第八章第八章 近代平差理论近代平差理论 前面介绍的五种平差方法，我们常称之为经典平前面介绍的五种平差方法，我们常称之为经典平差方法，随着计算机技术的普及和矩阵理论在测量差方法，随着计算机技术的普及和矩阵理论在测量平差中的广泛应用，产生了一些新的测量平差模型，平差中的广泛应用，产生了一些新的测量平差模型，如序惯平差、自由网平差、方差分量估计等理论，如序惯平差、自由网平差、方差分量估计等理论，为区别起见，我们称之为近代平差理论。本章将介为区别起见，我们称之为近代平差理论。本章将介绍这些平差理论及其应用，部分方法只阐述其原理，绍这些平差理论及其应用，部分方法只阐述其原理，详细内容将在后续课程中进一步学习。详细内容将在后续课程中进一步学习。 序惯平差也叫逐次相关间接平差，它是将观测值分序惯平差也叫逐次相关间接平差，它是将观测值分成两组或多组，按组的顺序分别做相关间接平差，成两组或多组，按组的顺序分别做相关间接平差，从而使其达到与两期网一起做整体平差同样的结果。从而使其达到与两期网一起做整体平差同样的结果。分组后可以使每组的法方程阶数降低，减轻计算强分组后可以使每组的法方程阶数降低，减轻计算强度，现在常用于控制网的改扩建或分期布网的平差度，现在常用于控制网的改扩建或分期布网的平差计算，即观测值可以是不同期的，平差工作可以分计算，即观测值可以是不同期的，平差工作可以分期进行。本节的理论公式推导，以分两组为例。期进行。本节的理论公式推导，以分两组为例。81 序贯平差序贯平差一、序惯平差原理一、序惯平差原理设某平差问题，观测向量设某平差问题，观测向量 ，现把它分为，现把它分为 两两组，组内相关，组间互不相关，即：组，组内相关，组间互不相关，即：（8-1-1） 按间接平差原理选取参数按间接平差原理选取参数 ，取近似，取近似 ，改正，改正数为数为 ，分组后两组的误差方程分别为，分组后两组的误差方程分别为权阵权阵 （8-1-2a） 权阵权阵 （8-1-2b） （i=1、2） 若按整体平差，误差方程可以写为若按整体平差，误差方程可以写为 权阵为权阵为 按间接平差原理可得其法方程为按间接平差原理可得其法方程为即即由上式可得由上式可得 按分组平差，先对第一组误差方程行第一按分组平差，先对第一组误差方程行第一次平差（因未顾及第二组观测值次平差（因未顾及第二组观测值 ，所以第，所以第一次平差只能得到一次平差只能得到 的第一次近似值，用的第一次近似值，用 表示）。函数模型可改写为表示）。函数模型可改写为 权阵 （8-1-3）按间接平差原理，可以直接给出公式，其法方程为按间接平差原理，可以直接给出公式，其法方程为未知参数的第一次改正数未知参数的第一次改正数（8-1-4）（8-1-5） 未知参数的第一次平差值未知参数的第一次平差值（8-1-6） 第一次平差后未知参数第一次平差后未知参数 的权阵为的权阵为（8-1-7） 将将 代入（代入（8-1-3）式，得观测值）式，得观测值 的第一次改正数的第一次改正数 ，而，而 。再单独对第二组误差方程作第二次平差，此时，应再单独对第二组误差方程作第二次平差，此时，应把第一次平差后求得的参数把第一次平差后求得的参数 作为虚作为虚拟观测值参与平差，其权阵为拟观测值参与平差，其权阵为 误差方程为：误差方程为： （8-1-8） 由上式知由上式知 其中其中称称为参数的第二次改正数。参数的第二次改正数。 联合第二组误差方程。即：联合第二组误差方程。即： （8-1-9） 其中其中 或或 由（由（8-1-8）、（）、（8-1-9）联合组成法方程为）联合组成法方程为即即 （8-1-10） 将上式代入（将上式代入（8-1-9）即可求得第二组观测值的整）即可求得第二组观测值的整体改正数。那么第一组观测值的第二次改正数如何求体改正数。那么第一组观测值的第二次改正数如何求呢？我们可以用呢？