6.向心力一、向心力一、向心力1.1.定义定义: :做匀速圆周运动的物体产生向心加速度的原做匀速圆周运动的物体产生向心加速度的原因是它受到了指向因是它受到了指向_的合力的合力, ,这个力叫作向心力。这个力叫作向心力。2.2.方向方向: :始终沿着始终沿着_指向指向_。3.3.表达式表达式: :(1)F(1)Fn n=_=_。(2)F(2)Fn n=_=_。圆心圆心半径半径圆心圆心mm2 2r r4.4.效果力效果力: :向心力是根据力的向心力是根据力的_来命名的来命名的, ,凡是凡是产生向心加速度的力产生向心加速度的力, ,不管属于哪种性质不管属于哪种性质, ,都是向心力。都是向心力。作用效果作用效果二、变速圆周运动和一般曲线运动二、变速圆周运动和一般曲线运动1.1.变速圆周运动的合力变速圆周运动的合力: :变速圆周运动的合力产生两个变速圆周运动的合力产生两个方向的效果。方向的效果。(1)(1)跟圆周相切的分力跟圆周相切的分力F Ft t: :产生产生_加速度加速度, ,此加速度此加速度描述线速度描述线速度_变化的快慢。变化的快慢。(2)(2)指向圆心的分力指向圆心的分力F Fn n: :产生产生_加速度加速度, ,此加速度此加速度描述速度描述速度_改变的快慢。改变的快慢。切向切向大小大小向心向心方向方向2.2.一般的曲线运动的处理方法一般的曲线运动的处理方法: :一般的曲线运动中一般的曲线运动中, ,可以把曲线分割成许多很短的小可以把曲线分割成许多很短的小段段, ,每一小段可看作一小段每一小段可看作一小段_,_,研究质点在这一小研究质点在这一小段的运动时段的运动时, ,可以采用圆周运动的处理方法进行处理。可以采用圆周运动的处理方法进行处理。圆弧圆弧【思考辨析】【思考辨析】(1)(1)匀速圆周运动的向心力是恒力。匀速圆周运动的向心力是恒力。( () )(2)(2)匀速圆周运动的合力就是向心力。匀速圆周运动的合力就是向心力。( () )(3)(3)所有圆周运动的合力都等于向心力。所有圆周运动的合力都等于向心力。 ( () )(4)(4)向心力和重力、向心力和重力、 弹力一样弹力一样, ,是性质力。是性质力。( () )(5)(5)向心力的作用是改变物体的速度向心力的作用是改变物体的速度, ,产生向心加产生向心加速度。速度。( () )(6)(6)变速圆周运动的合力同样满足变速圆周运动的合力同样满足F Fn n= = 。 ( () )提示提示: :(1)(1)。做匀速圆周运动的物体的向心力大小不。做匀速圆周运动的物体的向心力大小不变变, ,方向不断变化方向不断变化, ,是变力。是变力。(2)(2)。匀速圆周运动的速度大小不变。匀速圆周运动的速度大小不变, ,表明合力在速表明合力在速度方向上没有分量度方向上没有分量, ,即合力一定沿半径方向即合力一定沿半径方向, ,合力就是合力就是向心力。向心力。(3)(3)。对于匀速圆周运动。对于匀速圆周运动, ,合力一定等于向心力合力一定等于向心力, ,但一但一般的圆周运动的合力不一定等于向心力。般的圆周运动的合力不一定等于向心力。(4)(4)。向心力是根据作用效果命名的力。向心力是根据作用效果命名的力, ,它可以是一它可以是一个力个力, ,也可能是几个力的合力也可能是几个力的合力, ,是效果力。是效果力。(5)(5)。向心力的作用是改变物体的速度方向。向心力的作用是改变物体的速度方向, ,同时产同时产生向心加速度。生向心加速度。(6)(6)。变速圆周运动的合力在沿半径方向的分力。变速圆周运动的合力在沿半径方向的分力F Fn n, ,满足公式满足公式F Fn n= = 。