取。一般条件、工作要求及载荷性质，可从有关手册查取。一般对于精密机械的轴，取对于精密机械的轴，取 =0.15 =0.150.500.50/m/m；一般传动轴取；一般传动轴取 =0.5 =0.51.01.0/m/m。 例例5-5 5-5 试校核例试校核例5-45-4中搅拌轴的刚度，已知中搅拌轴的刚度，已知G=80000MPaG=80000MPa， =0.5 =0.5/m/m。从而有从而有故满足刚度要求。故满足刚度要求。解：对于空心轴，有：解：对于空心轴，有：/m如采用直径为如采用直径为74mm74mm的实心轴，那么的实心轴，那么说明该实心轴尽管强度合格，但却不能满足变形说明该实心轴尽管强度合格，但却不能满足变形的刚度要求，还需适当增加直径值。的刚度要求，还需适当增加直径值。 /m5.5.1 5.5.1 平面弯曲梁的正应力分析与强度计算平面弯曲梁的正应力分析与强度计算纯弯曲：梁的横截面上没有剪力作用，只需纯弯曲：梁的横截面上没有剪力作用，只需 弯矩作用的弯曲称为纯弯曲。弯矩作用的弯曲称为纯弯曲。5.5 5.5 平面弯曲梁的强度与刚度计算平面弯曲梁的强度与刚度计算5.5.1.1 5.5.1.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力(1)(1)变形几何关系变形几何关系1)1)横线横线(m-m, n-n)(m-m, n-n)仍是直线，仍是直线，只是发生相对转动，但仍与只是发生相对转动，但仍与纵线纵线(a-a(a-a，b-b)b-b)正交。正交。2) 2) 纵线纵线(a-a, b-b)(a-a, b-b)弯曲成曲线，弯曲成曲线，且梁的一侧伸长，另一侧缩且梁的一侧伸长，另一侧缩短。短。 图4-10 纯弯曲梁的变形特点纯弯曲梁的变形特点纯弯曲梁的变形特点 中性轴：中性层与梁横截面的交线称为中性轴。中性层：既不伸长也不缩短的纵向纤维称为中性中性层：既不伸长也不缩短的纵向纤维称为中性中性层：既不伸长也不缩短的纵向纤维称为中性中性层：既不伸长也不缩短的纵向纤维称为中性层。层。层。层。(2)(2)物性关系物性关系 横截面正应力分布规律(1) (1) (3)(3)静力学关系静力学关系 设：设： 有：有：联立式联立式(1)和式和式(2)，消去，消去1/，得：，得：(2) (2) 令 横截面上任一点的正应力计算公式横截面上任一点的正应力计算公式: 最大正应力发生在距中性轴最远处最大正应力发生在距中性轴最远处: 令称之为抗弯截面模量称之为抗弯截面模量横截面上的最大正应力计算公式：横截面上的最大正应力计算公式：常用截面的惯性矩和抗弯截面模量的计算常用截面的惯性矩和抗弯截面模量的计算常用截面的惯性矩和抗弯截面模量的计算常用截面的惯性矩和抗弯截面模量的计算(1)(1)矩形截面矩形截面(2)(2)圆形截面圆形截面(3)(3)圆环形截面圆环形截面内径为内径为d外径为外径为D =d/D 该式适用于弹性变形阶段该式适用于弹性变形阶段5.5.1.2 5.5.1.2 弯曲正应力强度条件弯曲正应力强度条件横截面上最大应力即上下边缘应力沿梁轴线最大弯矩对于型钢和钢管：对于型钢和钢管： 一般采用轴向拉伸时所确定的许用应力。一般采用轴向拉伸时所确定的许用应力。对于实心梁：对于实心梁： 因有材料储备，因有材料储备， 可略高可略高1820% 。如果材料是铸铁：如果材料是铸铁： 其拉压许用应力不相等，应分别求出最其拉压许用应力不相等，应分别求出最 大拉应力和最大压应力，分别校核强度。大拉应力和最大压应力，分别校核强度。作弯矩图，寻找需要校核的截面作弯矩图，寻找需要校核的截面要同时满足要同时满足分析：分析： 非对称截面，要寻找中性轴位置非对称截面，要寻找中性轴位置 例例: T: T型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。