第六章第六章 桁架、摩擦、重心桁架、摩擦、重心 61平面平面简单桁架的内力分析桁架的内力分析 62摩擦摩擦 63滑滑动摩擦摩擦 64思索滑思索滑动摩擦摩擦时的平衡的平衡问题 65滚动摩擦摩擦 66平行力系的中心、物体的重心平行力系的中心、物体的重心由物系的多样化，引出仅由杆件组成的系统桁架 6-1 6-1 平面平面简单桁架的内力分析桁架的内力分析工程中的桁架构造工程中的桁架构造工程中的桁架构造工程中的桁架构造工程中的桁架构造工程中的桁架构造工程中的桁架构造工程中的桁架构造桁架：由杆桁架：由杆组成，用成，用铰联接，受力不接，受力不变形的系形的系统。节节节点点点点点点杆件杆件杆件杆件杆件杆件桁架的优点：轻，充分发扬资料性能。桁架的特点：直杆，不计自重，均为二力杆；杆端铰接；外力作用在节点上。力学中的桁架模型力学中的桁架模型( 根本三角形根本三角形) 三角形有三角形有稳定性定性(c)工程力学中常见的桁架简化计算模型工程力学中常见的桁架简化计算模型解：解：研研讨整体，求支座反力整体，求支座反力一、节点法一、节点法 例例 知：如图知：如图P=10kNP=10kN，求各杆内力？，求各杆内力？依次取依次取A、C、D节点研点研讨，计算各杆内力。算各杆内力。节点节点D的另一个方程可用来校核计算的另一个方程可用来校核计算结果结果恰与 相等,计算准确无误。 解：研解：研讨整体求支反力整体求支反力 二、截面法二、截面法例 知：如图，h，a，P 求：4，5，6杆的内力。选截面 I-I ，取左半部研讨IIA阐明明 ：节点法：用于点法：用于设计，计算全部杆内力算全部杆内力截面法：用于校核，截面法：用于校核，计算部分杆内力算部分杆内力 先把杆都先把杆都设为拉力拉力,计算算结果果为负时,阐明是明是压力，与所力，与所设方向相反。方向相反。 三杆三杆节点无点无载荷、其中两杆在荷、其中两杆在一条直一条直线上，另一杆必上，另一杆必为零杆零杆四杆四杆节点无点无载荷、其中两两在荷、其中两两在一条直一条直线上，同不断上，同不断线上两杆上两杆内力等内力等值、同性。、同性。两杆两杆节点无点无载荷、且两杆不在荷、且两杆不在一条直一条直线上上时，该两杆是零杆。两杆是零杆。三、特殊杆件的内力判三、特殊杆件的内力判别例例3 知知 P d,求：求：a.b.c.d四杆的内力？四杆的内力？ 解：由零杆判式解：由零杆判式研讨A点：前几章我们把接触外表都看成是绝对光滑的，忽略了物体之间的摩擦，现实上完全光滑的外表是不存在的，普通情况下都存在有摩擦。例6-2 6-2 摩摩 擦擦平衡必计摩擦 一、为什么研讨摩擦？ 二、怎样研讨摩擦，掌握规律 利用其利，抑制其害。 三、按接触面的运动情况看： 摩擦分为 滑动摩擦 滚动摩擦 1、定义：相接触物体，产生相对滑动趋势时，其接触面产生阻止物体运动的力叫滑动摩擦力。 (就是接触面对物体作用的切向约束反力) 2、形状： 静止： 临界：将滑未滑 滑动：6-3 6-3 滑滑动摩擦摩擦一、静滑一、静滑动摩擦力摩擦力所以增大摩擦力的途径为：加大正压力N,加大摩擦系数f f 静滑动摩擦系数f 动摩擦系数二、二、动滑滑动摩擦力：与静滑摩擦力：与静滑动摩擦力不同的是摩擦力不同的是产生了生了滑滑动 大小：大小： 无平衡范无平衡范围动摩擦力特征摩擦力特征 方向：与物体运方向：与物体运动方向相反方向相反 定律：定律： f 只与只与资料和外表情况料和外表情况有关，与接触面有关，与接触面积大小无关。大小无关。3、 特征： 大小： (平衡范围)满足静摩擦力特征：方向：与物体相对滑动趋势方向相反 定律： (f 只与资料和外表情况有关，与接触面积大小无关。)三、摩擦角：三、摩擦角：定定义：当摩擦力到达最大：当摩擦力到达最大值 时其全反力其全反力 与法与法线的的夹角角 叫做摩擦角。叫做摩擦角。计算：算：四、自四、自锁定定义：当物体依托接触面：当物体依托接触面间的相互作用的摩擦力的相互作用的摩擦力与正与正压力即全反力，本人把本人卡力即全反力，本人把本人卡紧，不会松，不会松开无开无论外力多大，外力多大，这种景象称种景象称为自自锁。 