1/27第三节第三节 一、幂级数及其收敛性一、幂级数及其收敛性 二、幂级数的运算二、幂级数的运算 幂级数 第四章 2/27一、幂级数及其收敛性一、幂级数及其收敛性 形如形如的函数项级数称为的函数项级数称为幂级数幂级数, 其中数列其中数列下面着重讨论下面着重讨论例如例如, 幂级数幂级数为幂级数的为幂级数的系数系数 .即是此种情形即是此种情形. .的情形的情形, 即即称称 3/27收敛收敛 发散发散定理定理3 .1 ( Abel定理定理 ) 若幂级数若幂级数则对满足不等式则对满足不等式的一切的一切 x 幂级数都幂级数都绝对收敛绝对收敛.反之反之, 若当若当的一切的一切 x , 该幂级数也发散该幂级数也发散 . 时该幂级数发散时该幂级数发散 ,则对满足不等式则对满足不等式证证: 设设收敛收敛,则必有则必有于是存在于是存在常数常数 M 0, 使使发发 散散发发 散散收收 敛敛阿贝尔阿贝尔 4/27当当 时时, 收敛收敛,故原幂级数绝对收敛故原幂级数绝对收敛 .也收敛也收敛,反之反之, 若当若当时该幂级数发散时该幂级数发散 ,下面用反证法证之下面用反证法证之.假设有一点假设有一点满足不等式满足不等式所以若当所以若当满足满足且使级数收敛且使级数收敛 ,面的证明可知面的证明可知,级数在点级数在点故假设不真故假设不真. 的的 x , 原幂级数也原幂级数也发散发散 . 时幂级数发散时幂级数发散 ,则对一切则对一切则由前则由前也应收敛也应收敛, 与所设矛盾与所设矛盾,证毕证毕5/27幂级数在幂级数在 (, +) 收敛收敛 ;由由Abel 定理可以看出定理可以看出, 中心的区间中心的区间. 用用R 表示幂级数收敛与发散的分界点表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为的收敛域是以原点为则则R = 0 时时,幂级数仅在幂级数仅在 x = 0 收敛收敛 ;R = + 时时,幂级数在幂级数在 (R , R ) 收敛收敛 ;(R , R ) 加上收敛的端点称为加上收敛的端点称为收敛域收敛域.R 称为称为收敛半径收敛半径 ， 在在R , R 可能收敛也可能发散可能收敛也可能发散 .外发散外发散;在在(R , R ) 称为称为收敛区间收敛区间.发发 散散发发 散散收收 敛敛收敛收敛 发散发散6/27定理定理3.3 若若的系数满足的系数满足证证:1) 若若 0,则根据比值审敛法可知则根据比值审敛法可知:当当原级数收敛原级数收敛;当当原级数发散原级数发散.即即时时,1) 当当 0 时时,2) 当当 0 时时,3) 当当 +时时,即即时时,则则 7/272) 若若则根据比值审敛法可知则根据比值审敛法可知,绝对收敛绝对收敛 ,3) 若若则对除则对除 x = 0 以外的一切以外的一切 x 原级发散原级发散 ,对任意对任意 x 原级数原级数因此因此因此因此 的收敛半径为的收敛半径为说明说明: :据此定理据此定理因此级数的收敛半径因此级数的收敛半径8/27对端点对端点 x =1, 的收敛半径及收敛域的收敛半径及收敛域.解解:对端点对端点 x = 1, 收敛收敛; 级数为级数为发散发散 . 故收敛域为故收敛域为例例1.1.求幂级数求幂级数 级数为交错级数级数为交错级数9/27例例2. 求下列幂级数的收敛域求下列幂级数的收敛域 :解解: (1)所以收敛域为所以收敛域为(2)所以级数仅在所以级数仅在 x = 0 处收敛处收敛 .规定规定: 0 ! = 110/27例例3.的收敛半径的收敛半径 .解解: 级数级数缺少奇次幂项缺少奇次幂项,不能直接应用定理不能直接应用定理2,比值审敛法比值审敛法求收敛半径求收敛半径.时级数收敛时级数收敛时级数发散时级数发散 故收敛半径为故收敛半径为 故故直接用直接用11/27例例4.的收敛域的收敛域.