1 1 Fourier 级数 2 2 以2l为周期的函数的展开式第十五章 傅里叶(Foueier)级数第十五章 傅里叶(Foueier)级数1 Fourier级数一一 问题的提出问题的提出非正弦周期函数非正弦周期函数: :矩形波矩形波不同频率正弦波逐个叠加不同频率正弦波逐个叠加由以上可以看到由以上可以看到：一个比较复杂的周期运动可：一个比较复杂的周期运动可 以看作是许多不同频率的简谐振动的叠加以看作是许多不同频率的简谐振动的叠加二二 三角级数三角级数 三角函数系的正交性三角函数系的正交性1.1.三角级数三角级数引例中的简谐振动函数引例中的简谐振动函数（1 1）即即: :由三角函数组成的函项级数成为三角级数由三角函数组成的函项级数成为三角级数 则则(1)(1)式右端的级数可改写为式右端的级数可改写为(2)(2)得到行如得到行如(2)(2)式的级数称为三角级数式的级数称为三角级数2 2 三角函数系的正交性三角函数系的正交性(1) 三角函数系三角函数系即即 i) i)ii)ii)iii)iii)三三 函数展开成傅里叶级数函数展开成傅里叶级数问题问题 1.1.若能展开若能展开, , 是什么是什么? ?2.展开的条件是什么展开的条件是什么?1.1.傅里叶系数傅里叶系数可得可得可得可得可得可得从而得到傅里叶系数从而得到傅里叶系数把以上得到的系数代入三角级数把以上得到的系数代入三角级数问题问题: :该级数称为傅里叶级数该级数称为傅里叶级数3. 3. 三角级数的收敛性定理三角级数的收敛性定理: :若级数若级数 收敛收敛,则级数则级数在整个数轴上绝对收敛且一致收敛.由M判别法即得定理结论.证2.2.定理定理( (收敛定理收敛定理, ,狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)(Dirichlet)充分条件充分条件) )(2) 若函数 在 上逐段光滑,则有性质: (3) 从几何图形上讲,在 上逐段光滑 ,是由有限个光滑弧段所组成,它至多有有限个第一类间断点与角点.xyoab (4) 收敛定理指出, 的Fourier 级数在点X 处收敛于这点上的左,右极限的算术平均值而当 在点x连续时,则有(5) 根据收敛定理的假设, 是以 为周期的函数,所以系数公式中的积分区间 可以改为长度为 的任何区间,即:其中C为任意实数.(6) 在具体讨论函数的Fourier 级数展开式时,常只给出函数(7) 在 (或 ) 上的解析式,但应理解为它是定(8)义在整个数轴上以 为周期的函数.即在 以外部 分按函数在 上的对应关系作周期延拓,使yxo函数周期延拓后的图象求 的Fourier级数.函数 及周期延拓后的函数如下图.xoy显然 按段光滑,由收敛定理,它可展开成Fourier级数.由于所以在开区间 上当 时,上右式收敛于从而,在 上, 的Fourier级数的图象如下:xoy注意和 延拓后的图象的比较注注函数展开成傅里叶级数的条件比展开成函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低的多幂级数的条件低的多. .解解所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件. .和函数图象为和函数图象为所求函数的傅氏展开式为所求函数的傅氏展开式为注注( (一一) )对于非周期函数对于非周期函数, ,如果函数如果函数 只在只在区间区间 上有定义上有定义,并且满足狄立并且满足狄立克克雷充分条件雷充分条件, ,也可展开成傅立叶级数也可展开成傅立叶级数.作法作法: :解解所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件. 拓广的周期函数的傅拓广的周期函数的傅氏级数展开式在氏级数展开式在收敛于收敛于 .所求函数的傅立叶级数展开式为所求函数的傅立叶级数展开式为推广推广: :利用傅立叶级数展开式求出几个特殊利用傅立叶级数展开式求出几个特殊级数的和级数的和四四正弦级数和余弦级数正弦级数和余弦级数(Sine series and cosine series) 一般说来一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正一个函数的傅里叶级数既含有正弦项弦项,又含有余弦项又含有余弦项.