当 时，永远平衡即自锁自自锁条件：条件：摩擦系数的摩擦系数的测定：定：OA绕O 轴转动使物使物块刚开开场下下滑滑时测出出a角，角，tg a=f , (该两种两种资料料间静摩静摩 擦系数擦系数)自自锁运用运用举例例6-46-4思索滑思索滑动摩擦摩擦时的平衡的平衡问题 思索摩擦思索摩擦时的平衡的平衡问题，普通是，普通是对临界形状求界形状求解，解，这时可列出可列出 的的补充方程。其它解法充方程。其它解法与平面恣意力系一与平面恣意力系一样。只是平衡常是一个范。只是平衡常是一个范围从从例子例子阐明。明。例例1 知：知：a =30，G =100N，f =0.2 求：求：物体静物体静止止时，程度力，程度力Q的平衡范的平衡范围。当程度力当程度力Q = 60N时，物体能否平衡？物体能否平衡？ 解：解：先求使物体不致于上滑的先求使物体不致于上滑的 图(1)同理：同理： 再求使物体不致下滑的再求使物体不致下滑的 图图(2) 解得：平衡范平衡范围应是是例例2 梯子长梯子长AB=l，重为，重为P，假设梯子与墙和地面的静，假设梯子与墙和地面的静摩摩 擦系数擦系数f =0.5, 求求a 多大时，梯子能处于平衡？多大时，梯子能处于平衡？解：思索到梯子在解：思索到梯子在临界平衡状界平衡状 态有下滑有下滑趋势，做受力，做受力图。 留意，由于留意，由于a不能够大于不能够大于 ， 所以梯子平衡倾角所以梯子平衡倾角a 应应满足满足 由实际可知，使滚子滚动比使它滑动省力，以下图的受力分析看出一个问题，即此物体平衡，但没有完全满足平衡方程。Q与与F构成自构成自动力偶使前力偶使前滚6-56-5滚动摩擦摩擦 出出现这种景象的种景象的缘由是，由是，实践接触面并不是践接触面并不是刚体，它体，它们在力的作用下都会在力的作用下都会发生一些生一些变形，如形，如图：此力系向A点简化 滚阻力偶M随自动力偶Q , F的增大而增大; 有个平衡范围;滚动 摩擦 与滚子半径无关; 滚动摩擦定律： ，d 为滚动摩擦系数。滚阻力偶与自阻力偶与自动力偶力偶Q,F相平衡相平衡d滚动摩擦系数摩擦系数 d 的的阐明：明：有有长度量度量纲，单位普通用位普通用mm,cm；与与滚子和支承面的子和支承面的资料的硬度和温度有关。料的硬度和温度有关。 d 的物理意的物理意义见图示。示。根据力线平移定理，将N和M合成一个力N ， N=N 从从图中看出，中看出，滚阻力偶阻力偶M的力偶臂正是的力偶臂正是d滚阻系数，阻系数，所以，所以，d 具有具有长度量度量纲。 由于由于滚阻系数很小，所以在工程中大多数情况下阻系数很小，所以在工程中大多数情况下滚阻力阻力偶不偶不计，即，即滚动摩擦忽略不摩擦忽略不计。d 习题课 本章小本章小结 一、概念：一、概念： 1 1、摩擦力、摩擦力-是一种切向是一种切向约束反力，方向束反力，方向总是是 与物体运与物体运动趋势方方向相反。向相反。a. 当滑当滑动没没发生生时 Ff N (F=P 外力外力)b. 当滑当滑动即将即将发生生时 Fmax=f N c. 当滑当滑动曾曾经发生生时 F =f N (普通普通f 动 f 静静 ) 2、 全反力与摩擦角全反力与摩擦角 a.全反力全反力R即即F 与与N 的合力的合力 b. 当当时， 物体不物体不动平衡。平衡。3、 自锁自锁 当当时自锁。时自锁。二、内容：二、内容： 1、列平衡方程、列平衡方程时要将摩擦力思索在内；要将摩擦力思索在内； 2、解、解题方法：方法：解析法解析法 几何法几何法 3、除平衡方程外，添加、除平衡方程外，添加补充方程充方程 (普通在普通在临界平衡界平衡 4、解、解题步步骤同前。同前。形状形状计算算三、解题中留意的问题： 1、摩擦力的方向不能假设，要根据物体运动趋势来判别。 只需在摩擦力是待求未知数时，可以假设其方向 2、由于摩擦情况下，经常有一个平衡范围，所以解也经常是 力、尺寸或角度的一个平衡范围。缘由是 和 四、例四、例题例例1 作出以下各物体作出以下各物体 的受力的受力图例例2 作出以下各物体的受力作出以下各物体的受力图 P 最小最小维持平衡持平衡 P 最大最大维持平衡持平衡形状受力形状受力图； 形状受力形状受力图例例3 构件构件1及及2用楔块用楔块3结合，知楔块与构件间的摩擦系数结合，知楔块与构件间的摩擦系数f=0.1, 求能自锁的倾斜角求能自锁的倾斜角a 。