一向心力一向心力考查角度考查角度1 1 向心力的来源向心力的来源【典例【典例1 1】(2018(2018长春高一检测长春高一检测) )下列关于匀速圆周运下列关于匀速圆周运动的物体所受的向心力的说法中动的物体所受的向心力的说法中, ,正确的是正确的是( () )A.A.物体除其他的力外还受到向心力的作用物体除其他的力外还受到向心力的作用B.B.物体所受的合力提供向心力物体所受的合力提供向心力C.C.向心力是一个恒力向心力是一个恒力D.D.向心力的大小一直在变化向心力的大小一直在变化【解析】【解析】选选B B。物体做匀速圆周运动需要一个指向圆心。物体做匀速圆周运动需要一个指向圆心的合外力的合外力, ,并不是还要受到一个向心力作用并不是还要受到一个向心力作用, ,故故A A项错误项错误; ;物体做匀速圆周运动需要向心力物体做匀速圆周运动需要向心力, ,所以物体的合外力所以物体的合外力正好提供向心力正好提供向心力, ,让物体做匀速圆周运动让物体做匀速圆周运动, ,故故B B项正确项正确; ;物体做匀速圆周运动需要向心力物体做匀速圆周运动需要向心力, ,它始终指向圆心它始终指向圆心, ,因此方向不断改变因此方向不断改变, ,向心力不是恒力向心力不是恒力, ,故故C C项错误项错误; ;做匀做匀速圆周运动的物体所需的向心力大小恒定速圆周运动的物体所需的向心力大小恒定, ,方向始终指方向始终指向圆心向圆心, ,故故D D项错误。项错误。【核心归纳】【核心归纳】1.1.匀速圆周运动中向心力的方向匀速圆周运动中向心力的方向: :方向时刻在变化方向时刻在变化, ,始终指向圆心始终指向圆心, ,与线速度的方向垂直。与线速度的方向垂直。2.2.向心力的特点向心力的特点: :由于向心力的方向与物体运动方向始由于向心力的方向与物体运动方向始终垂直终垂直, ,故向心力不改变线速度的大小故向心力不改变线速度的大小, ,只改变线速度只改变线速度的方向。的方向。3.3.向心力的来源向心力的来源: :匀速圆周运动中匀速圆周运动中, ,向心力等于物体的向心力等于物体的合外力合外力, ,常等效为三种情况常等效为三种情况: :合力充当向心力合力充当向心力, ,某一个力某一个力充当向心力充当向心力, ,某个力的分力充当向心力。某个力的分力充当向心力。【易错提醒】【易错提醒】(1)(1)向心力是效果力向心力是效果力, ,是某个力或几个力的等效力是某个力或几个力的等效力, ,受力受力分析时不分析向心力。分析时不分析向心力。(2)(2)匀速圆周运动中匀速圆周运动中, ,物体所受的合力就是向心力物体所受的合力就是向心力, ,所以所以合力一定指向圆心。合力一定指向圆心。考查角度考查角度2 2 向心力的动力学分析向心力的动力学分析【典例【典例2 2】(2018(2018六安高一检测六安高一检测) )如图所示如图所示, ,装置装置BOOBOO可绕竖直轴可绕竖直轴OOOO转动转动, ,可视为质点的小球可视为质点的小球A A与两轻细线与两轻细线连接后分别系于连接后分别系于B B、C C两点两点, ,装置静止时细线装置静止时细线ABAB水平水平, ,细细线线ACAC与竖直方向的夹角与竖直方向的夹角=37=37。已知小球的质量。已知小球的质量m=m=1 kg,1 kg,细线细线ACAC长长L=1 m,BL=1 m,B点距点距C C点的水平和竖直距离点的水平和竖直距离相等。相等。( (重力加速度重力加速度g g取取10 m/s10 m/s2 2,sin 37= ,sin 37= ,cos 37= )cos 37= )(1)(1)若装置以一定的角速度匀速转动时若装置以一定的角速度匀速转动时, ,线线ABAB水平且张水平且张力恰为力恰为0,0,求线求线ACAC的拉力大小的拉力大小? ?(2)(2)若装置匀速转动的角速度若装置匀速转动的角速度1 1= rad/s,= rad/s,求细线求细线ACAC与与ABAB的拉力分别多大的拉力分别多大? ?