利率与贴现率的关系：利息力函数与累积函数：知识回顾知识回顾: :i(m)名利率与实利率的关系： d(m)名贴利率与实利率的关系： 利息理论利息基本计算利息基本计算Suyou教学目的：教学目的：通过本节的学习，使学生会用时间图建立价值方程，从而求出原始投资的本金、投资时期的长度、利率或本金在投资期末的积累值。教学方法：教学方法：多媒体演示与黑板板书相结合2024/9/2534ContentsOneTwoThreeFour价值方程等时间法利率计算Five时间单位的确定实例分析1.2 1.2 利息基本计算利息基本计算一个利息问题包含四个基本的量：一个利息问题包含四个基本的量：1.1.原始投资的本金原始投资的本金2.2.投资经过的时间投资经过的时间3.3.利率利率期初/期末计息：贴现率/利率计息方式：单利/复利利息结转频率：实际利率、名义利率、利息力4.4.本金在投资期末的累积值本金在投资期末的累积值其中任何三个量的值都可以决定第四个量的值其中任何三个量的值都可以决定第四个量的值. 精确利息计算精确利息计算(exact simple or compound interest) “实际投资天数实际投资天数/年实际天数年实际天数”(Actual/Actual) 按实际的投资天数计算，一年为按实际的投资天数计算，一年为365 天天 普通利息计算普通利息计算(Ordinary simple/compound interest) ，一般用，一般用“30/360” 假设每月有假设每月有30天，一年为天，一年为360天天 这时，两个，两个给定日期之定日期之间的天数的的天数的计算公式算公式为 360(Y2 -Y1) + 30(M2 -M1)+ (D2 - D1) 其中，其中，Y2、M2、D2分分别代表支取日的年、月、日，而代表支取日的年、月、日，而 Y1、M1、D1、则分分别代表存入日的年、月、日。代表存入日的年、月、日。1.2.1 1.2.1 时间单位的确定（非整数时时间单位的确定（非整数时间问题）间问题）例：存入日：例：存入日：1999 年年3 月月11 日日 支取日：支取日： 2000 年年6 月月20 日日存期天数存期天数=360（20001999）+30（6-3）+（20- 11） = 360+90+9 = 459存期天数存期天数=360(2000-1999)+30(3-6)+(11-20) =360(1999-1999)+30(12+2-6)+(30+11-20) =0+240+21= 261注：注：大月日大月日历日日30日与日与31日被日被视为同一天；二月当月存同一天；二月当月存入、当月取出的，按照入、当月取出的，按照实际存款天数存款天数计算，跨月存入、算，跨月存入、取出的，取出的，则按照按照30天天计算。算。例：存入日：例：存入日：1999 年年6 月月20 日日 支取日：支取日：2000 年年3 月月11 日日银行家利息法则银行家利息法则(Bankers Rule)“实际投资天数实际投资天数/360”/360”按实际的投资天数计算，但一年设为按实际的投资天数计算，但一年设为360360天天说明：显然，该算法比上两种算法对贷款方有利。注：注：（1 1）除非特别说明，总是假定起息日除非特别说明，总是假定起息日与到期日不能同时计入利息计算期；与到期日不能同时计入利息计算期； （2 2）不是所有的利息计算都需要计算）不是所有的利息计算都需要计算天数天数( (如银行储蓄、债券交易会涉及投资天如银行储蓄、债券交易会涉及投资天数的计算），许多金融业务是自动依月、数的计算），许多金融业务是自动依月、季、半年或一年进行的。季、半年或一年进行的。问题：问题：多笔金融业务发生在不同时刻，如多笔金融业务发生在不同时刻，如何比较它们的价值？何比较它们的价值？在考虑利息问题时，在不同时刻支付的金在考虑利息问题时，在不同时刻支付的金额是不能直接比较的。因为经历的时间不额是不能直接比较的。因为经历的时间不同，资金金额的变化也不同，也就说，货同，资金金额的变化也不同，也就说，货币具有时间性，这就是所谓的币具有时间性，这就是所谓的“货币的时货币的时间价值间价值”（time value of value）。）。