试校核梁的强度。试校核梁的强度。(1)(1)强度校核强度校核(2)(2)设计截面设计截面(3)(3)计算许可载荷计算许可载荷 利用弯曲强度条件利用弯曲强度条件, ,可以解决可以解决: : 例例5-6 5-6 矩形截面简支梁矩形截面简支梁ABAB的尺寸和所受载荷如图的尺寸和所受载荷如图(a)(a)所示，试求：所示，试求：(1)(1)最大弯曲正应力及其所在位置；最大弯曲正应力及其所在位置；(2)(2)在在D D、E E两点的弯曲正应力。两点的弯曲正应力。图4-17 例4-3图解：解：(1)首先求出两支座反力分别为：首先求出两支座反力分别为：RA=19kN，RB=9kNMmax=18 kNm位于集中力作用处所在截面。位于集中力作用处所在截面。(2)D(2)D、E E两点所在截面的弯矩分别为：两点所在截面的弯矩分别为：由于是等截面梁，整个梁各截面的惯性矩都是一样的，那么：由于是等截面梁，整个梁各截面的惯性矩都是一样的，那么：( (拉应力拉应力) )( (压应力压应力) )那么那么 若仅从强度方面来考虑，可取若仅从强度方面来考虑，可取d=105mmd=105mm，若考虑有一定的腐，若考虑有一定的腐蚀，可适当地将直径取得大一些，如取蚀，可适当地将直径取得大一些，如取d=110mmd=110mm。 例例5-7 5-7 若例若例5-65-6所示外伸梁的横截面为实心圆，试所示外伸梁的横截面为实心圆，试设计其直径。已知该梁所用材料的弯曲许用应力设计其直径。已知该梁所用材料的弯曲许用应力=160MPa=160MPa。解：由例解：由例5-65-6可知，该梁的最大弯矩可知，该梁的最大弯矩Mmax=18kNMmax=18kNm m。由。由于该梁为等截面梁，故危险截面为最大弯矩所在截面，于该梁为等截面梁，故危险截面为最大弯矩所在截面，由强度条件得：由强度条件得：5.5.1.3 5.5.1.3 提高梁弯曲强度的措施提高梁弯曲强度的措施(1)(1)合理布置支座合理布置支座工程实例工程实例(2)(2)合理布置载荷合理布置载荷改善集中载荷分布改善集中载荷分布: :点击图标播放点击图标播放改善均布载荷分布改善均布载荷分布:点击图标播放点击图标播放(3)(3)合理选择梁的横截面形状合理选择梁的横截面形状竖放竖放横放横放竖放比横放有较高的抗弯能力竖放比横放有较高的抗弯能力 ，所以竖放比平放有较高的抗弯能力 常见的截面常见的截面W WS S值值等强度梁等强度梁提高抗弯截面模量提高抗弯截面模量:点击图标播放点击图标播放5.5.2.1 5.5.2.1 梁弯曲变形的度量梁弯曲变形的度量-挠度和转角挠度和转角5.5.2 5.5.2 平面弯曲梁的变形计算平面弯曲梁的变形计算变形：梁变形前后形状的变化称为变形。变形：梁变形前后形状的变化称为变形。位移：梁变形前后位置的变化称为位移。位移：梁变形前后位置的变化称为位移。 位移包括线位移和角位移。位移包括线位移和角位移。 线位移挠度线位移挠度y y 角位移转角角位移转角 y=f(x) 挠曲线挠曲线: : 规定：转角规定：转角以逆时针转向为正，顺时针转向为负。以逆时针转向为正，顺时针转向为负。 挠曲线上任一点的斜率为：挠曲线上任一点的斜率为： 由于挠曲线曲率很小，转角度由于挠曲线曲率很小，转角度很小，即很小，即:即挠曲线上任一点的斜率即挠曲线上任一点的斜率就表示了相应横截面的转就表示了相应横截面的转角。可见，只要确定了梁角。可见，只要确定了梁的挠曲线方程的挠曲线方程 y=f(x) y=f(x)，则，则梁上各点的挠度和转角均梁上各点的挠度和转角均可求出。可求出。