(3)(3)若装置匀速转动的角速度若装置匀速转动的角速度2 2= rad/s,= rad/s,求细线求细线ACAC与与ABAB的拉力分别多大的拉力分别多大? ?【解题探究】【解题探究】(1)(1)线线ABAB水平且张力恰为水平且张力恰为0 0时时, ,小球受几个力作用小球受几个力作用? ?什么什么力提供向心力力提供向心力? ?提示提示: :小球受重力和细线小球受重力和细线ACAC的拉力的拉力, ,二者的合力二者的合力( (细线细线ACAC的拉力的水平分力的拉力的水平分力) )给小球提供向心力。给小球提供向心力。(2)(2)当装置匀速转动的角速度为当装置匀速转动的角速度为1 1= rad/s= rad/s和和2 2= rad/s= rad/s时时, ,如何判断细线如何判断细线ABAB和和ACAC中是否有拉力中是否有拉力? ?提示提示: :细线细线ACAC的拉力的竖直分力和重力平衡的拉力的竖直分力和重力平衡, ,故细线故细线ACAC中肯定有拉力中肯定有拉力; ;细线细线ABAB中是否有拉力要求出当细线中是否有拉力要求出当细线ABAB水水平且恰好没有拉力时装置的角速度平且恰好没有拉力时装置的角速度和细线和细线ABAB恰好竖恰好竖直时的角速度直时的角速度,比较比较1 1= rad/s= rad/s、2 2= rad/s= rad/s和和、的大小的大小, ,若比若比小小, ,则细线则细线ABAB中有拉力中有拉力; ;若比若比大且比大且比小小, ,则细线则细线ABAB中无拉力中无拉力; ;若比若比大大, ,则细则细线线ABAB中有拉力。中有拉力。【正确解答】【正确解答】(1)(1)线线ABAB水平且张力恰为水平且张力恰为0,0,对小球受力对小球受力分析分析, ,在竖直方向在竖直方向T TAC1AC1= =12.5 N= =12.5 N(2)(2)当细线当细线ABAB上的张力为上的张力为0 0时时, ,小球的重力和细线小球的重力和细线ACAC张力的合力提供小球圆周运动的向心力张力的合力提供小球圆周运动的向心力, ,有有: :mgtan 37mgtan 37=m=m2 2Lsin 37Lsin 37解得解得: : 由于由于1 1, rad/s,= rad/s rad/s,当当2 2= rad/s= rad/s时时, ,细线细线ABAB在竖直方向绷直在竖直方向绷直, ,拉力为拉力为T TAB2AB2, ,仍然由细线仍然由细线ACAC上张上张力力T TAC3AC3的水平分量提供小球做圆周运动需要的向心力。的水平分量提供小球做圆周运动需要的向心力。T TAC3AC3sin 53sin 53=m Lsin 53=m Lsin 53T TAC3AC3cos 53cos 53-mg-T-mg-TAB2AB2=0=0解得解得:T:TAC3AC3=20 N,T=20 N,TAB2AB2=2 N=2 N答案答案: :(1)12.5 N(1)12.5 N(2)12.5 N(2)12.5 N1.5 N1.5 N(3)20 N(3)20 N2 N2 N【核心归纳】【核心归纳】解决圆周运动问题的一般步骤解决圆周运动问题的一般步骤(1)(1)明确研究对象明确研究对象: :如果涉及两个或两个以上的物体时如果涉及两个或两个以上的物体时, ,首先得明确研究对象首先得明确研究对象, ,这是研究问题的关键。这是研究问题的关键。(2)(2)运动情况分析运动情况分析: :确定圆周运动的轨道平面和圆心位确定圆周运动的轨道平面和圆心位置置, ,分析物体做圆周运动的半径分析物体做圆周运动的半径r r和涉及的物理量和涉及的物理量v v、或或T T。