我们可以用 分别代替（分别代替（8-1-2)的的 ，即：，即：（8-1-11） 由上式可得参数的第二次改正数为由上式可得参数的第二次改正数为因因为经过第一次平差后，已使第一次平差后，已使成立，所以有成立，所以有（8-1-12） 最后的平差值为：最后的平差值为：（8-1-13） （8-1-14） （8-1-15） 下面给出精度评定公式。下面给出精度评定公式。单位权中误差估值：单位权中误差估值：（8-1-16） 其中其中，推，推证如下：如下：而而所以所以， 但是但是并顾及并顾及 则有则有 （8-1-17）未知参数的协因数阵：未知参数的协因数阵：（8-1-18） 未知参数函数的协因数及中误差：未知参数函数的协因数及中误差：设有参数函数的权函数式：设有参数函数的权函数式： （8-1-19） （8-1-20）解：本题解：本题 ，选，选 两点高程平差值为未两点高程平差值为未知参数知参数 ，并取其近似值为：，并取其近似值为： ， ， ， ， ，试按逐次间接平差法求，试按逐次间接平差法求 两两点高程的平差值及点高程的平差值及 点高程的中误差点高程的中误差 ? 第一期同精度独立观测第一期同精度独立观测 ，第二期同精度独立观测第二期同精度独立观测 ,观测值为观测值为:例例8-1 如图如图8-1水准网，水准网， 为已知点，为已知点，图图8-1h3CDAh1h2Bh4h5列立第一期误差方列立第一期误差方程程权阵权阵 写成写成的形式的形式为组成法方程组成法方程解得参数的第一次改正数及其权阵解得参数的第一次改正数及其权阵求第一期观测值的第一次改正数求第一期观测值的第一次改正数 列立第二期误差方程列立第二期误差方程 ，可用第一期，可用第一期平差后的参数平差值直接列立，此时误差方程常平差后的参数平差值直接列立，此时误差方程常数项就是数项就是 ，即，即权阵权阵 写成矩阵形式写成矩阵形式 也可以用参数的初始近似值列出，此时的误差方程常数项也可以用参数的初始近似值列出，此时的误差方程常数项为为 ，即，即其中其中则误差方程可写为则误差方程可写为结果一样结果一样。顾及第一次平差结果，组成法方程顾及第一次平差结果，组成法方程即即求解参数的第二次改正数及平差值求解参数的第二次改正数及平差值计算第二期观测值的改正数计算第二期观测值的改正数计算单位权中误差计算单位权中误差计算计算C点高程平差值中误差，即参数的中误差点高程平差值中误差，即参数的中误差 二、序惯平差的三种特殊情况二、序惯平差的三种特殊情况1第二次平差增加新的参数第二次平差增加新的参数设两组的误差方程为设两组的误差方程为 权阵权阵 （8-1-21） 权阵权阵 （8-1-22）式中式中 是共同的未知参数，是共同的未知参数， 是新增加的未知参数。是新增加的未知参数。 第一次平差可得：第一次平差可得： （8-1-23）（8-1-24） （8-1-25） 第二次平差的误差方程为第二次平差的误差方程为 权阵权阵 （8-1-26） 权阵权阵 （8-1-27） 式中：式中： 或或 （8-1-28） （8-1-29） （8-1-30） 解算法方程可得解算法方程可得 ，代入（，代入（8-1-27）可求得）可求得 。 最后得参数平差值为最后得参数平差值为组成法方程为组成法方程为 2二次平差的参数仅是第一次平差参数的一部分二次平差的参数仅是第一次平差参数的一部分设两组的误差方程为：设两组的误差方程为：权阵权阵 （8-1-31） 权阵权阵 （8-1-32）第一次平差的法方程为：第一次平差的法方程为： （8-1-33）（8-1-34） 由法方程可求得由法方程可求得 ，其权阵为：，其权阵为： （8-1-35） 二次平差的误差方程二次平差的误差方程权阵（8-1-36） 权阵权阵 （8-1-37） 式中：式中： 或或 顾及（顾及（8-1-35）式，组成法方程如下：）式，组成法方程如下： （8-1-38） （8-1-39） 由（由（8-1-38）式可得：）式可得： （8-1-40）将将 代入（代入（8-1-39）式，整理后得）式，整理后得 （8-1-41） 式中式中 （8-1-42） 由（由（8-1-41）可解得）可解得 。