数学概念学习的数学概念学习的APOSAPOS 理论理论contents三、三、APOSAPOS理论的涵义理论的涵义3四、四、四、四、 APOSAPOSAPOSAPOS理论的理论模型理论的理论模型理论的理论模型理论的理论模型4五、五、五、五、 APOSAPOSAPOSAPOS理论的特征理论的特征理论的特征理论的特征5一、来自教材的实例一、来自教材的实例1二、数学概念的二重性二、数学概念的二重性2六、六、六、六、 APOSAPOSAPOSAPOS理论的应用理论的应用理论的应用理论的应用6一、来自教材的实例一、来自教材的实例挣脱无限经历了两次蜕变。第一次蜕变是用任意实现无限，将区间转化为与自然数相关的任意一组无穷数列。离散化处理。第二次蜕变是借传递承载永远。依据传递法将无穷数列转化为两相邻数的比较。二、数学对象的二重性二、数学对象的二重性数学内容可区分为过程和对象两个侧面数学内容可区分为过程和对象两个侧面. .所谓所谓过程过程, ,就是具备了可操作性的法则就是具备了可操作性的法则, ,公式公式, ,原理原理. .对象对象则是数学中定义的结构关系则是数学中定义的结构关系. . 在数学中在数学中, ,特别在代数中特别在代数中, ,许多许多概念既表现为一种过概念既表现为一种过程操作程操作, ,又表现为对象、结构又表现为对象、结构.例：* 三角函数三角函数 cos A = x / rcos A = x / r既是除法，又是商既是除法，又是商 * * 多项式多项式 5 ( x + a ) - 7y 5 ( x + a ) - 7y 既是符号运算过程，又是符号结构关系、对象既是符号运算过程，又是符号结构关系、对象小小的等号：小小的等号：= = 也具有二重性也具有二重性: : * * 作运算的指令作运算的指令 * * 表示相等关系的符号表示相等关系的符号 开始时极限是一个过程开始时极限是一个过程, , 当当 n n 趋向于无穷时趋向于无穷时 数列数列 an an 的发展趋势的发展趋势. . 事实上，它后来又被当作为一个事实上，它后来又被当作为一个“对象对象”，一个被其它，一个被其它运算作运算的对象运算作运算的对象. . 例：例： lim ( an bn) = lim an lim bn lim ( an bn) = lim an lim bn 如果还是把如果还是把 lim an , lim bn lim an , lim bn 当作发展过程，我们该当作发展过程，我们该怎样运算怎样运算lim an lim bn lim an lim bn ？ 在过程阶段在过程阶段，概念是，概念是: :一系列步骤或算法一系列步骤或算法 长处：可操作，容易模仿，相对直观长处：可操作，容易模仿，相对直观短处：动态性，前后次序，细节较多短处：动态性，前后次序，细节较多在对象阶段在对象阶段，概念是：，概念是： 静态的结构、静态的结构、 稳定的关系稳定的关系、 完整的对象 便于抓住其实质一个数学概念常常具有如下一个数学概念常常具有如下二重性二重性: : 过程过程-对象对象; ; 算法算法-结果结果; ; 操作行为操作行为结构关系结构关系. . * *它们可以分别具有以下它们可以分别具有以下特征特征: : 动态动态-静态静态; ; 细节细节-整体整体; ; 历时历时( (继时继时)-)-共时共时( (同时同时) )概念形成顺序概念形成顺序：先过程，后对象：先过程，后对象由过程到对象的先后顺序由过程到对象的先后顺序, ,是符合人类整体认识规律的是符合人类整体认识规律的. 数学史上概念的产生,形成的许多例子遵循了这一个发展方式, 个人的认知与人类的认识史在这一点上是一致的,yw 认知的历史相似性原理. 函数概念的提出,最初使用的是具有运算性质的”变量观点”的定义, 经历了一次一次改进,最后发展为关系观点的概念,函数是有序数对的集合. 此时,它完全脱离了运算,成为一个结构性的对象.SfardSfard等人进一步的结论等人进一步的结论: : 概念的认知通常从过程开始，而后转移到对象。