(3)(3)受力分析受力分析: :对物体进行受力分析对物体进行受力分析, ,找出沿着轨道半找出沿着轨道半径方向的力径方向的力( (包括某些力在该方向上的分力包括某些力在该方向上的分力),),它或它它或它们的合力充当向心力。们的合力充当向心力。(4)(4)列方程求解列方程求解: :根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律, ,即即F Fn n=ma=man n= = =mr =mr2 2=mv=m r,=mv=m r,列方程并求解。列方程并求解。【易错提醒】【易错提醒】分析匀速圆周运动中向心力的三点注意分析匀速圆周运动中向心力的三点注意(1)(1)确定物体在哪个平面内做圆周运动确定物体在哪个平面内做圆周运动, ,确定运动轨迹确定运动轨迹的圆心的圆心, ,以便确定向心力的方向。以便确定向心力的方向。(2)(2)对物体进行受力分析对物体进行受力分析, ,注意只分析性质力不分析效注意只分析性质力不分析效果力。果力。(3)(3)确定物体的合力确定物体的合力, ,匀速圆周运动中合力就是向心力。匀速圆周运动中合力就是向心力。或者确定物体的合力等效于哪一力或哪一力的分力或者确定物体的合力等效于哪一力或哪一力的分力, ,该该力或该分力就是向心力。力或该分力就是向心力。【过关训练】【过关训练】1.1.如图所示如图所示,A,A、B B两物块置于绕竖直轴匀速转动的水平两物块置于绕竖直轴匀速转动的水平圆盘上圆盘上, ,两物块始终相对圆盘静止两物块始终相对圆盘静止, ,已知两物块的质量已知两物块的质量m mA AmrrB B, ,则下列关系一定正确的是则下列关系一定正确的是 ( () )A.A.角速度角速度A AB BB.B.线速度线速度v vA AvaaB BD.D.向心力向心力F FA AFFB B【解析】【解析】选选C C。两物块相对于圆盘静止。两物块相对于圆盘静止, ,它们做圆周运它们做圆周运动的角速度动的角速度相等相等, ,则则A A=B B, ,故故A A项错误项错误; ;物块的线速物块的线速度度v=r,v=r,由于由于相等相等,r,rA ArrB B, ,则则v vA AvvB B, ,故故B B项错误项错误; ;向心向心加速度加速度a=a=2 2r,r,相同相同,r,rA ArrB B, ,则则a aA AaaB B, ,故故C C项正确项正确; ;向心向心力力F=mF=m2 2r,r,相等相等,r,rA ArrB B,m,mA AmGA.NGB.NGB.NG,NG,故故A A项项正确正确,B,B、C C、D D项错误。项错误。【核心归纳】【核心归纳】用圆周运动规律处理一般曲线运动的思路用圆周运动规律处理一般曲线运动的思路(1)(1)化整为零化整为零: :根据微分思想根据微分思想, ,将曲线运动划分为很多很将曲线运动划分为很多很短的小段。短的小段。(2)(2)建理想模型建理想模型: :将曲线运动的某小段视为圆周运动将曲线运动的某小段视为圆周运动, ,圆圆半径等于该小段曲线的曲率半径。半径等于该小段曲线的曲率半径。(3)(3)问题求解问题求解: :应用圆周运动规律求解一般曲线运动所应用圆周运动规律求解一般曲线运动所给问题给问题, ,此时向心力公式此时向心力公式F Fn n=m =m=m =m2 2r r仍然适用。仍然适用。【过关训练】【过关训练】1.1.如图所示如图所示, ,物块物块P P置于水平转盘上随转盘一起运动置于水平转盘上随转盘一起运动, ,且且与转盘相对静止与转盘相对静止, ,图中图中c c沿半径指向圆心沿半径指向圆心,a,a与与c c垂直垂直, ,下下列说法正确的是列说法正确的是 ( () )A.A.当转盘匀速转动时当转盘匀速转动时,P,P受摩擦力方向为受摩擦力方向为b b方向方向B.B.当转盘加速转动时当转盘加速转动时,P,P受摩擦力方向可能为受摩擦力方向可能为c c方向方向C.C.