Ch.4Ch.4 线性系统的能控性和线性系统的能控性和能观性能观性能控规范形和能观规范形目录目录(1/1)(1/1)目目 录录概述概述4.1 线性连续系统的能控性线性连续系统的能控性4.2 线性连续系统的能观性线性连续系统的能观性4.3 线性定常离散系统的能控性和能观性线性定常离散系统的能控性和能观性4.4 对偶性原理对偶性原理4.5 线性系统的结构性分解和零极点相消线性系统的结构性分解和零极点相消4.6 能控规范形和能观规范形能控规范形和能观规范形4.7 实现问题实现问题4.8 Matlab问题问题本章小结本章小结能控规范形和能观规范形能控规范形和能观规范形能控规范形和能观规范形(1/(1/3)3)4.6 4.6 能控能控规范形规范形和和能观能观规范形规范形q由于状态变量选择的非唯一性,系统的状态空间模型具有非唯一性。若在状态空间的一组特定基底下,系统的状态空间模型具有某种特定形式,则称这种形式的状态空间模型为规范形。约旦规范形(对角线规范形)就是以系统的特征向量为其状态空间基底所导出的规范形。从前面讨论中可以看出,一旦把状态空间模型通过线性变换化成约旦规范形,对于状态转移矩阵(t)求解以及状态能控性和能观性分析都是十分方便的。能控规范形和能观规范形能控规范形和能观规范形能控规范形和能观规范形( (2/3)2/3)q下面我们将讨论,通过线性变换将SISO系统的状态空间模型变换成 对于系统的状态反馈设计十分方便的能控规范形和能简化系统的状态观测器设计的能观规范形。q讨论的主要问题:基本定义: 能控规范I/II形、能观规范I/II形旺纳姆能控规范II形龙伯格能控规范II形基本方法: 能控规范形和能观规范形的变换方法能控规范形和能观规范形能控规范形和能观规范形能控规范形和能观规范形( (3/3)3/3)讲授顺序为:能控规范形能控规范形能观规范形能观规范形MIMO系统的能控能观规范形系统的能控能观规范形 。能控规范形和能观规范形则称该状态空间模型为能控规范能控规范I I形形（A为为友矩阵友矩阵的的转置转置） 。能控规范形能控规范形(1(1/16)/16)能控规范形定义能控规范形定义4.6.1 能控规范形q定义 若SISO系统的状态空间模型为且系统矩阵A和输入矩阵B分别为设设A的特征多项式的特征多项式能控规范形和能观规范形能控规范形能控规范形( (2/16)2/16)能控规范形定义能控规范形定义若系统矩阵A和输入矩阵B分别为则称该状态空间模型为能控规范能控规范II形形（A为为友矩阵友矩阵）。 设设A的特征多项式的特征多项式能控规范形和能观规范形能控规范形能控规范形( (3/16)3/16)q 上述能控规范I形 和 II型的系统矩阵A分别为前面讨论过的 友矩阵的转置 和 友矩阵。q下面讨论如下两个问题:能控规范形能控规范形一定是一定是状态完全能控状态完全能控和一定存在一定存在线性变换线性变换将状态将状态能控的能控的状态空间模型状态空间模型变换变换成成能能控规范形控规范形。能控规范形和能观规范形即能控性矩阵的秩都为 n。故能控规范 I形与II型必定是状态完全能控的状态完全能控的。能控规范形能控规范形( (4/16)4/16)q能控规范形能控规范形一定是一定是状态状态完全能控完全能控?由状态能控的代数判据,对能控规范能控规范I形形和II型型,有如下能控性矩阵:能控规范形和能观规范形能控规范形能控规范形( (5/16)5/16)q由于线性变换不改变状态能控性,而能控规范形一定状态完全能控,因此,只有只有状态完全能控状态完全能控的系统的系统才能变换成才能变换成能控规范形能控规范形。下面讨论将完全能控的状态空间模型变换成能控规范形,以及该线性变换的变换矩阵的构造问题。对此,有如下对能控状态空间模型变换成能控规范I形和II型的定理。能控规范形和能观规范形q定理定理4-24 对状态完全能控的线性定常连续系统(A,B)引入变换矩阵Tc1如下Tc1=Qc=B AB An-1B是非奇异的。