24.2 直角三角形的性质直角三角形的性质1;.倍速课时学练矩形的判定：矩形的判定： 定理定理1 1：有三个角是直角的四边形是矩形：有三个角是直角的四边形是矩形 定理定理2 2：对角线相等的平行四边形是矩形：对角线相等的平行四边形是矩形 有一个角是直角的平行四边形叫是矩形有一个角是直角的平行四边形叫是矩形温故知新温故知新2;.倍速课时学练已知：在已知：在RtRtABCABC中，中，ACB=Rt,CDACB=Rt,CD是斜边是斜边ABAB上的中线上的中线 求证：求证：CD= ABCD= AB12ACBDE证明：延长证明：延长CDCD到到E E，使，使DE=CD= CEDE=CD= CE，连接，连接AEAE，BEBE。 CDCD是斜边是斜边ABAB上的中线，上的中线，AD=DBAD=DB。又又CD=DECD=DE，四边形四边形AEBCAEBC是平行四边形是平行四边形（_）CE=ABCE=AB（_），），CD= ABCD= AB。1 12 2 ACB=Rt ACB=Rt四边形四边形AEBCAEBC是矩形是矩形（_）对角线互相平分的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形 有一个角是直角的平行四边形是矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形矩形的对角线相等矩形的对角线相等 3;.倍速课时学练一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形ABC已知：在已知：在ABCABC中，中，CDCD是边是边ABAB上的中线，且上的中线，且求证：求证： ABCABC是直角三角形是直角三角形CDCD是边是边ABAB上的中线，上的中线，AD=DBAD=DB又又CD=DE，四边形四边形AEBC是平行四边形是平行四边形CE=ABCE=ABDE证明：延长证明：延长CDCD到到E E，使，使DE=CD = CEDE=CD = CE，连接连接AEAE，BEBE。 四边形四边形AEBC是矩形是矩形ACB=90（对角线相等的平行四边形是矩形）（对角线相等的平行四边形是矩形）ABCABC是直角三角形是直角三角形4;.倍速课时学练定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半CDCD是斜边是斜边ABAB上的中线，上的中线，CD= ABCD= AB。12C CB BA AD D几何语言：几何语言：一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形推论：推论：几何语言：几何语言：在在ABCABC中，中，CDCD是边是边ABAB上的中线，且上的中线，且ABCABC是直角三角形是直角三角形5;.倍速课时学练1 1、证明一条线段是另一条线段的、证明一条线段是另一条线段的1/21/2或或2 2倍，常用的定理：倍，常用的定理：“三角形的中位线定理三角形的中位线定理”和和“直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半”2 2、添辅助线的方法：延长短的使它等于原来的，再证相等；或在长的上截取一段使、添辅助线的方法：延长短的使它等于原来的，再证相等；或在长的上截取一段使它等于短，再证中点。它等于短，再证中点。6;.倍速课时学练（2 2 2 2）如图，一斜坡）如图，一斜坡）如图，一斜坡）如图，一斜坡ABABABAB的中点为的中点为的中点为的中点为D D D D，BC=1BC=1BC=1BC=1，CD=2CD=2CD=2CD=2，则斜坡的坡比为，则斜坡的坡比为，则斜坡的坡比为，则斜坡的坡比为_练一练练一练练一练练一练（1 1 1 1）在）在）在）在RtABCRtABCRtABCRtABC中，中，中，中，C=RtC=RtC=RtC=Rt，AC=AC=AC=AC=BC=1BC=1BC=1BC=1，则，则，则，则ABABABAB边上的中线长为边上的中线长为边上的中线长为边上的中线长为_7;.倍速课时学练（3 3 3 3）如图，在矩形）如图，在矩形）如图，在矩形）如图，在矩形ABCDABCDABCDABCD中，中，中，中，E E E E是是是是BCBCBCBC的中点，的中点，的中点，的中点，BAE=30BAE=30BAE=30BAE=30O O O O，AE=2AE=2AE=2AE=2，则，则，则，则BD=_BD=_BD=_BD=_练一练练一练练一练练一练（4 4 4 4）如图，）如图，）如图，）如图，在在RtABCRtABC中中, ,中中ACB=Rt,CDACB=Rt,CD是斜边是斜边ABAB上的中线上的中线, ,已知已知DCA=25DCA=250 0, A=, A= , B=, B= ; ;C CB BA AD D25250 065650 08;.倍速课时学练（5 5）如图，已知）如图，已知BC=20mBC=20m， B=C=30B=C=30， E E、G G分别为分别为ABAB，ACAC的中点，的中点，P P为为BCBC的中点，的中点，且且EFBCEFBC， GHBCGHBC，垂足分别为，垂足分别为F F，H H，求，求EFEF、PGPG的长；的长；A AP PC CB BF FG GH HE E练一练练一练练一练练一练9;.倍速课时学练（6 6）一张平行四边形纸片如图。现要求剪一刀，把它分成两部分，然后做适当的图）一张平行四边形纸片如图。现要求剪一刀，把它分成两部分，然后做适当的图形变换，把剪开的两部分拼成一个矩形，说明你的剪法和所采用的变换。