一、一、 量子力学的建立量子力学的建立二、二、 量子力学基本原理量子力学基本原理三、三、 量子力学的理论方法量子力学的理论方法四、四、 量子力学的应用量子力学的应用 高高 等等 量量 子子 力力 学学 二、二、 量子力学基本原理量子力学基本原理1 波函数的统计解释原理波函数的统计解释原理4 力学量用厄米算符表示力学量用厄米算符表示2 态叠加原理态叠加原理5 体系状态波函数可用算符的体系状态波函数可用算符的 本征函数展开本征函数展开3 体系状态波函数满足薛定谔方程体系状态波函数满足薛定谔方程7 全同性原理全同性原理6 不确定度关系不确定度关系1 波函数的统计解释原理波函数的统计解释原理经典概念中经典概念中 1.1.有一定质量、电荷等有一定质量、电荷等“颗粒性颗粒性”的属性的属性; ; 粒子意味着粒子意味着 2.2.有确定的运动轨道，每一时刻有一定有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。位置和速度。经典概念中经典概念中 1.1.实在的物理量的空间分布作周期性的变化实在的物理量的空间分布作周期性的变化; ; 波意味着波意味着 2 2干涉、衍射现象，即相干叠加性。干涉、衍射现象，即相干叠加性。粒子和波的经典观点粒子和波的经典观点:经典粒子的图像经典粒子的图像在经典物理中，粒子的概念抽象为：大小可忽略不在经典物理中，粒子的概念抽象为：大小可忽略不计的具有质量的对象，即所谓质点。计的具有质量的对象，即所谓质点。 为叙述的方便，可把粒子等同于质点。要描述一个质为叙述的方便，可把粒子等同于质点。要描述一个质点的运动状态，我们需要知道点的运动状态，我们需要知道（m,x,t） 经典波动的图像经典波动的图像 波动是一种集体运动，是由波动是一种集体运动，是由很多粒子参与步调统一的运很多粒子参与步调统一的运动动 微观粒子因具有波粒二象性，其运动状态的描述必有别于微观粒子因具有波粒二象性，其运动状态的描述必有别于经典力学对粒子运动状态的描述。经典力学对粒子运动状态的描述。这就要求在描述微观粒这就要求在描述微观粒子的运动时，要有创新的概念和思想来统一波和粒子这样子的运动时，要有创新的概念和思想来统一波和粒子这样两个在经典物理中截然不同的物理图像两个在经典物理中截然不同的物理图像。 描述自由粒子的波是具有确定能量和动量的平面波描述自由粒子的波是具有确定能量和动量的平面波dedeBroglie Broglie 波波如果粒子处于如果粒子处于随时间和位置变化的力场随时间和位置变化的力场中运动，他的动中运动，他的动量和能量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不量和能量不再是常量（或不同时为常量）粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：描写粒子状态的波函数，它通描写粒子状态的波函数，它通常是一个常是一个复函数复函数。微观粒子状态的量子描述微观粒子状态的量子描述(1) (1) 是怎样描述粒子的状态呢？是怎样描述粒子的状态呢？( (3) 3) 如何体现波粒二象性的？如何体现波粒二象性的？( (2) 2) 描写的是什么样的波呢？描写的是什么样的波呢？三个问题？三个问题？(1)(1)入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦 显示衍射图样显示衍射图样; ;(2) (2) 入射电子流强度大，很快显示衍射图样入射电子流强度大，很快显示衍射图样. .单电子衍射实验单电子衍射实验(1)“(1)“亮纹亮纹”处是到达该处的电子数多，或讲电子到达该处的处是到达该处的电子数多，或讲电子到达该处的概概 率大。率大。“暗纹暗纹”处是到达该处的电子数少，或讲电子到达处是到达该处的电子数少，或讲电子到达该该 处的概率小。处的概率小。(2)(2)衍射图样由电子波动性引起衍射图样由电子波动性引起 “ “亮纹亮纹”处表示该处波强度处表示该处波强度| (r)| (r)|2 2大，大， “ “暗纹暗纹”处表示该处波强度处表示该处波强度| (r)| (r)|2 2小，小， 所以，电子到达屏上各处的概率与波的强度成正比所以，电子到达屏上各处的概率与波的强度成正比. .