那么必存在一线性变换 , 能将上述状态方程变换成能控规范I形形:能控规范形能控规范形( (6/16)-6/16)-能控规范I形定理其中系统矩阵 和输入矩阵 如能控规范I形所定义的。 能控规范形和能观规范形q证明证明 若取变换矩阵Tc1=Qc,则由 能控规范形能控规范形( (7/16)-7/16)-能控规范I形定理有因此,由系统线性变换和凯莱-哈密顿定理有 能控规范形和能观规范形能控规范形能控规范形( (8/16)-8/16)-能控规范I形定理即证明了变换矩阵Tc1=Qc可将能控状态空间模型变换成能控规范I形。能控规范形和能观规范形q定理定理4-25 对状态完全能控的线性定常连续系统(A,B)引入变换矩阵Tc2如下式中，T1=0 0 1B AB An-1B-1 = 0 0 1 Qc -1 那么必存在一线性变换 ,能将上述状态方程变换成如下能控规范II形形:其中系统矩阵 和输入矩阵 如能控规范II形所定义的。 能控规范形和能观规范形能控规范形能控规范形( (10/16)10/16)q证明证明证明的思路为证明的思路为:先构造变换矩阵P的逆为行向量组成利用变换关系A=P-1AP,确定P-1的行之间的关系利用变换关系B=P-1B,最后确定确定P-1证明过程为证明过程为: 设变换矩阵Tc2的逆阵为能控规范形和能观规范形能控规范形能控规范形( (11/16)11/16)则由 ，可得代入友矩阵 ,则有即能控规范形和能观规范形能控规范形能控规范形( (12/16)12/16)因此,有Ti=T1Ai-1 i=2,3,n即能控性变换矩阵Tc2为能控规范形和能观规范形能控规范形能控规范形( (13/16)13/16)下面讨论下面讨论T1的计算。的计算。由求转置,并代入向量 ,考虑到对SISO系统T1AiB为标量,则有即T1=0 0 1B AB An-1B-1能控规范形和能观规范形是非奇异矩阵,即该系统为状态完全能控,因此可以将其变换成能控规范形。能控规范形能控规范形(1(14/16)4/16)例例4-194-19q由上述计算过程,可很便利地将能控的状态空间模型转换为能控规范形。q例例4-19 试求如下系统的能控规范I和II形:q解解 系统的能控性矩阵能控规范形和能观规范形能控规范形能控规范形(1(15/16)5/16)(2) 求能控规范求能控规范I形形。 根据定理4-24,系统变换矩阵可取为 因此,经变换 后所得的能控规范 I形的状态方程为能控规范形和能观规范形能控规范形能控规范形(1(16/16)6/16)(2) 求能控规范求能控规范II形形。 计算变换矩阵计算变换矩阵先求变换矩阵。根据定理4-25,有 T1=0 1B AB-1=1/2 1/2则变换矩阵Tc2可取为因此,经变换 后所得的能控规范 II形的状态方程为能控规范形和能观规范形能观规范形能观规范形(1(1/9)/9)能观规范形定义能观规范形定义4.6.2 能观规范形q对应于能控规范形,若SISO线性定常连续系统(A,B,C)的系统矩阵A和输出矩阵C分别为 则称该状态空间模型为能观规范能观规范 I I形形（A为为友矩阵友矩阵） ；对比 能控规范I形能观规范I形与能控规范I形互为对偶能控规范形和能观规范形能观规范形能观规范形( (2/9)2/9)能观规范形定义能观规范形定义对应于能控规范形,若SISO线性定常连续系统(A,B,C)的系统矩阵A和输出矩阵C分别为 则称该状态空间模型为能观规范能观规范IIII形形（A为为友矩阵友矩阵的的转置转置） 。对比 能控规范II形能观规范II形与能控规范II形互为对偶能控规范形和能观规范形能观规范形能观规范形( (3/9)3/9)q由上述定义可知:能观规范形与能控规范形是互为对偶的,即能观规范I形与能控规范I形互为对偶,而能观规范II形与能控规范II形互为对偶。由对偶性原理可知,能控规范形是状态完全能控的,则其对偶系统能观规范形是状态完全能观的。q由于线性变换不改变能观性,而能观规范形一定状态完全能观,因此,只有状态完全能观的系统才能变换成能观规范形。