1.2.2 1.2.2 价值方程价值方程 为了比较在不同时刻支付的金额，实际的做法为了比较在不同时刻支付的金额，实际的做法是将各个不同时刻的付款是将各个不同时刻的付款积累积累或或折现折现到同一时刻，到同一时刻，再进行比较。这里提及的再进行比较。这里提及的“同一时刻同一时刻”常称为常称为 “比较日比较日”（comparison date）。比较日通过比较日通过“一维时间图一维时间图”表示：表示：时间沿一维正方向度量，付款则置于图的上部，时间沿一维正方向度量，付款则置于图的上部，而沿另一个方向的付款则在图的下部。而沿另一个方向的付款则在图的下部。比较期比较期用用一个箭头表示。一个箭头表示。0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10100200500x x比较日的选择：比较日的选择：期初期初和和期末期末是两个特殊的比较日。其它中间时是两个特殊的比较日。其它中间时刻也可以作为比较日。刻也可以作为比较日。复利计算，最终计算结果与比较日的选取无关。复利计算，最终计算结果与比较日的选取无关。“收支相等收支相等”原则原则 一般地，要衡量在多个时刻付款的总价值时，一般地，要衡量在多个时刻付款的总价值时，总是先选取一个比较日期，然后分别将各次付总是先选取一个比较日期，然后分别将各次付款积累或折现到比较日期，将调整到比较日的款积累或折现到比较日期，将调整到比较日的计算结果按照收支相等的原则列出的等式叫做计算结果按照收支相等的原则列出的等式叫做“价值等式价值等式”，也称为，也称为“价值方程价值方程” ” 。0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10100200500x x每个度量期计息一次每个度量期计息一次解价值方程的有力工具解价值方程的有力工具-时间流程图时间流程图上图表示某人先取得(借贷)500元，按分期付款偿还.第一、二、三时期末各付100元，第四时期末需付多少？符号 表示比较日期。时间流程图：用一条直线表示时间（从左到右），上面的刻度为事先给定的时间单位，发生的现金流量写在对应时间的上方或下方（一般同一流向的现金流写在同一方）。例例2 2： 某人愿意立即支付某人愿意立即支付100100元，第元，第5 5年末支付年末支付200200元，第元，第1010年末再支付年末再支付X 元。作为回报，他在第元。作为回报，他在第8 8年年末得到末得到600600元。假定半年结算一次的年名义利率为元。假定半年结算一次的年名义利率为8 8。请计算第。请计算第1010年末他应该支付多少？年末他应该支付多少？解法一：解法一：时间单位半年。取时间单位半年。取期初期初为比较日。则为比较日。则半年的实际利率为半年的实际利率为4 4，贴现因子为，贴现因子为 ，价值方程为，价值方程为X0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10100200600解得解得解法二：解法二：时间单位半年。半年的实际利率为时间单位半年。半年的实际利率为j=4%, j=4%, 取取期末期末为比较日，则价值方程为为比较日，则价值方程为X0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10100200600解法三解法三：时间单位半年。我们取时间单位半年。我们取第第5 5年末年末为为比较日。价值方程为比较日。价值方程为可以看出，不同比较日的计算结果相同，可以看出，不同比较日的计算结果相同，X=186.76。 X0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101002006001.2.31.2.3未知时间问题未知时间问题 (unknown (unknown time)time)一、一次付款的未知时间问题（一、一次付款的未知时间问题（主要采用对数法）主要采用对数法） 。例例3：以每月计息的年名义利率以每月计息的年名义利率12%投资投资1万元，万元，若欲累计到若欲累计到1.5万元，需要几年时间？万元，需要几年时间？解：解：设要n年，则价值方程为因此：因此：需要n=3.4年 假设有两种投资方式假设有两种投资方式 方式一：方式一：分别于分别于 投入投入 ； 方式二：方式二：在时刻在时刻 t 一次投入一次投入 元。