单电子衍射实验结果分析单电子衍射实验结果分析当降低光的强度，发现光竟然也是由一个一个的粒子当降低光的强度，发现光竟然也是由一个一个的粒子-“-“光子光子”组成的。组成的。当光强极弱时，我们可完成所谓单光子干涉实验，每个光子对应一个随当光强极弱时，我们可完成所谓单光子干涉实验，每个光子对应一个随机的位置，很多单光子事件累积起来呈现干涉条纹。机的位置，很多单光子事件累积起来呈现干涉条纹。 光双缝干涉实验光双缝干涉实验 两种错误的两种错误的看法看法（1 1） 波由粒子组成波由粒子组成如水波，声波，由物质的分子密度疏密变化而形成的如水波，声波，由物质的分子密度疏密变化而形成的一种分布。一种分布。这种看法是与实验矛盾的，它这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个不能解释长时间单个电子衍射实验电子衍射实验。电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上仍可电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上仍可呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象，间聚集在一起时才有的现象，单个电子就具有波动性单个电子就具有波动性。 波由粒子组成的看法仅注意到了粒子性的一面，而抹波由粒子组成的看法仅注意到了粒子性的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。（2 2） 粒子由波组成粒子由波组成l电子是波包电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大小，干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。波包的群速度即电子的运动速度。l什么是波包？什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。波包是各种波数（长）平面波的迭加。 平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义的，么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义的，与实与实验事实相矛盾。验事实相矛盾。 l 实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如一个原子内的电子，其广延不会超过原子大小例如一个原子内的电子，其广延不会超过原子大小1 1 。 物质波包的观点夸大了波动性一面，而抹杀了粒子性物质波包的观点夸大了波动性一面，而抹杀了粒子性一面，也具有片面性。一面，也具有片面性。争论：微观粒子是波还是粒子争论：微观粒子是波还是粒子薛定谔：薛定谔：不管是电子也好，光子也好，或者任何粒子也不管是电子也好，光子也好，或者任何粒子也好，都只是波动表面的泡沫，它的本质上是波，都可以好，都只是波动表面的泡沫，它的本质上是波，都可以用波动方程来表达基本的运动方式。用波动方程来表达基本的运动方式。海森堡：海森堡：物理世界的基本现象是离散性，或者说不连续物理世界的基本现象是离散性，或者说不连续性。从原子光谱到康普顿散射，从光电现象到原子中电性。从原子光谱到康普顿散射，从光电现象到原子中电子在能级间的跃迁，都显示出大自然是不连续的。子在能级间的跃迁，都显示出大自然是不连续的。薛定谔：薛定谔：粒子就像一个椰子一样，如果你敲开那坚硬粒子就像一个椰子一样，如果你敲开那坚硬的外壳，你会发现那里面是波动的柔软的水汁。电子的外壳，你会发现那里面是波动的柔软的水汁。电子无疑是由正弦波组成的，但这种波在各个尺度上伸展无疑是由正弦波组成的，但这种波在各个尺度上伸展都不大，可以看成是一个都不大，可以看成是一个波包波包。当这种。当这种波包波包做为一个整体前进时，它看起来就像是一个粒子。可做为一个整体前进时，它看起来就像是一个粒子。可是本质上它还是波。