点击图标播放点击图标播放5.5.2.2 5.5.2.2 挠曲线近似微分方程及两次积分法挠曲线近似微分方程及两次积分法忽略剪力对变形的影响，梁平面弯曲的曲率公式为：忽略剪力对变形的影响，梁平面弯曲的曲率公式为： 曲线曲线y=f(x)y=f(x)上任一点的曲率为：上任一点的曲率为： 由于由于很小，很小，与与1相比可以忽略不计，于是有相比可以忽略不计，于是有:即即则更小，则更小，图4-20 近似曲率符号规定当挠曲线的二阶导数当挠曲线的二阶导数0时，弯矩时，弯矩M(x)0，0时，弯矩时，弯矩M(x)0，的符号是一致的，于是有的符号是一致的，于是有:而当挠曲线的二阶导数而当挠曲线的二阶导数即即M(x)与与对于采用同一种材料的等截面梁来说，抗弯刚度对于采用同一种材料的等截面梁来说，抗弯刚度EI为为常量，将上式对常量，将上式对x积分一次，得转角方程：积分一次，得转角方程：再积分一次，得挠曲线的方程：再积分一次，得挠曲线的方程： 式中式中C C和和D D为积分常数，应由梁所受约束决定的位移为积分常数，应由梁所受约束决定的位移条件即边界条件来确定。条件即边界条件来确定。 例例5-8 试求如图所示悬臂梁的挠度方程和转角方程。试求如图所示悬臂梁的挠度方程和转角方程。设抗弯刚度设抗弯刚度EI为常数。为常数。图4-21 例4-5图解：如图建立坐标系，列出弯矩解：如图建立坐标系，列出弯矩方程如下：方程如下：M(x)=-P(L-x)=P(x-L) (0xL) （0xL）将此式代入挠曲线微分方程，得：将此式代入挠曲线微分方程，得：(0xL) (0xL) 积分一次，得转角方程：积分一次，得转角方程： (0xL)再积分一次，得挠度方程：再积分一次，得挠度方程： （0xL）边界条件为：边界条件为：在固定端梁的挠度和转角均为零，即当在固定端梁的挠度和转角均为零，即当x=0x=0时，时，=0=0，y=0y=0。于是有：于是有：因此因此, , 可得到如下的挠度方程和转角方程可得到如下的挠度方程和转角方程: :当当x=Lx=L时挠度和转角均取得最大值，即时挠度和转角均取得最大值，即: : 该方法可以求出任意截面上的挠度和转角，但该方法可以求出任意截面上的挠度和转角，但是求解比较复杂。是求解比较复杂。5.5.2.3 5.5.2.3 用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形 梁的变形属于小变形，梁的变形属于小变形，服从虎克定律。梁的挠度服从虎克定律。梁的挠度和转角均与梁所受载荷成和转角均与梁所受载荷成线性关系，因此，梁在几线性关系，因此，梁在几种载荷共同作用下的变形，种载荷共同作用下的变形，可以看作是每一种载荷单可以看作是每一种载荷单独作用时所产生变形的叠独作用时所产生变形的叠加。加。叠加原理叠加原理: :点击图标播放点击图标播放图4-22 例4-6图 例例5-9 5-9 试求如图所示悬臂梁自由端的挠度和转角。试求如图所示悬臂梁自由端的挠度和转角。设抗弯刚度设抗弯刚度EIEI为常量。为常量。解：解：P1和和P2共同作用下悬臂梁自由端的共同作用下悬臂梁自由端的挠度和转角，可看作挠度和转角，可看作P1和和P2单独作用下单独作用下产生的变形的代数和。产生的变形的代数和。即即:ymax= y1 + y2max=1 +2由例由例5-8可知，悬臂梁在可知，悬臂梁在P1单独作用单独作用下自由端的变形为：下自由端的变形为：P2单独作用下梁自由端的变形为单独作用下梁自由端的变形为:自由端的挠度可以看作自由端的挠度可以看作P2P2作用点处的挠度与由于作用点处的挠度与由于P2P2的作用点的作用点到自由端这一段梁轴线的旋转在自由端产生的挠度之和到自由端这一段梁轴线的旋转在自由端产生的挠度之和, , 即即: :于是，最后求得在于是，最后求得在P1P1和和P2P2共同作用下悬臂梁自由端的变为：共同作用下悬臂梁自由端的变为：5.5.2.4 5.5.2.4 梁的刚度条件梁的刚度条件对梁的最大变形限制在一定范围内的条件称为梁的刚度条件对梁的最大变形限制在一定范围内的条件称为梁的刚度条件: :ymaxy max 式中式中 y和和分别称为梁的许用挠度和许用转角，可分别称为梁的许用挠度和许用转角，可从有关设计手册中查得。