数值分析数值分析第第5 5章章 插值与逼近插值与逼近主讲老师主讲老师: 雷鸣雷鸣 插值与逼近都是指用某个简单函数在满足一插值与逼近都是指用某个简单函数在满足一定条件下，在某个范围内近似代替另一个较为复定条件下，在某个范围内近似代替另一个较为复杂或者解杂或者解 析表达式未给出的函数，以便于对后者析表达式未给出的函数，以便于对后者的各种计算或揭示后者的某些性质。的各种计算或揭示后者的某些性质。 第第5章章 插值与逼近插值与逼近1 问题的提出问题的提出 在科学研究和工程计算中，经常要研究变在科学研究和工程计算中，经常要研究变量之间的函数关系，但是在很多情况下，又很量之间的函数关系，但是在很多情况下，又很难找到具体的解析表达式，往往只能通过测量难找到具体的解析表达式，往往只能通过测量或者观察，获得一张数据表，即或者观察，获得一张数据表，即1 代数插值代数插值 这种用表格形式给出的函数，无法求出不在表这种用表格形式给出的函数，无法求出不在表中的点的函数值，也不能进一步研究函数的分析性中的点的函数值，也不能进一步研究函数的分析性质，如函数的导数及积分等。为了解决这些问题，质，如函数的导数及积分等。为了解决这些问题，我们设法通过这张表格求出一个简单的函数我们设法通过这张表格求出一个简单的函数P(x)这种求这种求P(x)的方法称为的方法称为插值法插值法。使使定义定义1 设函数设函数y=f(x)在区间在区间a,b上有定义，且上有定义，且上的值为上的值为，若存在一个简单的函数，若存在一个简单的函数p(x) ，使，使 成立，则称成立，则称p(x)为为 f (x)的插值函数。的插值函数。为为插值节点插值节点；为为插值条件插值条件；f(x)为为被插值函数被插值函数;2 插值问题的概念插值问题的概念已知在点已知在点其中其中 , a,b为为插值区间插值区间； 从几何上从几何上说说，插，插值值法就是求一条曲法就是求一条曲线线 y = P(x) 使它通过已知的使它通过已知的 (n+1)个点个点并取并取如如图图 根据不同要求，可以根据不同要求，可以选择选择不同的插不同的插值值函数。函数。其中最其中最简单简单的一的一类类是多是多项项式插式插值值。多。多项项式插式插值值的的基基础问题础问题是：是：根据根据给给出的函数表，求一个不高于出的函数表，求一个不高于 n 次的代数多项式次的代数多项式满满足插足插值值条件条件的多的多项项式式，称，称为为函数函数f( (x) )在节点在节点上的上的 n 次插值多项式。次插值多项式。使使 特特别别当当 n =1时时，所求的一次插值多项式为通所求的一次插值多项式为通过两点的直线，称相应的插值问题为线性插值；过两点的直线，称相应的插值问题为线性插值； 函数插值是计算方法的重要工具，我们常函数插值是计算方法的重要工具，我们常常借助于插值函数常借助于插值函数 P (x) 来来计计算被插算被插值值函数函数 f (x)的函数值、零点和积分等的近似值。的函数值、零点和积分等的近似值。 当当 n=2时，所求的二次插值多项式为通过三点时，所求的二次插值多项式为通过三点的抛物线，称相应的插值问题为抛物线插值。的抛物线，称相应的插值问题为抛物线插值。从插从插值值多多项项式的定式的定义义可知，要求可知，要求满满足足插值插值的的 n 次插次插值值多多项项式式只要把只要把代入代入，即可得，即可得 (n+1) 个方程个方程3 插值多项式的存在唯一性插值多项式的存在唯一性条件式条件式 的的n+1元元线线性方程性方程组组 这是关于这是关于其系数行列式其系数行列式是是n+1阶阶范德蒙德（范德蒙德（Vandermonde）行列式，）行列式，由由线线性代数知性代数知识识因因节节点互异，故点互异，故D0 ，方程组有唯一解。，方程组有唯一解。定理定理1 当插当插值节值节点互异点互异时时，满满足插足插值值条件条件的的 n 次插次插值值多多项项式式存在且唯一。存在且唯一。于是有于是有 我我们们在在讨论讨论插插值值多多项项式的存在唯一性式的存在唯一性时时，已，已经经提供了一种求插提供了一种求插值值多多项项式的方法，即通式的方法，即通过过求解求解线线性性方程方程组组4 插值多项式的求法插值多项式的求法 由于这种求法计算工作量大，而且不能获得简由于这种求法计算工作量大，而且不能获得简明的表达式，明的表达式，给给理理论论研究和研究和应应用用带带来不便。通常我来不便。通常我们们采用的是构造方法，直接构造一个采用的是构造方法，直接构造一个满满足条件足条件的的 n 次插次插值值多多项项式。式。下面，我们介绍这种简便实用的方法。下面，我们介绍这种简便实用的方法。的系数的系数来确定插来确定插值值多多项项式式当当n=0时时为为因而因而当当n=1时时，为，为5 基本插值多项式基本插值多项式解得解得 因而因而若令若令 则则有有 这这里的里的和和可以分可以分别别看作看作满满足足及及的一次插值多项式。的一次插值多项式。插值条件插值条件这这两个插两个插值值多多项项式称式称为为一次插一次插值值的基本插的基本插值值多多项项式式。表明一次插表明一次插值值多多项项式式可以通可以通过过基本插基本插值值多多项项式式和和的的线线性性组组合得到，且系数恰合得到，且系数恰为为所所给给数据数据和和。表达式表达式现现在来在来讨论讨论n次多项式的插值问题。次多项式的插值问题。为为了得到了得到n次多项式插值次多项式插值，我，我们们先求一个先求一个n次多次多项项式式，满满足足 即即 其中，其中，所以所以含有如下含有如下n个因子：个因子：于是于是可以写成可以写成其中其中为为待定常数。待定常数。由于由于为为n次多次多项项式式的的n个零点，个零点， 于是于是 将它代入到将它代入到，得，得 式中式中称为称为n次插次插值问题值问题的（第的（第k个）基本插值多项式。个）基本插值多项式。，得到，得到 由由