但是但是,也有一些函数的傅里也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项.1.定理定理 设设 是周期为是周期为 的函数的函数,且可积且可积,则则证明证明同理可证同理可证(2)(2)2.2.定义定义定理证毕定理证毕. .解解所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件.和和函函数数图图象象解解所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件, , 在整个在整个数轴上连续数轴上连续. .非周期函数的周期性开拓非周期函数的周期性开拓则有如下两种情况则有如下两种情况注注( (二二) )1.奇延拓奇延拓2.偶延拓偶延拓解解 (1)(1)求正弦级数求正弦级数. .(2)(2)求余弦级数求余弦级数三、小结1, 三角级数的定义;2, 正交函数系的特征;3, 三角级数的收敛定理;5, 收敛定理;4, 以 为周期的函数的Fourier级数定义;6, 求函数 的Fourier级数的方法.P70: 1, 2, 3, 4, 7.思考判断题思考判断题第十五章 傅里叶(Foueier)级数2 以2l为周期的函数的展开式一一 周期为周期为 的周期函数的傅立叶级数的周期函数的傅立叶级数 定理定理代入傅立叶级数中代入傅立叶级数中则有则有则有则有证明证明定理得证定理得证.解解解解另一种解法另一种解法: :解解 设设 是以是以 为周期的偶函数为周期的偶函数,或是定义在或是定义在 上的偶函数上的偶函数,则称则称为为 的余弦级数的余弦级数,其中其中 若若 是以是以 为周期的奇函数为周期的奇函数,或是定义在或是定义在 上的上的 的奇函数的奇函数,则称则称为为 的正弦级数的正弦级数,其中其中 若将定义在若将定义在 (或或 )上的函数上的函数 展成余弦展成余弦级数或正弦级数级数或正弦级数,先把定义在先把定义在 (或或 )上的函数作上的函数作偶式延拓或作奇式延拓至偶式延拓或作奇式延拓至 (或或 )yxoyxo 设函数设函数 求求 的的Fourier级数展开式级数展开式. 是是 上的偶函级上的偶函级,其周期延拓后其周期延拓后(如下图如下图)xyo 由于由于 是按段光滑函数是按段光滑函数,故可展开成余弦级数故可展开成余弦级数.因为因为所以所以把把 在在 内展成内展成 (i) 正弦级数正弦级数; (ii) 余弦级数余弦级数.则则(i) 为了把为了把 展成正弦级数展成正弦级数,对对 作奇式周期延拓作奇式周期延拓xyo所以当所以当 时时,由收敛定理由收敛定理 得得(ii) 为了把为了把 展成余弦级数展成余弦级数,对对 作偶式周期延拓如下作偶式周期延拓如下图图:xyo则则以以 为周期的函数的傅里叶级数为为周期的函数的傅里叶级数为*二二 傅立叶级数的复数形式傅立叶级数的复数形式代入欧拉公式代入欧拉公式即为傅里叶系数的复数形式即为傅里叶系数的复数形式即得傅立叶级数的复数形式即得傅立叶级数的复数形式解解三三 小结小结2.求傅立叶级数展开式的步骤求傅立叶级数展开式的步骤;(1).画图形验证是否满足狄氏条件画图形验证是否满足狄氏条件(收敛域收敛域,奇偶奇偶性性);(2).求出傅氏系数求出傅氏系数;1.1.以以2L为周期的周期函数的傅立叶系数为周期的周期函数的傅立叶系数,傅立叶傅立叶级数级数,相应奇函数相应奇函数,偶函数的偶函数的F-系数和级数系数和级数;(3).写出傅氏级数写出傅氏级数,并注明它在何处收敛于并注明它在何处收敛于3.(1)3.(1)傅里叶级数的复数形式傅里叶级数的复数形式注注: : 傅里叶级数的两种形式，本质上是一样傅里叶级数的两种形式，本质上是一样 的复数形式较简洁且只用一个算式计算系数的复数形式较简洁且只用一个算式计算系数(2)(2)傅里叶系数的复数形式傅里叶系数的复数形式