概念的认知通常从过程开始，而后转移到对象。 二者作为一个整体，共存于思想中，二者作为一个整体，共存于思想中， 在不同的场合中起不同的作用在不同的场合中起不同的作用三、三、APOSAPOS理论的涵义理论的涵义1 1、数学教学的目的、数学教学的目的 杜宾斯基认为，一个人是不可能直接学习到数学概念的 更确切地说，人们透过心智结构(mental structure)使所学习的数学概念产生意义如果一个人对于给予的数学概念拥有适当的心智结构，那么他几乎自然就学到了这个概念相反的，如果一个人无法建立起适当的心智结构，那么他学习数学概念几乎是不可能的 教学的目的就在于如何帮助学生建立适当的心智结构三、三、APOS理论的涵义理论的涵义2 2 2 2、理论的出发点与基本假设、理论的出发点与基本假设、理论的出发点与基本假设、理论的出发点与基本假设 理论的出发点理论的出发点理论的出发点理论的出发点 杜宾斯基等人认为，任何一个数学教育中的理论或模型都应该致力于对“学生是如何学习数学的”及“什么样的教学计划可以帮助这种学习”的理解，而不仅仅是陈述一些事实正是基于这样的考虑，杜宾斯基等人建立了APOS理论第一步：过程操作，第二步：对象形成三、三、APOSAPOS理论的涵义理论的涵义 理论的基本假设理论的基本假设理论的基本假设理论的基本假设 数学知识是个体在解决所感知到的数学问题的过程中获过程中获得的，得的，在这个过程中，个体依序建构了 心理活动(Actions)、程序(Processes)和对象(Objects)最终组织成用以理解问题情境的图式结构(Schemas) 按照杜宾斯基自己的说法，APOS理论可以看作是对皮亚杰的“反思性抽象(reflective abstraction)”的扩展一、一、APOS理论的涵义理论的涵义 补充 皮亚杰认为,数学抽象活动的基本性质是一种“自反自反抽象抽象”,从而与通常所谓的“经验抽象经验抽象”(empirical abstraction)有着重要的区别。 具体地说,按照皮亚杰的观点,所谓的“经验抽象经验抽象”,即是以真实的事物或现象作为直接的原型,也即是由一类物质对象中抽象出共同的特性,与此相反,“,“自反抽象自反抽象”却并非是关于物质对象的,而只是涉及到了人类施加于物质对象之上的活动,或者说,这即是对人类自身的活动进行反思的直接结果。四、四、四、四、 APOSAPOS理论的理论模型理论的理论模型理论的理论模型理论的理论模型1. 四阶段模型 杜宾斯基认为，学生学习数学概念就是要建构心智结构，这一建构过程要经历以下4个阶段.第一阶段第一阶段操作操作( (或活动或活动) )（ActionAction）阶段）阶段 这里的活动(操作）是指个体通过一步一步的外显性（或记忆性）指令去变换一个客观的数学对象.四、四、 APOS理论的理论模型理论的理论模型 数学教学是数学活动的教学，操作运算行为是数学认知的基础性行为。 学生与数学家一样，要亲自投入，通过实际经验来获得知识，虽然这种实践性与物理、化学、生物等实验科学的观察试验行为所不同，但数学活动仍需实际操作实际操作演算和头脑中的心理操作演算和头脑中的心理操作思想实验思想实验，没有物理操作和心理的操作，数学概念将成为无源之水，无本之木 所谓所谓操作操作是指个体对于感知到的对象进行是指个体对于感知到的对象进行转换转换，这个对象实质上是一种外部刺激。这个对象实质上是一种外部刺激。活动活动，是指个体通过一步一步的，是指个体通过一步一步的外显性（或记忆外显性（或记忆性性）指令去变换一个客观观对象。）指令去变换一个客观观对象。例如，理解函数概念需要进行活动或操作。例如，理解函数概念需要进行活动或操作。