是本质上它还是波。l电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？“ “ 电子既不是粒子也不是波电子既不是粒子也不是波 ” ”，既不是经典的粒子，既不是经典的粒子也不是经典的波也不是经典的波; ;“ “ 电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一盾的统一。”这个波不再是经典概念的波，粒子也不这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。是经典概念中的粒子。1.1.有一定质量、电荷等有一定质量、电荷等“颗粒性颗粒性”的属性的属性; ;2 2有确定的运动轨道，每一时刻有一定有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。位置和速度。经典概念经典概念中粒子意中粒子意味着味着 1.1.实在的物理量的空间分布作周期性的实在的物理量的空间分布作周期性的 变化变化; ; 2 2干涉、衍射现象，即相干叠加性。干涉、衍射现象，即相干叠加性。经典概经典概念中波念中波意味着意味着 l衍射实验所揭示的电子的波动性是：衍射实验所揭示的电子的波动性是：许多电子在同一个实验中的统计结许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。果，或者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。 l波函数波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基础上，正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基础上，Born Born 提提出了波函数意义的统计解释。出了波函数意义的统计解释。 r r 点附近衍射花样的强度点附近衍射花样的强度 正比于该点附近感光点的数目，正比于该点附近感光点的数目， 正比于该点附近出现的电子数目，正比于该点附近出现的电子数目， 正比于电子出现在正比于电子出现在 r r 点附近的概率。点附近的概率。在电子衍射实验中，在电子衍射实验中，照相底片上照相底片上 玻恩的解释玻恩的解释（18821970） 1954年诺贝尔物理学奖年诺贝尔物理学奖 据据此此，描描写写粒粒子子的的波波可可以以认认为为是是概概率率波波，反反映映微微观观客客体体运运动动的的一一种种统统计计规规律律性性，波波函函数数( (r r) )有有时时也也称称为为概率波幅概率波幅. . 这这就就是是首首先先由由 BornBorn 提提出出的的波波函函数数的的概概率率解解释释，它它是是量子力学的基本原理量子力学的基本原理。假设衍射波用假设衍射波用 (r) 描述，衍射花纹的强度则用描述，衍射花纹的强度则用 | (r)|2 描述。描述。| (r)|2 的意义是代表电子出现在的意义是代表电子出现在 r 点附近概率的大小点附近概率的大小. .确切的说确切的说 | (r)|2 xyz 表表示示在在 r 点点处处，体体积积元元xyz中中找找到到粒粒子子的的概概率率。波波函函数数在在空空间间某某点点的的强强度度（振振幅幅绝绝对对值值的的平平方方）和和在在这点找到粒子的概率成比例这点找到粒子的概率成比例. . 波函数模的平方波函数模的平方 与粒子与粒子 时刻在时刻在 处附近出现的处附近出现的概率成正比。概率成正比。 （1 1）“微微观观粒粒子子的的运运动动状状态态用用波波函函数数描描述述，描描写写粒粒子子的的波波是是概概率率波波”，这这是是量量子子力力学学的的一一个个基基本本假假设设（基本原理）基本原理）。 知知道道了了描描述述微微观观粒粒子子状状态态的的波波函函数数，就就可可知知道道粒粒子子在在空空间间各各点点处处出出现现的的概概率率，以以后后的的讨讨论论进进一一步步知知道道，波波函函数数给给出出体体系系的的一一切切性性质质，因因此此说说波波函函数数描描写写体体系系的量子状态（简称状态或态）的量子状态（简称状态或态）（2 2）波函数一般用复函数表示。）波函数一般用复函数表示。