解解: 令令 级数变为级数变为当当 t = 2 时时, 级数为级数为此级数发散此级数发散;当当 t = 2 时时, 级数为级数为此级数条件收敛此级数条件收敛;因此级数的收敛域为因此级数的收敛域为故原级数的收敛域为故原级数的收敛域为即即12/27二、幂级数的运算二、幂级数的运算定理定理3.4 设幂级数设幂级数及及的收敛半径分别为的收敛半径分别为令令则有则有 :其中其中以上结论可用部分和以上结论可用部分和的极限证明的极限证明 .13/27说明说明:两个幂级数两个幂级数相除相除所得幂级数的收敛半径可能比所得幂级数的收敛半径可能比原来两个幂级数的收敛半径小得多原来两个幂级数的收敛半径小得多.例如例如, 设设 它们的收敛半径均为它们的收敛半径均为但是但是其收敛半径只是其收敛半径只是 14/27定理定理3.5 （内闭一致收敛性）（内闭一致收敛性） 设幂级数设幂级数的收敛半径为的收敛半径为R, ,则它在收敛区间则它在收敛区间（-R, R)内的任何内闭子区间内的任何内闭子区间 a, b 上都是上都是一致收敛一致收敛的的15/27定理定理3.6 若幂级数若幂级数的收敛半径的收敛半径则其和函则其和函在收敛域上在收敛域上连续连续,且在收敛区间内可且在收敛区间内可逐项求导逐项求导与与逐项求积分逐项求积分,运算前后运算前后收敛半径相同收敛半径相同: 16/27解解: 由例由例2可知级数的收敛半径可知级数的收敛半径 R+.例例5.则则故有故有故得故得的和函数的和函数 .因此得因此得设设17/27例例6. 的和函数的和函数解解: 易求出幂级数的收敛半径为易求出幂级数的收敛半径为 1 ,x1 时级数发时级数发散散,18/27例例7. 求级数求级数的和函数的和函数解解: 易求出幂级数的收敛半径为易求出幂级数的收敛半径为 1 , 及及收敛收敛 , x = 1 时级数发散时级数发散, 19/27因此由和函数的连续性得因此由和函数的连续性得:而而 x = 0 时级数收敛于时级数收敛于1, 及及20/27例例8.解解: 设设则则21/27而而故故22/27内容小结内容小结1. 求幂级数收敛域的方法求幂级数收敛域的方法1) 对对标准型幂级数标准型幂级数先求收敛半径先求收敛半径 , 再讨论端点的收敛性再讨论端点的收敛性 .2) 对对非标准型非标准型幂级数幂级数(缺项或通项为复合式缺项或通项为复合式)求收敛半径时直接用求收敛半径时直接用比值法比值法或或根值法根值法,2. 幂级数的性质幂级数的性质1)两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与也可通过也可通过换元换元化为标准型再求化为标准型再求 .乘法运算乘法运算. 例例3例例423/272) 在收敛区间内幂级数的和函数连续在收敛区间内幂级数的和函数连续;3) 幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.思考与练习思考与练习 1. 已知已知处处条件收敛条件收敛 , 问该级数收敛问该级数收敛半径是多少半径是多少 ?答答:根据根据Abel 定理定理可知可知, 级数在级数在收敛收敛 ,时发散时发散 .故收敛半径为故收敛半径为例例63. 求和函数的常用方法求和函数的常用方法 利用幂级数的性质利用幂级数的性质 例例724/272. 在幂级数在幂级数中中,n 为奇数为奇数n 为偶数为偶数能否确定它的收敛半径不存在能否确定它的收敛半径不存在 ?答答: 不能不能. 因为因为当当时级数收敛时级数收敛 ,时级数发散时级数发散 ,说明说明: 可以证明可以证明比值判别法成立比值判别法成立根值判别法成立根值判别法成立25/27P275 1 (1), (3), (5), (7), (8) 2 (1), (3)P320 7 (1), (4) 8 (1), (3) 作业作业第四节第四节 27/27备用题备用题 求极求极限限其中其中解解: 令令作幂级数作幂级数设其和为设其和为易知其收敛半径为易知其收敛半径为 1,则则