从有关设计手册中查得。 提高梁刚性的措施为提高梁刚性的措施为:1)1)改善结构受力形式，减小弯矩；改善结构受力形式，减小弯矩； 2)2)增加支承，减小跨度增加支承，减小跨度 ；3)3)选用合适的材料，增加弹性模量选用合适的材料，增加弹性模量 ；4)4)选择合理的截面形状，提高惯性矩选择合理的截面形状，提高惯性矩 。5.6 5.6 直杆组合变形时的强度计算直杆组合变形时的强度计算压弯组合变形压弯组合变形组合变形工程实例组合变形工程实例拉弯组合变形拉弯组合变形组合变形工程实例组合变形工程实例弯扭组合变形弯扭组合变形组合变形工程实例组合变形工程实例叠加原理叠加原理: 构件在微小变形和应力构件在微小变形和应力-应变关系服从虎克定应变关系服从虎克定律的条件下，力的独立性原理是成立的。即所有载律的条件下，力的独立性原理是成立的。即所有载荷作用下的内力、应力、应变等是各个载荷单独作荷作用下的内力、应力、应变等是各个载荷单独作用下之值的叠加。用下之值的叠加。 解决组合变形的基本方法是将其分解为几种基解决组合变形的基本方法是将其分解为几种基本变形；分别考虑各个基本变形时构件的内力、应本变形；分别考虑各个基本变形时构件的内力、应力、应变等；最后进行叠加。力、应变等；最后进行叠加。解决组合变形的基本方法基本变形、叠加解决组合变形的基本方法基本变形、叠加+=5.6.1 5.6.1 弯曲与拉弯曲与拉( (压压) )的组合的组合塔设备在风载荷与重力载荷的共同作用下引起的变形示意图塔设备在风载荷与重力载荷的共同作用下引起的变形示意图塔设备在风载荷与重力载荷的共同作用下引起的变形示意图塔设备在风载荷与重力载荷的共同作用下引起的变形示意图 式中式中 A A横截面的面积；横截面的面积； Wz Wz截面的抗弯截面模量。截面的抗弯截面模量。 5.6.2 5.6.2 弯曲与扭转的组合变形弯曲与扭转的组合变形运用：皮带传动中连接皮带轮的轴，齿轮传运用：皮带传动中连接皮带轮的轴，齿轮传动中的齿轮轴，活塞式压缩机的曲轴等都是动中的齿轮轴，活塞式压缩机的曲轴等都是转轴，其变形属于弯曲与扭转的组合变形。转轴，其变形属于弯曲与扭转的组合变形。传动轴：主要承受扭矩作用。传动轴：主要承受扭矩作用。转轴：同时承受弯矩和扭矩的作用。转轴：同时承受弯矩和扭矩的作用。 (a) (b) (c) (a) (b) (c) 弯曲与扭转的组合变形示意图弯曲与扭转的组合变形示意图第三强度理论：第三强度理论：塑性材料的圆截面轴弯扭组合变形塑性材料的圆截面轴弯扭组合变形: :式中式中WzWz为抗弯截面系数，为抗弯截面系数，M M、T T 为轴危险面的弯矩和为轴危险面的弯矩和转矩。转矩。空心圆轴：空心圆轴：实心圆轴：实心圆轴：5.7.1 5.7.1 超静定问题的概念超静定问题的概念在静定结构中，再增加约束，则仅由静力平衡方在静定结构中，再增加约束，则仅由静力平衡方在静定结构中，再增加约束，则仅由静力平衡方在静定结构中，再增加约束，则仅由静力平衡方程不能确定结构的全部约束力，即未知力的数目程不能确定结构的全部约束力，即未知力的数目程不能确定结构的全部约束力，即未知力的数目程不能确定结构的全部约束力，即未知力的数目多于独立的静力平衡方程数目。这种问题称为超多于独立的静力平衡方程数目。这种问题称为超多于独立的静力平衡方程数目。这种问题称为超多于独立的静力平衡方程数目。这种问题称为超静定问题或静不定问题。静定问题或静不定问题。静定问题或静不定问题。静定问题或静不定问题。 超静定结构中存在多余约束。之所以称为多余约超静定结构中存在多余约束。之所以称为多余约束，是因为这些约束对于保证结构的平衡与几何不束，是因为这些约束对于保证结构的平衡与几何不变都不是必须的，而是为了满足结构对强度和刚度变都不是必须的，而是为了满足结构对强度和刚度的某些要求而设置的。