形变换，把剪开的两部分拼成一个矩形，说明你的剪法和所采用的变换。A AD DC CB B练一练练一练练一练练一练10;.倍速课时学练例、求证：例、求证：在直角三角形中，在直角三角形中，30300 0角所对直角边等于斜边的一半。角所对直角边等于斜边的一半。已知：在已知：在RtRtABCABC中，中，ACB=Rt, A= ACB=Rt, A= 3030A AB BC C求证：求证：BC= ABBC= AB12D D证明其逆命题证明其逆命题11;.倍速课时学练 在直角三角形中，等于斜边一半的直角边所对的角等于在直角三角形中，等于斜边一半的直角边所对的角等于3030A AB BC C已知：在已知：在RtRtABCABC中，中，ACB=Rt, ACB=Rt, BC= ABBC= AB12 求证：求证：A= 30D D说明：上面两个性质只能局限于填空和选择题说明：上面两个性质只能局限于填空和选择题12;.倍速课时学练例例例例1 1 1 1、已知：如、已知：如、已知：如、已知：如图图，ABCABCABCABC中，中，中，中，BDBDBDBD，CECECECE是高，是高，是高，是高，G G G G、F F F F分分分分别别是是是是BCBCBCBC，DEDEDEDE的中点。的中点。的中点。的中点。试试判断判断判断判断FGFGFGFG与与与与DEDEDEDE的位置关系，并加以的位置关系，并加以的位置关系，并加以的位置关系，并加以证证明。明。明。明。13;.倍速课时学练变变式：已知：如式：已知：如式：已知：如式：已知：如图图，在四，在四，在四，在四边边形形形形ABCDABCDABCDABCD中，中，中，中，ABC= ABC= ABC= ABC= ADC=RtADC=RtADC=RtADC=Rt，M M M M是是是是ACACACAC的中点，的中点，的中点，的中点，N N N N是是是是BDBDBDBD的中的中的中的中点。点。点。点。试试判断判断判断判断MNMNMNMN与与与与BDBDBDBD的位置关系，并加以的位置关系，并加以的位置关系，并加以的位置关系，并加以证证明。明。明。明。14;.倍速课时学练例例例例2 2 2 2、已知：如、已知：如、已知：如、已知：如图图，ABABABAB与直与直与直与直线线 相交于一点，相交于一点，相交于一点，相交于一点，过过点点点点A A A A，B B B B作作作作 于于于于C C C C， 于于于于D D D D，M M M M为为ABABABAB的中点，的中点，的中点，的中点，连结连结MCMCMCMC，MDMDMDMD。求求求求证证：MC=MDMC=MDMC=MDMC=MDE E15;.倍速课时学练做一做做一做做一做做一做1 1、如图、如图tABCtABC中，中，点，分别是，边上的中点，点，分别是，边上的中点，点是边上的中点，如果，则点是边上的中点，如果，则点是边上的中点，点是边上的中点，是是tABC的斜边的中线的斜边的中线（直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半）直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半）点，分别是，边上的中点，点，分别是，边上的中点，DF是三角形的中位线是三角形的中位线(三角形的中位线等于第三边的一半）三角形的中位线等于第三边的一半）16;.倍速课时学练 2 2、 如图：在如图：在RtRtABCABC中，中，CDCD是斜边是斜边ABAB上的中线，已知上的中线，已知DCA=20DCA=200 0，则，则 A A ，B B_。BCAD20207070CDCD是斜边是斜边ABAB上的中线上的中线CD=AD=BD= ABCD=AD=BD= AB( (直角三角形的斜边中线等于斜边的一半）直角三角形的斜边中线等于斜边的一半） （直角三角形两锐角互余）（直角三角形两锐角互余）17;.倍速课时学练3 3、在矩形、在矩形ABCDABCD中，中，E E是是BCBC上一点，已知上一点，已知AE=AD,DFAE=AD,DF垂直与垂直与AEAE于点于点F,F,求证：求证：CE=FECE=FED DC CA AF FE EB B18;.倍速课时学练4 4 4 4、以、以、以、以ABCABCABCABC的三边在的三边在的三边在的三边在BC BC BC BC 的同侧分别作三个等边三角形，即的同侧分别作三个等边三角形，即的同侧分别作三个等边三角形，即的同侧分别作三个等边三角形，即ABC,ABC,ABC,ABC,BCE,BCE,BCE,BCE,ACF,ACF,ACF,ACF,请回答下列问题：请回答下列问题：请回答下列问题：请回答下列问题：（1 1 1 1）四边形）四边形）四边形）四边形ADEFADEFADEFADEF是什么四边形？是什么四边形？是什么四边形？是什么四边形？（2 2 2 2）当）当）当）当ABCABCABCABC满足什么条件时，四边形满足什么条件时，四边形满足什么条件时，四边形满足什么条件时，四边形ADEFADEFADEFADEF是矩形是矩形是矩形是矩形？FEDCBA19;.倍速课时学练证明一条线段是另一条线段的证明一条线段是另一条线段的1/2或或2倍，倍，（）常用的定理：（）常用的定理：（2）添辅助线的方法：）添辅助线的方法： “三角形的中位线定理三角形的中位线定理”和和“直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半” 延长短的一倍，再证它与长的线段相等；或在长的上截取中点延长短的一倍，再证它与长的线段相等；或在长的上截取中点,再证中点取得的一再证中点取得的一半等于短的，半等于短的，20;.