四、四、 APOS理论的理论模型理论的理论模型 第二阶段第二阶段第二阶段第二阶段过程过程过程过程(Process)(Process)(Process)(Process)阶段阶段阶段阶段 当当“活动活动”经过多次重复而被个体熟悉后，物理操作经过多次重复而被个体熟悉后，物理操作就可以内化为一种叫做就可以内化为一种叫做“过程过程(process)”(process)”的心理操作，的心理操作，有了这一有了这一“程序程序”，个体就可以想象之前的活动，而不必，个体就可以想象之前的活动，而不必通过外部刺激；通过外部刺激； 他可以在脑中实施这一程序而不需要具体操作；他甚他可以在脑中实施这一程序而不需要具体操作；他甚至还可以对这一程序进行逆转以及与其它程序进行组合至还可以对这一程序进行逆转以及与其它程序进行组合. .四、四、 APOS理论的理论模型理论的理论模型 例如，一旦学生认识到所谓例如，一旦学生认识到所谓函数只不过是给定一个函数只不过是给定一个不同的数就会得出相应的不同值不同的数就会得出相应的不同值，而不必再进行具体的，而不必再进行具体的运算时，他就已经完成了这种过程模式的建构。运算时，他就已经完成了这种过程模式的建构。 把上述操作活动综合成函数过程，一般地有把上述操作活动综合成函数过程，一般地有x2xx2x；其它各种函数也可以概括为一般的对过程：其它各种函数也可以概括为一般的对过程：xf(x).xf(x).想想象为输入象为输入输出的输出的“函数机函数机”四、四、 APOS理论的理论模型理论的理论模型第三阶段第三阶段第三阶段第三阶段对象对象对象对象(object)(object)(object)(object)阶段阶段阶段阶段 当个体能把概念的形成“过程”作为一个整体进行操作和转换的时候，这一过程就变成了个体的一种相对独立的心理“对象”，表现为个体通过前面的抽象，认识到了概念的本质，对其赋予形式化的定义及符号，使其达到精致化，成为一个具体的对象，在以后的学习中能够以此为对象进行新的活动 其中，“精致化”的实质是对数学概念的内涵与外延进行尽量详细的“深加工”，对“概念要素”进行具体界定，以使学生建立更清晰的概念表象，获得更多的概念例证，对概念的细节把握得更加准确，理解概念的各个方面，获得概念的某些限制条件等四、四、 APOS理论的理论模型理论的理论模型 概念进入“对象”状态时，便呈现为一种静态结构关系，成为一个“实体”，易于整体把握性质，这时一个完整的理解才真正成型“对象”在某一个层次和更高一级层次之间起着一种枢纽作用：既是概括的结果，又是新的概括的起点四、四、 APOS理论的理论模型理论的理论模型第四阶段第四阶段图式图式(schema)(schema)阶段阶段 一个数学概念的“图式”是指由相应的“活动”、“程序”、“对象”以及与某些一般原理相联系的其他“图式”所形成的一种个体头脑中的认知框架，它可以用于解决与这个概念相关的问题其作用和特点就是决定某些刺激是否属于这个图式，从而就会作出不同的反应。 循环循环 杜宾斯基认为，活动、过程、对象也可以看作是数学知识的三种状态，而图式则是由这三种知识构成的一种认知结构.虽然这四者具有等级结构，也就是说，一般情况下前一成分的建构是后一成分的基础，但实际上个体对某一数学概念的理解并不只是线性的，而是循环的。 例如函数概念，学习者一开始的“活动”是把函数看作一个简单的公式，其中含有一些可以运算和赋值的字母变量；随后，函数被看作是一种可以“输入一输出”的机器(函数机)，于是得到了初步的“程序”但是，当学生遇到更为复杂的函数表达式时，往往又回到了“活动”阶段，并在“活动”的基础上，又进一步完善了函数“程序”如此经过多个循环之后，学生才最终形成明确而完整的函数“对象”APOSAPOS理论的四阶段模型理论的四阶段模型活动活动（ActionActionActionAction）过程过程（ProcessProcessProcessProcess）图式图式（SchemaSchemaSchemaSchema）对象对象（ObjectObjectObjectObject）内化内化压缩压缩同化或顺应同化或顺应APOSAPOS循环图循环图 对象对象对象对象 活动活动活动活动 程序程序程序程序内化内化内化内化解压缩解压缩解压缩解压缩 压缩压缩压缩压缩 协调协调协调协调 反演反演反演反演 在上述循环中，活动的内化（interiorization)是数学课堂的一种“日常活动”. 