参数的平差值为。参数的平差值为（8-1-43）（8-1-44） 3上述两种情况的综合上述两种情况的综合两组的误差方程为：两组的误差方程为：权阵权阵 权阵权阵 （8-1-45）（8-1-46） 第一次平差与上述第二种情况完全相同，其法方程、第一次平差与上述第二种情况完全相同，其法方程、 、权阵、参数的第一次平差值等见（、权阵、参数的第一次平差值等见（8-1-33）、（）、（8-1-34）、（）、（8-1-35）式，其中）式，其中 的计算见（的计算见（8-1-42）式。）式。 二次平差类似于第一种情况的第二次平差，二次平差类似于第一种情况的第二次平差， 由下由下列法方程解得，常数项由（列法方程解得，常数项由（8-1-49）求得。）求得。（8-1-47） （8-1-48）其中其中 或或 （8-1-49） 按下式计算的值按下式计算的值 （8-1-50） 最后计算参数的平差值最后计算参数的平差值 （8-1-518-1-51） （8-1-52） （8-1-53） 例例8-2 设有两组误差方程设有两组误差方程 为为 权阵权阵 权阵权阵试按逐次间接平差法求未知参数的平差值。试按逐次间接平差法求未知参数的平差值。解：本题符合第三种特殊情况，即符合如下形式：解：本题符合第三种特殊情况，即符合如下形式：即即第一次平差的法方程为：第一次平差的法方程为： 即即其解为其解为未知参数的权阵为未知参数的权阵为第二次平差的法方程为第二次平差的法方程为即即其解为其解为而而参数的平差值为参数的平差值为即即8-2 秩亏自由网平差秩亏自由网平差v 在前面介绍的经典平差中，都是以已知的起算数在前面介绍的经典平差中，都是以已知的起算数据为基础，将控制网固定在已知数据上。如水准网据为基础，将控制网固定在已知数据上。如水准网必须至少已知网中某一点的高程，平面网至少要已必须至少已知网中某一点的高程，平面网至少要已知一点的坐标、一条边的边长和一条边的方位角。知一点的坐标、一条边的边长和一条边的方位角。当网中没有必要的起算数据时，我们称其为自由网，当网中没有必要的起算数据时，我们称其为自由网，本节将介绍网中没有起算数据时的平差方法，即自本节将介绍网中没有起算数据时的平差方法，即自由网平差。由网平差。v 在经典间接平差中，网中具备必要的起算数据，在经典间接平差中，网中具备必要的起算数据，误差方程为误差方程为 （8-2-1） 式中系数阵式中系数阵 为列满秩矩阵，其秩为为列满秩矩阵，其秩为 。在最小。在最小二乘准则下得到的法方程为二乘准则下得到的法方程为（8-2-2） 由于其系数阵的秩为由于其系数阵的秩为 ，所以所以 为满秩矩阵，即为非奇异阵，具有凯利为满秩矩阵，即为非奇异阵，具有凯利逆，因此具有唯一解，即逆，因此具有唯一解，即（8-2-3） 当网中无起算数据时，网中所有点均为待定点，当网中无起算数据时，网中所有点均为待定点，设未知参数的个数为设未知参数的个数为u，误差方程为，误差方程为（8-2-4） 式中式中d为必要的起算数据个数。尽管增加了为必要的起算数据个数。尽管增加了d个参数，个参数，但但B的秩仍为必要观测个数，即的秩仍为必要观测个数，即其中其中B为不满秩矩阵，称为秩亏阵，其秩亏数为为不满秩矩阵，称为秩亏阵，其秩亏数为d。组成法方程组成法方程（8-2-5） 式中式中 且且 所以所以N也为秩亏阵，秩亏数为：也为秩亏阵，秩亏数为： （8-2-6） 由上式知，不同类型控制网的秩亏数就是经典由上式知，不同类型控制网的秩亏数就是经典平差时必要的起算数据的个数。即有：平差时必要的起算数据的个数。即有： 在控制网秩亏的情况下，法方程有解但不唯一。在控制网秩亏的情况下，法方程有解但不唯一。也就是说仅满足最小二乘准则，仍无法求得的唯一也就是说仅满足最小二乘准则，仍无法求得的唯一解，这就是秩亏网平差与经典平差的根本区别。