一般来说，超静定结构比静的某些要求而设置的。一般来说，超静定结构比静定结构具有更高的承载能力。定结构具有更高的承载能力。 5.7 5.7 超静定问题简介超静定问题简介超静定结构：超静定结构：(1)(1)确定结构的超静定次数；确定结构的超静定次数；(2)(2)列出静力平衡方程；列出静力平衡方程；(3)(3)由变形协调关系，列出变形协调方程；由变形协调关系，列出变形协调方程；(4)(4)应用虎克定律，把变形与力之间的关系代入变应用虎克定律，把变形与力之间的关系代入变形协调方程，得到所需要的补充方程；形协调方程，得到所需要的补充方程；(5)(5)联立静力平衡方程和补充方程，可求得所有未联立静力平衡方程和补充方程，可求得所有未知力。知力。求解超静定问题的步骤如下：求解超静定问题的步骤如下：超静定问题的求解，关键是要列出正确的变形协调方程。超静定问题的求解，关键是要列出正确的变形协调方程。 5.7.2 5.7.2 热应力问题热应力问题热应力或温差应力是由于温度的变化而约束使构热应力或温差应力是由于温度的变化而约束使构热应力或温差应力是由于温度的变化而约束使构热应力或温差应力是由于温度的变化而约束使构件不能自由伸缩而产生的。热应力的大小与杆的件不能自由伸缩而产生的。热应力的大小与杆的件不能自由伸缩而产生的。热应力的大小与杆的件不能自由伸缩而产生的。热应力的大小与杆的材质、温度的变化量及所受到的约束强弱有关。材质、温度的变化量及所受到的约束强弱有关。材质、温度的变化量及所受到的约束强弱有关。材质、温度的变化量及所受到的约束强弱有关。 在实际的工程结构中，构件的材质及所受的约束在实际的工程结构中，构件的材质及所受的约束在实际的工程结构中，构件的材质及所受的约束在实际的工程结构中，构件的材质及所受的约束都是确定的。因此，热应力的大小取决于构件在工都是确定的。因此，热应力的大小取决于构件在工都是确定的。因此，热应力的大小取决于构件在工都是确定的。因此，热应力的大小取决于构件在工作过程中温度的变化量。温差愈大，热应力愈大。作过程中温度的变化量。温差愈大，热应力愈大。作过程中温度的变化量。温差愈大，热应力愈大。作过程中温度的变化量。温差愈大，热应力愈大。这与载荷愈大、在构件中产生的应力愈大具有类同这与载荷愈大、在构件中产生的应力愈大具有类同这与载荷愈大、在构件中产生的应力愈大具有类同这与载荷愈大、在构件中产生的应力愈大具有类同性，因而在工程中将温度的变化视为一种类型的载性，因而在工程中将温度的变化视为一种类型的载性，因而在工程中将温度的变化视为一种类型的载性，因而在工程中将温度的变化视为一种类型的载荷，称为热载荷或温差载荷。荷，称为热载荷或温差载荷。荷，称为热载荷或温差载荷。荷，称为热载荷或温差载荷。 例例5-10 5-10 两端固定的钢杆两端固定的钢杆 见图见图(a)(a)，杆长为，杆长为l l，横截面面积为横截面面积为S S，材料的弹性模量为，材料的弹性模量为E E，线膨胀系数，线膨胀系数为为。试求当温度升高。试求当温度升高tt时，杆内的温度应力。时，杆内的温度应力。两端固定的钢杆两端固定的钢杆解：若杆只在一端解：若杆只在一端(见图中的见图中的A端端)固定，则温度升高后，杆端固定，则温度升高后，杆端B将将自由伸长至自由伸长至B，伸长量为，伸长量为 事实上B端为固定端，使杆不能自由伸长，即在杆的端部必作用有一由于杆温度升高而引起的附加约束反力F(压力)，F的作用结果是使杆端B回复至B，其位移为 由于实际上杆既未伸长也没有缩短，因此变形协调由于实际上杆既未伸长也没有缩短，因此变形协调条件为杆的总长度不变，即杆由于温度升高而产生的条件为杆的总长度不变，即杆由于温度升高而产生的自由伸长量应等于固定端自由伸长量应等于固定端B给予的约束反力产生的压缩给予的约束反力产生的压缩量，即：量，即：，所以所以 显然此时杆内的轴力显然此时杆内的轴力N=F ，由此得到杆内的热应力为：，由此得到杆内的热应力为： N/SEt (a) (a)管子弯成管子弯成U U形形 (b) (b)管路专用膨胀节管路专用膨胀节热应力在工程上往往是有害的，应设法降低甚至热应力在工程上往往是有害的，应设法降低甚至消除。