元。若这两种的投资价值相等，求时刻若这两种的投资价值相等，求时刻 t。t1t2t3tns1s2s3snt二、多次付款的未知时间问题。二、多次付款的未知时间问题。 不同时刻多次付款，而要求数值上等于这些付不同时刻多次付款，而要求数值上等于这些付款之和的一次付款未知时间。（款之和的一次付款未知时间。（等时间法等时间法）解法一解法一（精确解）：两者在时刻（精确解）：两者在时刻0 0的价值相等的价的价值相等的价值方程为值方程为 得精确解为得精确解为 解法二解法二（等时间法）：作为近似，（等时间法）：作为近似，t 常用各个付款常用各个付款时间的加权平均来计算，时间的加权平均来计算，20例例4：预定在第一、三、五、八年末分别付款预定在第一、三、五、八年末分别付款200200元、元、400400元、元、300300元、元、600600元，假设年实际利率为元，假设年实际利率为5%5%，试，试确定一个付款确定一个付款15001500元的时刻使这次付款与上面四次元的时刻使这次付款与上面四次付款等价。付款等价。1 1）用等时间法；）用等时间法；2 2）用精确方法。）用精确方法。解：解：2）价值方程为1）t=4.96年在现实中经常会遇到利率给定的情况下，一笔投在现实中经常会遇到利率给定的情况下，一笔投资要多长时间才能翻倍。资要多长时间才能翻倍。设利率为设利率为i i，投资额为，投资额为1 1，积累值为，积累值为2 2，则：，则：三、三、“72”算法算法 即当i在8%左右时，有近似公式： 称此式为72算法。 72“定律定律”是一个著名的规律，一方面因为它的简单易是一个著名的规律，一方面因为它的简单易用，另一方面则是因为它在一个很大的利率范围内会产生较用，另一方面则是因为它在一个很大的利率范围内会产生较准确的结果。下表中列出了一些数据。准确的结果。下表中列出了一些数据。年利率年利率%72定律（年）定律（年）准确值（年）准确值（年）41817.67514.414.2161211.9710.2910.24899.01107.27.271266.121844.19使存款翻倍的时间长度使存款翻倍的时间长度一、用带有指数和对数函数的计算器求一、用带有指数和对数函数的计算器求i i。例例5 5：投资投资10001000元，在元，在6 6年后累积到年后累积到16001600元，问每季元，问每季度计息的年名义利率为多少？度计息的年名义利率为多少？每季度计息的年名义利率为7.91%。1.2.4 1.2.4 利率的计算利率的计算解：解：价值方程为二、用代数法求解价值方程中的二、用代数法求解价值方程中的i i( (一般用于一般用于n n值较小的情形值较小的情形) ) 。例例6：某人在第某人在第2 2年末支付年末支付20002000元的现值与第元的现值与第4 4年末支年末支付付30003000元的现值之和为元的现值之和为40004000元，问实际利率是多少？元，问实际利率是多少？解：解：价值方程为实际利率为0.0730 %。三、线性插值法。对于积累函数的计算公式：三、线性插值法。对于积累函数的计算公式：令令线性插值方法如下：线性插值方法如下：f fi i线线性性插插值值示示意意图图未知利率可用如下公式计算：未知利率可用如下公式计算：例例7：某人现投资某人现投资10001000元，元，3 3年后再投资年后再投资20002000元，若元，若1010年后积累到年后积累到50005000元，求元，求1 1年计息年计息2 2次的名义利率？次的名义利率？解：解：设j=i(2)/2,由题意知价值方程为：令令则所求的实际利率即为f(j)=0的解,由试凑法得：利用线性插值可得j的近似值为故可得i(2) =2 j=0.0642或6.42%。迭代法指通过多次线性插值求得数值结果的方法，迭代法指通过多次线性插值求得数值结果的方法，其结果能达到所需要的精度。以具体例题来说明。其结果能达到所需要的精度。以具体例题来说明。四、迭代法四、迭代法例例8：用迭代法重做上例题目，精度到小数点用迭代法重做上例题目，精度到小数点6 6位。位。解：解：由题可知：j的第一次近似值j1=0.0321， f(0.0321)=-3.6930，由于f(j)单调递增，试算： f(0.0322)=1.7590介于2点间再用一次线性插值法得： j2=0.03218f(0.03218)=0.18346，而f(0.03217)=-0.60402介于2点间再用一次线性插值法得： j3=0.032178故可得i(2) =2 j=0.064356。