为解，这就是秩亏网平差与经典平差的根本区别。为求得唯一解，还必须增加新的约束条件，来达到求求得唯一解，还必须增加新的约束条件，来达到求唯一解的目的。秩亏自由网平差就是在满足最小二唯一解的目的。秩亏自由网平差就是在满足最小二乘乘 和最小范数和最小范数 的条件下，求的条件下，求参数一组最佳估值的平差方法。参数一组最佳估值的平差方法。 下面将推导自由网平差常用两种解法的有关计算下面将推导自由网平差常用两种解法的有关计算公式。公式。一、直接解法一、直接解法根据广义逆理论，相容方程组根据广义逆理论，相容方程组 虽然虽然具有无穷多组解，但它有唯一的最小范数解，具有无穷多组解，但它有唯一的最小范数解，即：即：（8-2-7） 式中式中 ，称为矩阵的最小范数，称为矩阵的最小范数g逆。逆。 称为矩阵称为矩阵 的的g逆。代入（逆。代入（8-2-7）式得）式得（8-2-8） 上式就是根据广义逆理论直接求解参数的唯一最上式就是根据广义逆理论直接求解参数的唯一最小范数解的公式。由于广义逆计算较为复杂，下小范数解的公式。由于广义逆计算较为复杂，下面将公式做进一步改化：面将公式做进一步改化：令令 （8-2-9） （8-2-10） 式中式中 行满秩，即行满秩，即 ，于是有，于是有 （8-2-11） 而而 ，所以，所以 为满秩方阵，为满秩方阵，按照降阶法求矩阵广义逆的方法，按照降阶法求矩阵广义逆的方法， 即：如果有矩阵即：如果有矩阵 其中其中 存在凯利逆，则有存在凯利逆，则有 的的g逆逆（8-2-12） 根据上式可得根据上式可得（8-2-13） 代入（代入（8-2-8）式，得）式，得（8-2-14） 或写成或写成（8-2-15） 未知参数的协因数阵为：未知参数的协因数阵为：（8-2-16） 二、附加条件法（伪观测值法）二、附加条件法（伪观测值法） 前面已提及，秩亏自由网平差就是在满足最小二前面已提及，秩亏自由网平差就是在满足最小二乘乘 和最小范数和最小范数 的条件下，求的条件下，求参数一组最佳估值的平差方法，实际上就是求相容参数一组最佳估值的平差方法，实际上就是求相容方程组方程组 的最小范数解。附加条件法的基本的最小范数解。附加条件法的基本思想：由于网中没有起算数据，平差时多选了思想：由于网中没有起算数据，平差时多选了d个个未知参数，因此在未知参数，因此在u个参数之间必定满足个参数之间必定满足d个附加条个附加条件式，即在原平差函数模型中需要加入件式，即在原平差函数模型中需要加入d个未知参个未知参数间的限制条件方程，从而可以按附有条件的间接数间的限制条件方程，从而可以按附有条件的间接平差法求解。问题的关键是如何导出等价于平差法求解。问题的关键是如何导出等价于 的限制条件方程的具体形式。的限制条件方程的具体形式。 为叙述方便，我们先给出该限制条件方程，然后为叙述方便，我们先给出该限制条件方程，然后再推导平差计算公式，最后证明，在给定的限制条再推导平差计算公式，最后证明，在给定的限制条件方程下所求得的解，就是相容方程组件方程下所求得的解，就是相容方程组 的最小范数解。的最小范数解。 设等价于约束条件设等价于约束条件 的限制条件方程为的限制条件方程为（8-2-17） 式中式中 且满足且满足 S称为附加阵。故秩亏称为附加阵。故秩亏自由网平差的函数模型为自由网平差的函数模型为权阵为权阵为 P按照附有条件的间接平差可得法方程按照附有条件的间接平差可得法方程（8-2-18） 式中式中 且且 唯一不同的是这里唯一不同的是这里N为秩亏阵。为秩亏阵。为解决秩亏问题，将（为解决秩亏问题，将（8-2-18）中的第二式左乘）中的第二式左乘S矩阵后，再加到第一组中得：矩阵后，再加到第一组中得：（8-2-19） 式中式中 ，且，且 根据附有条件的间接平差原理，上式的解为根据附有条件的间接平差原理，上式的解为（8-2-20） （8-2-21） 由于上述解是通过增加未知参数间满足的由于上述解是通过增加未知参数间满足的d个个附加条件，按照附有条件的间接平差法而实现附加条件，按照附有条件的间接平差法而实现的，因此人们把此法称为附加条件法。