下面讨论将完全能观的状态空间模型变换成能观规范I/II形,以及该线性变换的变换矩阵的构造问题，对此,有如下定理。能控规范形和能观规范形q定理定理4-26 对状态完全能观的线性定常连续系统(A,B,C)引入变换矩阵To1满足那么线性变换 , 必能将状态空间模型(A,B,C)变变换换成能观规范I形形:能观规范形能观规范形( (4/9)-4/9)-能观规范I形定理其中系统矩阵 和输入矩阵 如能观规范 I形所定义的。 能控规范形和能观规范形q定理定理4-27 对状态完全能观的线性定常连续系统(A,B,C)引入变换矩阵To2如下To2=R1 AR1 An-1R1式中，那么必存在一线性变换 ,能将状态空间模型(A,B, C)变换成如下能观规范II形形:能观规范形能观规范形( (5/9)-5/9)-能观规范II形定理其中系统矩阵 和输入矩阵 如能观规范II形所定义的。 能控规范形和能观规范形能观规范形能观规范形( (6/9)6/9)例例4-204-20q由于能观规范形与能控规范形互为对偶,因此,能观规范形变换定理4-26与定理4-27的证明可由能控规范形变换定理4-24与定理4-25的证明直接给出,这里不再赘述。q例例4-20 试求如下系统状态方程的能观规范I形与II型能控规范形和能观规范形能观规范形能观规范形( (7/9)7/9)例例4-204-20是非奇异矩阵,即该系统为状态完全能观,因此可以将其变换成能观规范形。q解解 由于系统的能观性矩阵能控规范形和能观规范形能观规范形能观规范形( (8/9)8/9)(1) 求求能观规范能观规范I形形。根据定理4-26,系统变换矩阵可取为 因此,经变换后所得的能观规范I形形的状态方程为能控规范形和能观规范形能观规范形能观规范形( (9/9)9/9)(2) 求求能观规范能观规范II形形。根据定理4-27,先求变换矩阵，有 则变换矩阵To2可取为因此,经变换后所得的能观规范II形的状态方程为能控规范形和能观规范形MIMO系统的能控能观规范形(1/1)4.6.3 MIMO系统系统的的能控能控能观能观规范形规范形qMIMO线性定常连续系统的能控规范形和能观规范形,相比于SISO系统,无论是规范形形式还是构造方法都要复杂复杂一些。本节从基本性和实用性出发,仅讨论应用较广的旺纳姆旺纳姆(Wonham) 能控规范能控规范II形形和龙伯格龙伯格(Luenberger) 能控规范能控规范II形形。 能控规范形和能观规范形旺纳姆能控规范II形(1/1)1. 旺纳姆旺纳姆能控规范能控规范II形形q下面分别介绍旺纳姆能控规范旺纳姆能控规范II形定义形定义变换阵变换阵Tw的确定的确定能控规范形和能观规范形旺纳姆能控规范II形定义(1/3)(1) 旺纳姆旺纳姆能控规范能控规范II形形定义定义q对完全能控的MIMO线性定常连续系统式中，A为维系统矩阵,B为维输入矩阵,C为维输出矩阵。基于线性非奇异变换 ,可导出系统的旺纳姆能控规范II形形为式中，能控规范形和能观规范形旺纳姆能控规范II形定义(2/3)能控规范II形能控规范形和能观规范形旺纳姆能控规范II形定义(3/3)q类似于SISO能控规范形，可以证明旺纳姆能控规范II形肯定能控，而且任何状态完全能控的MIMO状态空间模型肯定可以变换成旺纳姆能控规范II形。 能控规范形和能观规范形变换阵变换阵Tw的确定的确定(1/6)(2) 变换阵变换阵Tw的的确定确定q类似于SISO的能控规范II形,旺纳姆能控规范II形的变换矩阵也可从能控性矩阵构造,方法如下：首先,通过列向列向搜索搜索找出系统能控性矩阵中n个线性无关列向量。为此,表将的所有nr个列向量排列成如下形式能控规范形和能观规范形变换阵变换阵Tw的确定的确定(2/6)类似于SISO的能控规范II形,旺纳姆能控规范II形的变换矩阵从左到右搜索每一个列向量,检验该向量与其左边所有保留下来的线性无关列向量是否线性相关。