（3 3）波函数一般满足连续性、有限性、单值性。）波函数一般满足连续性、有限性、单值性。小小结结 态的迭加原理是量子力学的一个基本假设，它的态的迭加原理是量子力学的一个基本假设，它的正确性也依赖于实验的证实。正确性也依赖于实验的证实。 1. 1. 若若 是粒子的可能状态，则粒子是粒子的可能状态，则粒子也可处在它们的线性迭加态也可处在它们的线性迭加态 2.2.当体系处于当体系处于 态时，发现体系处于态时，发现体系处于 态的概率态的概率是是 ，并且，并且2 态叠加原理态叠加原理经典粒子和量子粒子以及经典波与概率波的区别经典粒子和量子粒子以及经典波与概率波的区别经典粒子和量子粒子以及经典波与概率波的区别经典粒子和量子粒子以及经典波与概率波的区别1、经典粒子和量子粒子、经典粒子和量子粒子 相同：局域，不连续相同：局域，不连续 不同不同 经典：确定的轨道、坐标、动量等经典：确定的轨道、坐标、动量等 量子：无确定的轨道，概率量子：无确定的轨道，概率 2、经典波和概率波、经典波和概率波 相同：均满足叠加原理相同：均满足叠加原理 （1）叠加）叠加 不同不同 （3）数学表达式）数学表达式（2）振幅变化）振幅变化 经典：各经典：各 观测时观测时同时同时出现于出现于 中中 量子：各量子：各 观测时观测时不能同时不能同时出现于出现于 中中 经典：经典： 不同状态不同状态 量子：量子： 同一状态同一状态 经典：实函数（可测察量）经典：实函数（可测察量） 量子：复函数（不可测察量）量子：复函数（不可测察量） 3 体系状态波函数满足薛定谔方程体系状态波函数满足薛定谔方程微观粒子运动状态用波函数完全描微观粒子运动状态用波函数完全描述，波函数确定之后，量子力学最述，波函数确定之后，量子力学最核心的问题就是要解决以下两个问核心的问题就是要解决以下两个问题：题：(1)(1)在各种情况下，找出描述系统的各在各种情况下，找出描述系统的各 种可能的波函数；种可能的波函数； (2)(2)波函数如何随时间演化。波函数如何随时间演化。Schrodinger Schrodinger 的方程一般表达式的方程一般表达式薛定谔方程薛定谔方程知道体系所受力场和相互作用及初始时刻体系的知道体系所受力场和相互作用及初始时刻体系的状态后，由状态后，由Schrodinger方程即可确定以后时刻的方程即可确定以后时刻的状态状态。当当 不显含时间不显含时间t 时时,体系的能量是守恒量体系的能量是守恒量对于一个粒子在势场对于一个粒子在势场 中运动的特殊情况中运动的特殊情况, , 有有定态薛定谔方程定态薛定谔方程定态薛定谔方程：定态薛定谔方程：本征能量值谱：本征能量值谱：本征函数系：本征函数系：本征波函数本征波函数任意状态任意状态 判别定态的方法：判别定态的方法：（1 1）能量是否为确定值）能量是否为确定值（2 2）概率与时间无关）概率与时间无关（3 3）概率流密度与时间无关）概率流密度与时间无关非定态：非定态：一个粒子不是处于能量本征态，而是若干个能量本征态的叠加一个粒子不是处于能量本征态，而是若干个能量本征态的叠加测量粒子的能量时测量粒子的能量时, ,求和中所包含的能量本征值求和中所包含的能量本征值EnEn都有可能出现都有可能出现, ,出现的概率为出现的概率为称这种态为非定态称这种态为非定态4 力学量用厄米算符表示力学量用厄米算符表示 经经典典力力学学中中物物质质运运动动的的状状态态总总用用坐坐标标、动动量量、角角动量、自旋、动能、势能、转动能等力学量描述。动量、自旋、动能、势能、转动能等力学量描述。 量量子子力力学学引引入入了了波波函函数数这这样样一一个个基基本本概概念念，以以概概率率的的特特征征全全面面地地描描述述了了微微观观粒粒子子的的运运动动状状态态。但但并并不不能能作作为为量量子子力力学学中中的的力力学学量量。于于是是，又又引引入入了了一一个个重重要要的的基基本本概概念念算算符符，用用它它表表示示量量子子力力学学中中的的力力学学量量。 什么是算符什么是算符? ? 算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号1 1）du / dxdu / dx = = v v ， d / dxd / dx 就是算符，其作用就是算符，其作用 是对函数是对函数 u u 微商，微商， 故称为微商算符。