的，因此人们把此法称为附加条件法。 但它又不同于经典的附有条件的间接平差法，其主但它又不同于经典的附有条件的间接平差法，其主要表现为：当要表现为：当S阵满足阵满足BS=0时，必定有下式成立时，必定有下式成立（证明从略）（证明从略）（8-2-22） 将（将（8-2-22）式代入（）式代入（8-2-21）式，可得参数的解为）式，可得参数的解为（8-2-23） 就是法方程就是法方程 的最小的最小范数解。为此只需证明范数解。为此只需证明 是的最小范数是的最小范数g逆中的逆中的一个即可，即只需证明一个即可，即只需证明 满足以下两式：满足以下两式： 现在只需证明，按（现在只需证明，按（8-2-23）式求得的解）式求得的解（8-2-24） 现证明如下：现证明如下： 因为因为 所以有所以有 右乘右乘S阵并展开，则有阵并展开，则有而而 ，所以有，所以有（8-2-25） 由于由于 ，存在逆阵，则有，存在逆阵，则有（8-2-26） 所以有所以有（8-2-28） （8-2-27） 因此（因此（8-2-24）第一式得到验证）第一式得到验证由（由（8-2-27）式得）式得考虑到（考虑到（8-2-26）式，则上式为）式，则上式为 （8-2-29） （8-2-28）、（）、（8-2-29）两式说明）两式说明 是的最是的最小范数小范数g逆中的一个，因此按（逆中的一个，因此按（8-2-23）式求得）式求得的的 一定是相容方程组一定是相容方程组 的最小范数的最小范数解。解。三、精度评定三、精度评定单位权中误差估值的计算单位权中误差估值的计算（8-2-30） 式中式中 可以直接计算，也可以按下式求得可以直接计算，也可以按下式求得（8-2-31） 未知参数的协因数阵为未知参数的协因数阵为 （8-2-32） 实际计算时，通常要对实际计算时，通常要对S进行标准化，设标准化后进行标准化，设标准化后的的S阵用阵用G表示表示,即不仅要求满足即不仅要求满足BG=0，还要求满，还要求满足足 ,此时此时(8-2-26)式变成式变成 ，转置后有，因此（，转置后有，因此（8-2-32）式将变成如下形式）式将变成如下形式（8-2-33） 四、两点说明四、两点说明若将若将 代入法方程，则法方程变为代入法方程，则法方程变为上式相当于下列误差方程联合组成的法方程上式相当于下列误差方程联合组成的法方程 上式的第一式为观测值的误差方程，第二式可上式的第一式为观测值的误差方程，第二式可以看作是为求最小范数解而人为增设的以看作是为求最小范数解而人为增设的d个虚拟个虚拟误差方程，因此附加条件法又叫伪观测值法。误差方程，因此附加条件法又叫伪观测值法。 该方法的特点就是用求凯利逆替代了求广义该方法的特点就是用求凯利逆替代了求广义逆，因此便于计算和计算机编程，但首要条件是必逆，因此便于计算和计算机编程，但首要条件是必须知道附加阵须知道附加阵S，关于附加阵的确定问题，本教材，关于附加阵的确定问题，本教材不准备作详细讨论，下面直接给出常见控制网的附不准备作详细讨论，下面直接给出常见控制网的附加阵加阵S及其标准化后及其标准化后G的矩阵的具体形式：的矩阵的具体形式： 水准网（设有水准网（设有u个点）个点）（8-2-34） 测边网（设有测边网（设有m个点）个点）（8-2-35） 式中式中 为第为第I点的近似坐标点的近似坐标（8-2-36） 式中式中 是以中心坐标为原点的第是以中心坐标为原点的第I点的近似坐点的近似坐标，它们的计算如下：标，它们的计算如下： 元素元素,在（在（8-2-36）式中增加）式中增加一行元一行元 素即可得素即可得到相应的到相应的S阵和阵和G阵。阵。