当转盘加速转动时当转盘加速转动时,P,P受摩擦力方向可能为受摩擦力方向可能为a a方向方向D.D.当转盘减速转动时当转盘减速转动时,P,P受摩擦力方向可能为受摩擦力方向可能为d d方向方向【解析】【解析】选选D D。物块受重力、弹力、摩擦力三个力的作。物块受重力、弹力、摩擦力三个力的作用用, ,合力等于摩擦力。当转盘匀速转动时合力等于摩擦力。当转盘匀速转动时, ,摩擦力沿摩擦力沿c c方方向充当向心力向充当向心力,A,A错误错误; ;当转盘加速转动时当转盘加速转动时, ,摩擦力沿摩擦力沿b b方方向向, ,一个分力为向心力一个分力为向心力, ,另一个分力为切向力使物体速另一个分力为切向力使物体速率增大率增大,B,B、C C错误错误; ;当转盘减速转动时当转盘减速转动时, ,摩擦力沿摩擦力沿d d方向方向, ,一个分力为向心力一个分力为向心力, ,另一个分力为切向力另一个分力为切向力, ,使物体速率使物体速率减小减小,D,D正确。正确。2.(2.(多选多选)(2018)(2018开封高一检测开封高一检测) )如图所示如图所示, ,质量为质量为m m的的小球小球, ,从位于竖直平面内的圆弧形曲面上下滑从位于竖直平面内的圆弧形曲面上下滑, ,由于摩由于摩擦力的作用擦力的作用, ,小球从小球从a a到到b b运动速率增大运动速率增大,b,b到到c c速率恰好速率恰好保持不变保持不变,c,c到到d d速率减小速率减小, ,则则( () )A.A.小球小球abab段和段和cdcd段加速度不为零段加速度不为零, ,但但bcbc段加速度为零段加速度为零B.B.小球在小球在abcdabcd段过程中加速度全部不为零段过程中加速度全部不为零C.C.小球在整个运动过程中所受合外力大小一定小球在整个运动过程中所受合外力大小一定, ,方向始方向始终指向圆心终指向圆心D.D.小球只在小球只在bcbc段所受合外力大小不变段所受合外力大小不变, ,方向指向圆弧圆方向指向圆弧圆心心【解析】【解析】选选B B、D D。小球。小球abab段和段和cdcd段速度大小在变化段速度大小在变化, ,故故存在加速度存在加速度; ;而而bcbc段虽然速度大小不变段虽然速度大小不变, ,但方向时刻在但方向时刻在变化变化, ,因此也存在加速度因此也存在加速度, ,由于做曲线运动由于做曲线运动, ,因此加速度因此加速度一定不为零一定不为零, ,故故A A项错误项错误,B,B项正确项正确; ;只有做匀速圆周运动只有做匀速圆周运动时时, ,所受合外力大小一定所受合外力大小一定, ,方向始终指向圆心方向始终指向圆心, ,而小球而小球abab段和段和cdcd段速度大小在变化段速度大小在变化, ,故故C C项错误项错误,D,D项正确。项正确。【补偿训练】【补偿训练】1.1.如图所示是磁带录音机的磁带盒的示意图如图所示是磁带录音机的磁带盒的示意图,A,A、B B为缠为缠绕磁带的两个轮子绕磁带的两个轮子, ,其半径均为其半径均为r r。在放音结束时。在放音结束时, ,磁带磁带全部绕到了全部绕到了B B轮上轮上, ,磁带的外缘半径为磁带的外缘半径为R,R,且且R=3rR=3r。现在。现在进行倒带进行倒带, ,使磁带绕到使磁带绕到A A轮上。倒带时轮上。倒带时A A轮是主动轮轮是主动轮, ,其其角速度是恒定的角速度是恒定的,B,B轮是从动轮。经测定磁带全部绕到轮是从动轮。经测定磁带全部绕到A A轮上需要的时间为轮上需要的时间为t t。则从开始倒带到。则从开始倒带到A A、B B两轮的角速两轮的角速度相等所需要的时间度相等所需要的时间( () )【解析】【解析】选选B B。在。