无穷级数 无穷级数无穷级数无穷级数是研究函数的工具无穷级数是研究函数的工具表示函数表示函数研究性质研究性质数值计算数值计算数项级数数项级数幂级数幂级数付氏级数付氏级数第十一章常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件三、级数收敛的必要条件 *四、柯西审敛原理四、柯西审敛原理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一节 第十一章 一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念 引例引例1. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正边形, 这个和逼近于圆的面积 A .设 a0 表示即内接正三角形面积, ak 表示边数增加时增加的面积, 则圆内接正机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例引例2. 小球从 1 米高处自由落下, 每次跳起的高度减少一半, 问小球是否会在某时刻停止运动? 说明道理.由自由落体运动方程知则小球运动的时间为( s )设 tk 表示第 k 次小球落地的时间, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义： 给定一个数列将各项依即称上式为无穷级数， 其中第 n 项叫做级数的一般项,级数的前 n 项和称为级数的部分和.次相加, 简记为收敛收敛 ,则称无穷级数并称 S 为级数的和和, 记作机动 目录 上页 下页 返回 结束 当级数收敛时, 称差值为级数的余项余项.则称无穷级数发散发散 .显然机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 讨论等比级数 (又称几何级数)( q 称为公比 ) 的敛散性. 解解: 1) 若从而因此级数收敛 ,从而则部分和因此级数发散 .其和为机动 目录 上页 下页 返回 结束 2). 若因此级数发散 ;因此n 为奇数n 为偶数从而综合 1)、2)可知,时, 等比级数收敛 ;时, 等比级数发散 .则级数成为不存在 , 因此级数发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 判别下列级数的敛散性:解解: (1) 所以级数 (1) 发散 ;技巧技巧:利用 “拆项相消拆项相消” 求和机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .技巧技巧:利用 “拆项相消拆项相消” 求和机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 判别级数的敛散性 .解解:故原级数收敛 , 其和为机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、无穷级数的基本性质二、无穷级数的基本性质 性质性质1. 若级数收敛于 S ,则各项乘以常数 c 所得级数也收敛 ,证证: 令则这说明收敛 , 其和为 c S . 说明说明: 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .即其和为 c S .机动 目录 上页 下页 返回 结束 性质性质2. 设有两个收敛级数则级数也收敛, 其和为证证: 令则这说明级数也收敛, 其和为机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则必发散 . 但若二级数都发散 ,不一定发散.例如例如, (1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 .(用反证法可证)机动 目录 上页 下页 返回 结束 性质性质3. 在级数前面加上或去掉有限项有限项, 不会影响级数的敛散性.证证: 将级数的前 k 项去掉,的部分和为数敛散性相同. 当级数收敛时, 其和的关系为类似可证前面加上有限项的情况 .极限状况相同, 故新旧两级所得新级数机动 目录 上页 下页 返回 结束 性质性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.证证: 设收敛级数若按某一规律加括弧,则新级数的部分和序列 为原级数部分和序列 的一个子序列,推论推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.注意注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.但发散.因此必有例如，用反证法可证用反证法可证例如机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.判断级数的敛散性:解解: 考虑加括号后的级数发散 ,从而原级数发散 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、级数收敛的必要条件三、级数收敛的必要条件 设收敛级数则必有证证: 可见: 若级数的一般项不趋于若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散则级数必发散 .例如例如,其一般项为不趋于0,因此这个级数发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意注意:并非级数收敛的充分条件.例如例如, 调和级数虽然但此级数发散 .事实上事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则但矛盾! 所以假设不真 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 判断下列级数的敛散性, 若收敛求其和:解解: (1) 令则故从而这说明级数(1) 发散.机动 目录 上页 下页 返回 结束 因进行拆项相消进行拆项相消这说明原级数收敛 , 其和为(2) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 这说明原级数收敛, 其和为 3 .(3) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的充要条件是:*四、柯西审敛原理四、柯西审敛原理 定理定理.有证证: 设所给级数部分和数列为因为所以, 利用数列 的柯西审敛原理(第一章第六节) 即得本定理的结论 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 解解: 有利用柯西审敛原理判别级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 当 nN 时,都有由柯西审敛原理可知, 级数 作业作业 P192 1(1), (3) ； 2(2), (3), (4)； 3(2)； 4(1), (3), (5); *5(3), (4)第二节 目录 上页 下页 返回 结束