测角网（设有测角网（设有m个点）个点） 只需在（只需在（8-2-35）式中增加一行）式中增加一行例例8-3 如图如图8-2水准网，水准网，A,B,C点全为待定点，同点全为待定点，同精度独立高差观测值为精度独立高差观测值为 ， ， 平差时选取平差时选取A,B,C三个待定点的高程平差三个待定点的高程平差值为未知参数值为未知参数 ，并取近似值，并取近似值试分别用直接法和附加条试分别用直接法和附加条件法求解参数的平差值及件法求解参数的平差值及其协因数阵。其协因数阵。 解：解：1直接解法直接解法误差方程为误差方程为法方程为法方程为由法方程易知由法方程易知所以有所以有未知参数的改正数为未知参数的改正数为未知参数的平差值为未知参数的平差值为未知参数的协因数阵为未知参数的协因数阵为2附加条件法附加条件法解法一中已求得法方程为解法一中已求得法方程为 的具体形式为：的具体形式为：该水准网有该水准网有3个待定点，所以附加阵为个待定点，所以附加阵为 则有则有 所以有所以有未知参数的的协因数阵为未知参数的的协因数阵为 结果与直接解法完全相同。结果与直接解法完全相同。8-3 附加系统参数的平差附加系统参数的平差 经典平差中总是假设观测值中不含系统误差，经典平差中总是假设观测值中不含系统误差，但测量实践表明，尽管在观测过程中采用各种观测但测量实践表明，尽管在观测过程中采用各种观测措施和预处理改正，仍会含有残余的系统误差。消措施和预处理改正，仍会含有残余的系统误差。消除或减弱这种残余系统误差可借助于平差方法，即：除或减弱这种残余系统误差可借助于平差方法，即：通过在经典平差模型中附加系统参数对系统误差进通过在经典平差模型中附加系统参数对系统误差进行补偿，这种平差方法称为附加系统参数的平差法。行补偿，这种平差方法称为附加系统参数的平差法。 经典的高斯经典的高斯马尔可夫模型为马尔可夫模型为 （8-3-1） 当观测值中含有系统误差时，显然当观测值中含有系统误差时，显然在这种情况下，需要对经典的高斯在这种情况下，需要对经典的高斯马尔可夫模型马尔可夫模型进行扩充。设观测误差进行扩充。设观测误差 包含系统误差包含系统误差 和偶然和偶然误差误差 ，即，即考虑平差是线性模型，可设考虑平差是线性模型，可设 ，于是有，于是有（8-3-2） 及及将（将（8-3-2）式代入（）式代入（8-3-1）式，即得附加系统参）式，即得附加系统参数的平差函数模型为：数的平差函数模型为：（8-3-3） 由（由（8-3-3）式得误差方程为）式得误差方程为（8-3-4） 其法方程为其法方程为（8-3-5） 令令 上式可简写为上式可简写为 （8-3-6） 由分块矩阵求逆公式得由分块矩阵求逆公式得（8-3-7） 式中式中（8-3-8） 如果平差模型中不含有系统误差，即如果平差模型中不含有系统误差，即 ，则有则有考虑到此关系式，则（考虑到此关系式，则（8-3-7）式可写成）式可写成（8-3-9） 和和（8-3-10） 由（由（8-3-7）式知，）式知， 和和 的协因数阵为的协因数阵为（8-3-11） （8-3-12） 单位权中误差为单位权中误差为（8-3-13） 8-4 方差分量估计方差分量估计 我们知道，平差前观测值向量的方差阵一我们知道，平差前观测值向量的方差阵一般是未知的，因此平差时随机模型都是使用般是未知的，因此平差时随机模型都是使用观测值向量的权阵。而权的确定往往都是采观测值向量的权阵。而权的确定往往都是采用经验定权，也称为随机模型的验前估计，用经验定权，也称为随机模型的验前估计，对于同类观测值可按第一章介绍的常用定权对于同类观测值可按第一章介绍的常用定权方法定权；对于不同类的观测值，就很难合方法定权；对于不同类的观测值，就很难合理地确定各类观测值的权。理地确定各类观测值的权。 