解：研讨楔块，受力如图例例4 知：知：B块重重Q=2000N，与斜面的摩擦角，与斜面的摩擦角j =15 ，A块与与 水水 平面的摩擦系数平面的摩擦系数f=0.4，不，不计杆自杆自 重。重。 求：使求：使B块不下滑，物不下滑，物块A最小最小 分量。分量。解：解：研研讨B块，假，假设使使B块不下滑不下滑再研再研讨A块练习1 知：知：Q=10N， f 动 =0.1 f 静静 =0.2求：求：P=1 N; 2N, 3N 时摩擦力摩擦力F？解：解：所以物体运动：此时没没动，F 等于外力等于外力临界平衡界平衡物体已运物体已运动练习2 知知A块重重500N，轮B重重1000N，D轮无摩擦，无摩擦，E 点的摩擦系数点的摩擦系数fE=0.2，A点的摩擦系数点的摩擦系数fA=0.5。求：使物体平衡求：使物体平衡时块C的分量的分量Q=？解：解： A不不动即即i点不点不产 生生 平移求平移求Q由于1分析轮有 由 E 点不点不产生程度位移生程度位移 B轮不向上运不向上运动，即，即N0显然,假设i,E两点均不产生运动,Q必需小于208N,即 补充方程 当当时，能，能滚过去去这是小球与地面的是小球与地面的f 条件条件 练习练习3 知：知：P、D、d、Q1、Q2，P为程度。为程度。 求：在大球滚过小球时，求：在大球滚过小球时，f=?解：解：研研讨整体整体将、代入得：要保要保证大球大球滚过小球，必需使大球与小球之小球，必需使大球与小球之间不打滑不打滑求大球与小球之求大球与小球之间的的f , 研研讨大球大球补充方程 将代入得： 又当 时能滚过小球结论：当结论：当 和和时能保证大球能时能保证大球能滚过小滚过小 球的条件。球的条件。解得：注注大球与小球大球与小球间的的f又一种求法：又一种求法： 解：作法线AH和BH 作A,B点的摩擦角j 交E,G两点 E,G两点间的程度距 离l为人的 活 动范围练习4 程度梯子放在直角程度梯子放在直角V形槽内，略去梯重，梯子与两个斜形槽内，略去梯重，梯子与两个斜面面间的摩擦系数摩擦角均的摩擦系数摩擦角均为j，如人在梯子上走，如人在梯子上走动，试分析分析不使梯子滑不使梯子滑动，人的活，人的活动应限制在什么范限制在什么范围内？内？l所以人在AC和BD段活动都不能满足三力平衡必汇交的原理，只需在CD段活动时，才干满足三力平衡必汇交，能交上有交点证明：由几何关系证明：由几何关系 空空间平行力系，当它平行力系，当它有合力有合力时，合力的作用点，合力的作用点C C就是此空就是此空间平行力系的平行力系的中心。而物体重心中心。而物体重心问题可可以看成是空以看成是空间平行力系中平行力系中心的一个特例。心的一个特例。 6-66-6平行力系的中心、物体的重心平行力系的中心、物体的重心一、空一、空间平行力系的中心、物体的重心平行力系的中心、物体的重心1 1、平行力系的中心、平行力系的中心由合力矩定理：假设把物体的重力都看成为平行力系，那么求重心问题就是求平行力系的中心问题。由合力矩定理：物体分割的越多，每一小部分体积越小，求得的重心位置就越准确。在极限情况下， ，常用积分法求物体的重心位置。二、重心坐标公式：二、重心坐标公式： 根据物体的重心位置与物体放置的位置无关的性质，将物体与坐标系统绕x轴转动力90，再运用合力矩定理对 x 轴取矩得：综合上述得重心坐标公式为：假设以Pi= mig , P=Mg 代入上式可得质心公式设i表示第i个小部分每单位体积的分量，Vi第i个小体积，那么 ，代入上式并取极限，可得：式中 ，上式为重心C 坐标的准确公式。 对于均质物体， =恒量，上式成为：同理对于薄平面和细长杆均可写出相应的公式。 同理：可写出均质体，均质板，均质杆的形心几何中心坐标分别为：解：由于解：由于对称关系，称关系，该圆弧重心必在弧重心必在Ox轴，即，即yC=0。取微段。取微段下面用积分法求物体的重心实例：例 求半径为R，顶角为2 的均质圆弧的重心。O三、重心的求法：三、重心的求法： 组合法合法解：解： 求：该组合体的重心？知：简单图形的面积及重心坐标公式可由表中查出。实验法：法： 悬挂法挂法称重法