故称为微商算符。2 2）x u x u = = v v， x x 也是算符。也是算符。 它对它对 u u 作用作用 是使是使 u u 变成变成 v v。由由于于算算符符只只是是一一种种运运算算符符号号，所所以以它它单单独独存存在在是是没没有有意意义义的的，仅仅当当它它作用于波函数上，对波函数做相应的运算才有意义，例如：作用于波函数上，对波函数做相应的运算才有意义，例如：u u = = v v 表示表示 把函数把函数 u u 变成变成 v v， 就是这种变就是这种变 换的算符。换的算符。（一）算符的定义与构造（一）算符的定义与构造Ex.动能算符动能算符 角动量算符角动量算符 若量子力学中的力学量若量子力学中的力学量 在经典力学中有相应的在经典力学中有相应的力学量，则表示该力学量的算符力学量，则表示该力学量的算符 由经典表示由经典表示 中将动量中将动量 换成动量算符换成动量算符 而得出。而得出。 构造力学量算符的规则：构造力学量算符的规则： （1 1）以上所述力学量算符规则是对坐标表象而）以上所述力学量算符规则是对坐标表象而言；对于动量表象，表示力学量言；对于动量表象，表示力学量F F 的算符是将经典的算符是将经典表示表示 中的坐标变量中的坐标变量 换成坐标算符换成坐标算符（2 2）对于只在量子理论中才有，而在经典力学）对于只在量子理论中才有，而在经典力学中没有的力学量，其算符如何构造的问题另外讨论。中没有的力学量，其算符如何构造的问题另外讨论。即即 注意注意力学量算符力学量算符坐标表象坐标表象动量表象动量表象坐标算符坐标算符动量算符动量算符力学量算符力学量算符其中其中( (二）算符的本征方程、本征值与本征函数二）算符的本征方程、本征值与本征函数算符算符 作用在函数作用在函数 上，等于一常数上，等于一常数 乘以乘以 此称为算符此称为算符 的本征方程的本征方程 即即 称为其本征值，称为其本征值， 为其本征函数。为其本征函数。 如果算符如果算符 表示力学量表示力学量 ，那么当体系处于那么当体系处于 的本征态中时，力学量的本征态中时，力学量 有确定值，这个值就是有确定值，这个值就是 属于该本征态的本征值。属于该本征态的本征值。 该假设给出了表示力学量的算符与该力学量的关系该假设给出了表示力学量的算符与该力学量的关系 算符算符 之厄密共轭算符之厄密共轭算符 + + 定义定义: :可以可以证明明: ( )+ = + + + ( .)+ = . + + +（1 1）复共轭算符与）复共轭算符与厄密共轭算符厄密共轭算符厄密共轭算符厄密共轭算符算符算符 的复共的复共轭算符算符 *就是把就是把 表达式中表达式中 的所有量的所有量换成复共成复共轭. .例如例如: : 坐坐标表象中表象中可以证明：可以证明：( (三三) ) 厄密算符厄密算符(2) (2) (2) (2) 厄密算符厄密算符厄密算符厄密算符1. 定定义: 满足下列关系足下列关系 的算符称的算符称为 厄密算符厄密算符.2. 性性质性性质 I: 两个厄密算符之和仍是厄密算符两个厄密算符之和仍是厄密算符。 即即 若若 + = , + = 则 (+)+ = + + + = (+) 性性质 II: 两个厄密算符之两个厄密算符之积一般不是厄密一般不是厄密 算符算符, 除非二算符除非二算符对易。易。 因因为 ( )+ = + + = 仅当当 , , = 0 成立成立时, ( )+ = 才成立。才成立。设设 为厄米算符，其本征方程为厄米算符，其本征方程（实数）证证 :性质性质III: 厄米算符的本征值必为实数厄米算符的本征值必为实数例例例例例例 量子力学基本假定量子力学基本假定量子力学中的力学量用线性厄密算符表示。量子力学中的力学量用线性厄密算符表示。 若力学量是量子力学中特有的若力学量是量子力学中特有的 ( (如宇称、自旋如宇称、自旋等），将由量子力学本身定义给出。等），将由量子力学本身定义给出。 若力学量在经典力学中有对应的量若力学量在经典力学中有对应的量, ,则在直角坐标系则在直角坐标系下通过如下对应方式，改造为量子力学中的力学量算符：下通过如下对应方式，改造为量子力学中的力学量算符：