为了合理地确定不同类观测值的权，可以根为了合理地确定不同类观测值的权，可以根据验前估计权进行预平差，用平差后得到的观测据验前估计权进行预平差，用平差后得到的观测值改正数来估计观测值的方差，根据方差的估计值改正数来估计观测值的方差，根据方差的估计值重新进行定权，以改善第一次平差时权的初始值重新进行定权，以改善第一次平差时权的初始值，再依据重新确定的观测值的权再次进行平差，值，再依据重新确定的观测值的权再次进行平差，如此重复，直到不同类观测值的权趋于合理，这如此重复，直到不同类观测值的权趋于合理，这种平差方法称为验后方差分量估计。此概念最早种平差方法称为验后方差分量估计。此概念最早由赫尔默特（）在由赫尔默特（）在1924年提出，所以又称为赫年提出，所以又称为赫尔默特方差分量估计。尔默特方差分量估计。一、赫尔默特方差分量估计公式一、赫尔默特方差分量估计公式 为推导公式简便起见，设观测值由两类不同的为推导公式简便起见，设观测值由两类不同的观测量组成，不同类观测值之间认为互不相关，按观测量组成，不同类观测值之间认为互不相关，按间接平差时的数学模型为间接平差时的数学模型为（函数模型函数模型） （随机模型随机模型） （8-4-1） （8-4-2） 其误差方程为其误差方程为权阵权阵P1 （8-4-3） 权阵权阵P2 （8-4-4） 作整体平差时，法方程为作整体平差时，法方程为（8-4-5） 式中式中 一般情况下，由于第一次给定的权一般情况下，由于第一次给定的权P1、 P2是是不恰当的，或者说它们对应的单位权方差是不相不恰当的，或者说它们对应的单位权方差是不相等的，设为等的，设为 和和 ，则有，则有（8-4-6） 但只有但只有 才认为定权合理。方差分量估计才认为定权合理。方差分量估计的目的就是根据事先初定的权的目的就是根据事先初定的权P1、P2进行预平差，进行预平差，然后利用平差后两类观测值的然后利用平差后两类观测值的 、 来求估来求估计量计量 ，再根据（，再根据（8-4-6）式求出）式求出 ，由这个方差估值再重新定权，再平差，直到由这个方差估值再重新定权，再平差，直到 为止。为此需要建立为止。为此需要建立 、 与估计量与估计量 之之间的关系式。间的关系式。由数理统计知识可知，若有服从任一分布的由数理统计知识可知，若有服从任一分布的q维随维随机变量机变量 ,已知其数学期望为已知其数学期望为 ,方差阵为方差阵为 ，则则 向量的任一二次型的数学期望可以表达为：向量的任一二次型的数学期望可以表达为：（8-4-7） 式中式中B为任意为任意q阶的对称可逆阵。阶的对称可逆阵。现用现用V向量代替上式中的向量代替上式中的Y向量，则其中向量，则其中 的应换的应换为为 ， 应换为应换为 ，B阵可以换成权阵阵可以换成权阵P，于，于是有是有（8-4-8） 前面已经证明前面已经证明 ，于是有：，于是有： （8-4-9） 而而 对上式应用协因数传播律得对上式应用协因数传播律得 将将 代入上式，整理后代入上式，整理后得得将上式代入（将上式代入（8-4-9）式，得）式，得顾及矩阵迹的性质，上式可写为顾及矩阵迹的性质，上式可写为同理可得同理可得也改用估值符号也改用估值符号 表示，整理顺序表示，整理顺序去掉上面两式的期望符号，相应的单位权方差去掉上面两式的期望符号，相应的单位权方差后得后得（8-4-10） （8-4-11） 其矩阵形式可写为其矩阵形式可写为（8-4-13） （8-4-12） 式中式中 （8-4-12）、（）、（8-4-13）两式即为赫尔默特方差分）两式即为赫尔默特方差分量估计的严密公式。由此式可以求得两类观测值的量估计的严密公式。由此式可以求得两类观测值的单位权方差估值，从而可以根据（单位权方差估值，从而可以根据（8-4-6）式求得观）式求得观测值方差的估值，以此方差估值再次定权，再次平测值方差的估值，以此方差估值再次定权，再次平差，直至满足要求为止。差，直至满足要求为止。 现将以上推导扩展至现将以上推导扩展至m组观测值。误差方程为组观测值。误差方程为令令则得参数的估值为则得参数的估值为按照上述类似的推导，则有按照上述类似的推导，则有去掉期望符号，相应的单位权方差也去掉期望符号，相应的单位权方差也 改为用估改为用估值符号值符号 ，则有，则有（8-4-14） 式中式中 二、计算步骤二、计算步骤1.