若相关则将该向量从队列中剔出,否则保留。如此,一直搜索到找到n个线性无关列向量为止。最后将源自的n个线性无关列向量构成矩阵式中， 能控规范形和能观规范形变换阵变换阵Tw的确定的确定(3/6)因此,有 式中，ei,j为行向量。基于此,变换矩阵Tw可取为能控规范形和能观规范形变换阵变换阵Tw的确定的确定(4/6)-例例4-21 则可将完全能控的状态空间模型变换成旺纳姆能控规范II形。具体推证过程与SISO能控规范II形的推证过程类似,故略去。q考虑到能控性和能观性之间的对偶关系,利用对偶性原理对偶性原理,可由旺纳姆旺纳姆能控规范形的结论直接导出旺纳姆旺纳姆能观规范形的对应结论。具体过程略。q例例4-21 试求如下线性定常连续系统的旺纳姆能控规范II形。能控规范形和能观规范形变换阵变换阵Tw的确定的确定(5/6)q解解 由能控性判别矩阵的秩等于3知,该系统状态完全能控,因此该系统可以变换成旺纳姆能控规范II形。首先,按列向探索方法,找到3个线性无关列b1,Ab1和A2b1。因此,非奇异矩阵S及其逆矩阵为能控规范形和能观规范形变换阵变换阵Tw的确定的确定(6/6)故变换矩阵为即可求得旺纳姆能控规范II形的系统矩阵和输入矩阵能控规范形和能观规范形龙伯格能控规范II形(1/1)2. 龙伯格龙伯格能控规范能控规范II形形q下面分别介绍龙伯格能控规范龙伯格能控规范II形定义形定义变换阵变换阵TL的确定的确定能控规范形和能观规范形龙伯格能控规范II形定义(1/3)(1) 龙伯格龙伯格能控规范能控规范II形形定义定义q对完全能控的MIMO线性定常连续系统式中，A为维系统矩阵,B为维输入矩阵,C为维输出矩阵。基于线性非奇异变换 ,可导出系统的龙伯格龙伯格能控规范II形形为式中，能控规范形和能观规范形龙伯格能控规范II形定义(2/3)能控规范II形能控规范形和能观规范形龙伯格能控规范II形定义(3/3)q类似于SISO能控规范形，可以证明龙伯格能控规范II形肯定能控，而且任何状态完全能控的MIMO状态空间模型肯定可以变换成龙伯格能控规范II形。 能控规范形和能观规范形变换阵变换阵TL的确定的确定(1/6)(2) 变换阵变换阵TL的的确定确定q类似于SISO的能控规范II形,龙伯格能控规范II形的变换矩阵也可从能控性矩阵构造,方法如下：首先,通过行向行向搜索搜索找出系统能控性矩阵中n个线性无关列向量。为此,表将的所有nr个列向量排列成如下形式能控规范形和能观规范形变换阵变换阵TL的确定的确定(2/6)类似于SISO的能控规范II形,龙伯格能控规范II形的变换矩阵从左到右搜索每一个列向量,检验该向量与其左边所有保留下来的线性无关列向量是否线性相关。若相关则将该向量从队列中剔出,否则保留。如此,一直搜索到找到n个线性无关列向量为止。最后将源自的n个线性无关列向量构成矩阵式中， 能控规范形和能观规范形变换阵变换阵TL的确定的确定(3/6)因此,有 式中，ei,j为行向量。基于此,变换矩阵TL可取为能控规范形和能观规范形变换阵变换阵TL的确定的确定(4/6)-例例4-22则可将完全能控的状态空间模型变换成龙伯格能控规范II形。具体推证过程与SISO能控规范II形的推证过程类似,故略去。q考虑到能控性和能观性之间的对偶关系,利用对偶性原理,可由龙伯格龙伯格能控规范形的结论直接导出龙伯格龙伯格能观规范形的对应结论。具体过程略。q例例4-22 试求例4-21的线性定常连续系统的龙伯格能控规范II形。 能控规范形和能观规范形变换阵变换阵TL的确定的确定(5/6)q解解 由能控性判别矩阵的秩等于3知,该系统状态完全能控,因此该系统可以变换成龙伯格能控规范II形。首先,按行向探索方法,找到3个线性无关列b1,Ab1和b2。故能控指数1=2， 2=1。因此,非奇异矩阵S及其逆矩阵为能控规范形和能观规范形变换阵变换阵TL的确定的确定(6/6)故变换矩阵为即可求得龙伯格能控规范II形的系统矩阵和输入矩阵能控规范形和能观规范形