例如，为了考察二次函数在某个区间上的单调性，学生先具体比较一些函数值的大小，这属于离散状态的“活动”阶段.这些“活动”经过多次重复后，慢慢就内化为一种心理结构“程序”，其功能就是实行相应的“活动”. 在活动阶段，学生只能单个地计算函数值，比较大小；在程序（过程）阶段，学生可以同时考虑多个函数值的大小关系及变化趋势.在学生多次运用“程序”后，一旦他们对整个区间上的函数值随自变量变化的趋势有了整体的认识，上述“程序”就已经被压缩为一个对象. 就“压缩”过程而言，需要注意两点：一、只有当个体主动地反复运用“程序”去实施相应的“活动”时，“压缩”才可能出现；二、在数学活动中，“解压缩的过程也同样重要. 运用压缩和解压缩的过程去实施某个“活动”是数学思维的一个特点. 例如，在两个函数 f 和g 相加得到一个新的函数 f + g 的过程中，必须把原来的两个函数和结果函数都看作是“对象”.但在实际变换或者讨论函数的性质时，又必须先将它们“解压缩解压缩”为原先的“程序”而分别操作，然后形成新的“程序”.在新的“程序”中，将涉及其它更多的数学概念，如新函数的定义域与原先两个函数的定义域之间的关系.这样，围绕这一“对象”形成了一个关联的认知结构“图式”。数学概念是过程与对象的对偶体数学概念是过程与对象的对偶体, ,数学概念的学习则是数数学概念的学习则是数学概念过程的凝聚和概念对象的展开学概念过程的凝聚和概念对象的展开. .在概念的形成中在概念的形成中, ,由过程向对象转化需要三个方面的心理由过程向对象转化需要三个方面的心理机制机制:(1):(1)过程的内化过程的内化, ,即操作过程脱离具体情境即操作过程脱离具体情境, ,并上升并上升为心理操作为心理操作, ,不再完全依赖于于具体的操作对象或实际问不再完全依赖于于具体的操作对象或实际问题题;(2);(2)过程的压缩或凝聚过程的压缩或凝聚, ,即将内化了的心理操作简化即将内化了的心理操作简化, ,归纳归纳, ,抽象抽象, ,概括概括;(3);(3)对象的实体化或对象化对象的实体化或对象化, ,即在本质上即在本质上把握对象把握对象. .五、五、APOSAPOS理论的特征理论的特征（1）真实反映了数学概念的心智建构过程 APOS理论集中于对特定学习内容数学概念学习过程的研究，对数学概念所特有的思维形式“过程和对象的双重性”做出了切实分析。对数学学习过程中学生的思维活动做出深入的研究，正确揭示数学学习活动的特殊性，提出学生学习概念要经过“活动”“程序”“对象”和“图式”4个阶段。反映了学生学习数学概念过程中真实的思维活动.五、五、APOS理论的特征理论的特征“活动阶段”是学生理解概念的一个必要条件，通过“活动”让学生亲身体验、感受概念的直观背景和概念间的关系。“过程阶段”是学生对“活动”进行思考，经历思维的内化、压缩过程，学生在头脑中对活动进行描述和反思，抽象出概念所特有的性质。“对象阶段”是通过前面的抽象，认识到了概念本质，对其赋予形式化的定义及符号，使其达到精致化，成为一个具体的对象，在以后的学习中以此为对象去进行新的活动五、五、APOSAPOS理论的特征理论的特征“图式阶段”的形成要经过长期的学习活动来完善，起初的概型包含反映概念的特例、抽象过程、定义及符号，经过学习建立起与其它概念、规则、图形等的联系，在头脑中形成综合的心理图式。（2）APOS理论揭示了数学概念学习的本质，是具有数学学科特色的学习理论. （3）APOS理论是建构主义学习理论在数学学习中的一种具体模式.（4）为数学教学提供理论工具.六、六、APOSAPOS理论的应用理论的应用如，基于APOS理论的函数单调性概念的教学设计 基于APOS理论的数学归纳法概念的教学设计