将观测值分类，并进行验前权估计，即确定各将观测值分类，并进行验前权估计，即确定各类观测值的权的初值类观测值的权的初值 ；2.进行第一次平差，求得进行第一次平差，求得 ；3.按（按（8-4-14）式求各类观测值单位权方差估值）式求各类观测值单位权方差估值 ；4.按（按（8-4-6）式计算各类观测值方差的估值；）式计算各类观测值方差的估值；5.依据定权公式再次定权，再次平差，如此反复，依据定权公式再次定权，再次平差，如此反复，直到各类单位权方差的估值相等或接近相等为止直到各类单位权方差的估值相等或接近相等为止 8-5 习习 题题 8.1 设有两组误差方程：设有两组误差方程： （mm） （mm） 其中，其中，L1与与L2的权为的权为 ，未知数的近似值，未知数的近似值为为 (m)，试按序贯平差求，试按序贯平差求 及及 。 8.2 在图在图8.1的水准网中，已知的水准网中，已知A，B，C点的高点的高程为程为 m， m， m，P为为待定点，各路线观测高差为：待定点，各路线观测高差为： 设设h1，h2为第一次观测值，为第一次观测值，h3为第二次观测值，为第二次观测值，P点高程为未知参数，试按序贯平差求点高程为未知参数，试按序贯平差求P点高程点高程平差值及其权导数（设平差值及其权导数（设 m ）。）。 取其近似值为取其近似值为 ，已知单位权中误差为已知单位权中误差为 ，权阵，权阵 ，试按序惯平差法：试按序惯平差法： 第一次观测高差为第一次观测高差为 ，第二次，第二次观测高差为观测高差为 ，高差观测值如下：，高差观测值如下：8.3 如图如图8.2水准网，已知水准网，已知A,B点高程为点高程为选待定点选待定点P1,P2的高程平差值为未知参数，即：的高程平差值为未知参数，即：列出两组误差方程；列出两组误差方程；求第一次平差结果求第一次平差结果 ；第二次平差结果；第二次平差结果 ；以及以及 ；求第一次改正数求第一次改正数 ；第二次改正数；第二次改正数 ；以及；以及改正数改正数V与高差平差值；与高差平差值；求平差后求平差后 点高程平差值的协因数阵及其点高程平差值的协因数阵及其中误差。中误差。8.4 设有两组误差方程为：设有两组误差方程为：试按序贯平差法求试按序贯平差法求 。8.5 某水准网如图某水准网如图8.5所示，已知点所示，已知点A，B的高程分的高程分别为别为 m， m，为确定待定点，为确定待定点P点点的高程，测得高差观测值为：的高程，测得高差观测值为： 2.95m， 2.97m， 2.08m ，2.06m 各条路线长度相等。各条路线长度相等。 设设 P点高程平差值为未知参数点高程平差值为未知参数 ：1.试列出两组误差方程；试列出两组误差方程；2.试按序贯平差法求试按序贯平差法求P点高程平差值及其协因数阵。点高程平差值及其协因数阵。 8.6 在如图在如图8.6的水准网中，的水准网中， 为观测值，其协为观测值，其协因数阵因数阵 ，设，设 点高程平差值为未知参数。其点高程平差值为未知参数。其误差方程为：误差方程为：试按附加条件法进行秩亏自由网平差，求法方程试按附加条件法进行秩亏自由网平差，求法方程的解的解 及其协因数阵及其协因数阵 。8.7 有水准网如图有水准网如图8.5，高差观测值为：，高差观测值为：各线路长度均为各线路长度均为 1km，各点的近似高程为：，各点的近似高程为：试按直接解法和附加条件法进行秩亏网平差，试按直接解法和附加条件法进行秩亏网平差，求各点高程平差值及其协因数阵求各点高程平差值及其协因数阵 。8.8 在图在图8.6的水准网中，观测高差为：的水准网中，观测高差为： 设设 ，各点的近似高程为：，各点的近似高程为：试按直接解法和附加条件法进行秩亏网平差，试按直接解法和附加条件法进行秩亏网平差，求各点高程平差值及其协因数阵求各点高程平差值及其协因数阵 。