在A A轮转动的过程中轮转动的过程中, ,半径均匀增大半径均匀增大, ,角角速度恒定速度恒定, ,根据根据v=r,v=r,知线速度均匀增大知线速度均匀增大, ,设从开始倒设从开始倒带到带到A A、B B两轮的角速度相等所需要的时间为两轮的角速度相等所需要的时间为t,t,此时此时磁带边缘上各点的速度大小为磁带边缘上各点的速度大小为v v。将磁带边缘上各点的。将磁带边缘上各点的运动等效看成一种匀加速直线运动运动等效看成一种匀加速直线运动, ,加速度为加速度为a,a,磁带磁带总长为总长为L,L,则有则有:v:v2 2-(r)-(r)2 2=(3r)=(3r)2 2-v-v2 2=2a ,=2a ,得得 v= r,v= r,结合加速度的定义得结合加速度的定义得: : 代入得代入得 解得解得 t= tt= t。故故B B项正确项正确,A,A、C C、D D项错误。项错误。2.2.一般的曲线运动可以分成很多小段一般的曲线运动可以分成很多小段, ,每小段都可以看每小段都可以看成圆周运动的一部分成圆周运动的一部分, ,即把整条曲线用一系列不同半径即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图甲所示的小圆弧来代替。如图甲所示, ,曲线上曲线上A A点的曲率圆定点的曲率圆定义为义为: :通过通过A A点和曲线上紧邻点和曲线上紧邻A A点两侧的两点作一圆点两侧的两点作一圆, ,在在极限情况下极限情况下, ,这个圆就叫作这个圆就叫作A A点的曲率圆点的曲率圆, ,其半径其半径叫作叫作A A点的曲率半径。现将一物体沿与水平面成点的曲率半径。现将一物体沿与水平面成角的方向角的方向以速度以速度v v0 0抛出抛出, ,如图乙所示。则在其轨迹最高点如图乙所示。则在其轨迹最高点P P处的处的曲率半径是曲率半径是( () )【解析】【解析】选选C C。物体做斜上抛运动。物体做斜上抛运动, ,最高点速度即为斜最高点速度即为斜上抛的水平速度上抛的水平速度v vP P=v=v0 0cos,cos,最高点重力提供向心力最高点重力提供向心力mg=m ,mg=m ,由两式得由两式得= = 【拓展例题】【拓展例题】考查内容考查内容: :体育竞技中的圆周运动体育竞技中的圆周运动【典例】【典例】(2018(2018武威高一检测武威高一检测) )如图所示如图所示, ,在双人花样在双人花样滑冰运动中滑冰运动中, ,有时会看到被男运动员拉着的女运动员离有时会看到被男运动员拉着的女运动员离开地面在空中做圆锥摆运动的精彩场面开地面在空中做圆锥摆运动的精彩场面, ,目测体重为目测体重为G G的女运动员做圆锥摆运动时和水平冰面的夹角约为的女运动员做圆锥摆运动时和水平冰面的夹角约为30,30,重力加速度为重力加速度为g,g,估算该女运动员估算该女运动员( () )A.A.受到的拉力为受到的拉力为2G2GB.B.受到的拉力为受到的拉力为 G GC.C.向心加速度为向心加速度为 g gD.D.向心加速度为向心加速度为2g2g【正确解答】【正确解答】选选A A。女运动员做圆锥摆运动。女运动员做圆锥摆运动, ,由对女运由对女运动员受力分析可知动员受力分析可知, ,受到重力、男运动员对女运动员的受到重力、男运动员对女运动员的拉力拉力, ,竖直方向合力为零竖直方向合力为零, ,由由Fsin30Fsin30=G,=G,解得解得:F=2G,:F=2G,F F合合=Fcos 30=Fcos 30= G,= G,故故A A项正确项正确,B,B项错误项错误; ;水平方向的水平方向的合力提供匀速圆周运动的向心力合力提供匀速圆周运动的向心力, ,有有Fcos 30Fcos 30=ma=ma向向, ,即即2mgcos 302mgcos 30=ma=ma向向, ,所以所以a a向向= g,= g,故故C C、D D项错误。项错误。