减弱约束的措施有：消除。减弱约束的措施有：膨胀节：是一种易于发生轴向变形的挠性元件，膨胀节：是一种易于发生轴向变形的挠性元件，能够大大地减弱管道所受到的轴向约束，从而有能够大大地减弱管道所受到的轴向约束，从而有效地减小温差应力。效地减小温差应力。5.7.3 5.7.3 超静定梁超静定梁超静定梁：超静定梁： 约束反力数目多于静力平衡约束反力数目多于静力平衡方程数目的梁。两者数目的差称为静方程数目的梁。两者数目的差称为静不定次数。不定次数。 求解方法：求解方法： 建立反映变形协调关系的补充方程。建立反映变形协调关系的补充方程。 通常将超静梁上的多余约束解除，通常将超静梁上的多余约束解除，加上相应的约束反力，从而得到与原超加上相应的约束反力，从而得到与原超静定梁相当的静定梁静定梁相当的静定梁 即静定基。即静定基。静定基：静定基：指将静不定梁上的多余约束除指将静不定梁上的多余约束除去后所得到的去后所得到的“静定基本系统静定基本系统”。 小小 结结目的：杆件的强度与刚度计算目的：杆件的强度与刚度计算方法：利用强度与刚度条件式方法：利用强度与刚度条件式构件中的最大应力构件中的最大应力许用应力许用应力 构件中的最大变形量构件中的最大变形量许用变形许用变形 直杆轴向拉伸与压缩时的强度与变形计算：直杆轴向拉伸与压缩时的强度与变形计算：强度条件强度条件: :变形计算变形计算: := - 剪切变形、剪切面、剪力、切应力、剪切变形、剪切面、剪力、切应力、切应变、挤压变形、挤压面、挤压应力。切应变、挤压变形、挤压面、挤压应力。基本概念：基本概念：强度条件：强度条件： 剪切剪切挤压挤压杆件剪切时的强度计算：杆件剪切时的强度计算：圆轴扭转时的强度与刚度计算：圆轴扭转时的强度与刚度计算：圆轴扭转时横截面上的应力计算及强度条件圆轴扭转时横截面上的应力计算及强度条件: :圆轴扭转时的变形及刚度计算圆轴扭转时的变形及刚度计算: :圆轴扭转时的刚度条件圆轴扭转时的刚度条件: :平面弯曲梁的强度与刚度计算：平面弯曲梁的强度与刚度计算：梁弯曲时的应力计算及强度条件梁弯曲时的应力计算及强度条件: :梁的变形计算及叠加梁的变形计算及叠加梁的刚度条件梁的刚度条件:ymaxy max 1.1.了解组合变形杆件强度计算的基本方法。了解组合变形杆件强度计算的基本方法。2.2.掌握弯曲和拉掌握弯曲和拉( (压压) )弯组合变形杆件的应弯组合变形杆件的应 力和强度计算。力和强度计算。3.3.掌握圆轴在弯扭组合变形情况下的强度掌握圆轴在弯扭组合变形情况下的强度 条件和强度计算。条件和强度计算。直杆组合变形时的强度计算：直杆组合变形时的强度计算：超静定问题：超静定问题：基本概念：基本概念：超静定问题、变形协调方程、热应力或超静定问题、变形协调方程、热应力或温差应力、热载荷或温差载荷、膨胀节、温差应力、热载荷或温差载荷、膨胀节、超静定梁。超静定梁。求解超静定问题的步骤如下：求解超静定问题的步骤如下：(1)(1)确定结构的超静定次数；确定结构的超静定次数；(2)(2)列出静力平衡方程；列出静力平衡方程；(3)(3)由变形协调关系，列出变形协调方程；由变形协调关系，列出变形协调方程；(4)(4)应用虎克定律，把变形与力之间的关系代入应用虎克定律，把变形与力之间的关系代入变形协调方程，得到所需要的补充方程；变形协调方程，得到所需要的补充方程；(5)(5)联立静力平衡方程和补充方程，可求得所有联立静力平衡方程和补充方程，可求得所有未知力。未知力。