一般说，银行的公布利率都是有着指定含义的。 例如：经常有这种表示“一年定期存单为利率7.91%/收益率8.15%”或“资金拆借市场为利率8.00%/收益率8.30%”。 它们的实际含义是：前面的数字是名利率，后面的数字是实利率。在第一种情况下，意味着：i(4) =7.91%或 i=8.15%；在第二种情况下，意味着： i(12) =8.00%或i =8.30%。但是，注意两种情况都没有指明结算次数，所以，必须了解实际背景。金融现象挂牌利率例例9. 2012年7月8日中国人民银行公布的金融机构人民币定期存款利率如表右表所示，表中的利率水平是单利方式，计算各种期限的年实利率。计算各种期限的年实利率。3个月：1+i=（1+ 2.85%/2.85%/ 4）4半年： 1+i=（1+ 3.05%/ / 4）2 解:项目年利率(%)整存整取3个月2.85半年3.051年3.252年3.753年4.255年4.752年：（1+i）2 =1+3.75%23年：（1+i）3 =1+4.25%35年：（1+i）5 =1+4.25%51年：i=3.25%金融现象计息天数在实际计算中，银行在计算利息的天时，常用一些灵活的算法。例如：银行公布“日换算挂牌利率为6%，收益率为6.27%”。这时，无论用一年360天还是365天都只能得到6.18%的年收益率。即：那么，银行公布的数字是如何计算的呢？实际上，银行的数字是由下面的算法得到的：金融现象利率与贴现率在现实的金融市场中，人们常常将各种收益率简称为利息率，但它们的含义会有所不同。 以美国的市场为例，在短期债券中以美国财政部（United States Treasury）发行的短期国库券“Tbills”（Treasury Bill）为主，期限通常为三个月（13周）、六个月（26周）和十二个月（52周）。三月期和六月期的每星期一发行，十二月期的每月第四个星期发行。它们的利息通常是用贴现率表示的。例，面额为100元的三月期国库券发行时买96元，或公布贴现率为16%，而实际的年利率为17.74%。长期的国库券在发行时则是依年利率表示它们的利息收入。因此，这两者的表面的利率是不能直接比较的，必须统一为同一种度量。金融现象信用卡 信用卡上的利息通常是在每个月的月底依照卡上的结余（balance）计算的。所以，每个月中间的欠款是不用付利息的，也就是说，如果持卡人在每个月内能够完全付清卡上的欠款，实际上享受着短期无息贷款。另一方面，对于那些每月都有未决欠款的用户，将付出很高的利息。 在许多定期存款业务中，都考虑了提前支取的处罚。例如，两年定期存款的年利率为9%。若储户在第一年底突然要解冻（surrender）这个存款，即提前取出这笔存款，那么，利率肯定要低于9%，这就是一种处罚方法。金融现象提前支取的处罚例例9：两年定期存款的年利率为10，在提前支取时储户可以有以下两种选择：A利率降为8；B原利率不变，扣除三个月的利息。试对以下两种情况，给出对储户较为有利的选择：1存入6个月时提前支取；2存入1年半时提前支取。解：解：分别用IA和IB表示两种选择的利息收入:因此：因此：选择方式选择方式A A(1)因此：因此：选择方式选择方式B B(2)例例10：假设你的子女在18年后将接受大学教育，预计届时需要的学费总额为20万元。你现在有15000元可以用于投资，回报率为多少才能实现该理财目标？解：解：设回报率为i，则：例例11：现有如下的投资经历：原始投资100000元，资金在前两年投资于13周的短期国债，假定均以贴现方式报价；从第三年初开始进行组合投资，该投资的利息力函数为 。如果希望5年后新增加的金额为原投资的1.6倍，试分析13周短期国债的可接受的折价价格。解：解：设国债以名贴现率 折价出售，则该资金在第2年底的累积价值为 第五年底的累积价值 解得： 即面额为100元的债券的可接受折价价格为100-3.23=96.77课后作业P27-28 16、18、21、32祝大家天天愉快！祝大家天天愉快！ 刚才的发言，如刚才的发言，如有不当之处请多指有不当之处请多指正。谢谢大家！正。谢谢大家！40