第六章万有引力与航天1.行星的运动 一、两种对立的学说一、两种对立的学说1.1.地心说地心说: :(1)(1)内容内容:_:_是宇宙的中心是宇宙的中心, ,是静止不动的是静止不动的, ,太阳、月太阳、月亮以及其他行星都绕地球运动。亮以及其他行星都绕地球运动。(2)(2)代表人物代表人物:_:_。地球地球托勒密托勒密2.2.日心说日心说: :(1)(1)内容内容:_:_是静止不动的是静止不动的, ,地球和其他行星都绕地球和其他行星都绕_运动。运动。(2)(2)代表人物代表人物:_:_。太阳太阳太阳太阳哥白尼哥白尼二、开普勒行星运动定律二、开普勒行星运动定律1.1.开普勒行星运动定律开普勒行星运动定律: :定律定律内容内容公式或图示公式或图示开普勒开普勒第一定律第一定律所有行星绕太阳运动所有行星绕太阳运动的轨道都是的轨道都是_,_,太太阳处在阳处在_的一个的一个_上上 开普勒开普勒第二定律第二定律对任意一个行星来说对任意一个行星来说, ,它与太阳的连线在它与太阳的连线在_内扫过内扫过_ 椭圆椭圆椭圆椭圆焦点焦点相等的时间相等的时间相等的面积相等的面积定律定律内容内容公式或图示公式或图示开普勒开普勒第三定律第三定律所有行星的轨道的所有行星的轨道的_的三次方跟的三次方跟它的它的_的二的二次方的比值都相等次方的比值都相等 =k,k=k,k是一个与行星是一个与行星_的常量的常量公式公式: :半长轴半长轴公转周期公转周期无关无关2.2.行星运动的近似处理行星运动的近似处理: :(1)(1)行星绕太阳运动的轨道行星绕太阳运动的轨道_圆圆, ,太阳处在太阳处在_。(2)(2)对某一行星来说对某一行星来说, ,它绕太阳做圆周运动的它绕太阳做圆周运动的_(_(或或_)_)不变不变, ,即行星做即行星做_运动。运动。(3)(3)所有行星所有行星_跟它的跟它的_的比值都相等。的比值都相等。 十分接近十分接近圆心圆心角速度角速度线速度大小线速度大小轨道半径的三次方轨道半径的三次方公转周期的二次方公转周期的二次方匀速圆周匀速圆周【思考辨析】【思考辨析】(1)(1)太阳是整个宇宙的中心太阳是整个宇宙的中心, ,其他天体都绕太阳运动。其他天体都绕太阳运动。( () )(2)(2)太阳系中所有行星都绕太阳做椭圆运动太阳系中所有行星都绕太阳做椭圆运动, ,且它们到且它们到太阳的距离各不相同。太阳的距离各不相同。 ( () )(3)(3)太阳系中所有行星都绕太阳在同一个平面内运动。太阳系中所有行星都绕太阳在同一个平面内运动。( () )提示提示: :(1)(1)。太阳不是宇宙的中心。太阳不是宇宙的中心, ,其他天体也不都绕其他天体也不都绕太阳运动。太阳运动。(2)(2)。由开普勒一、三定律知。由开普勒一、三定律知, ,该说法正确。该说法正确。(3)(3)。太阳系中所有行星绕太阳运动的轨道平面并不。太阳系中所有行星绕太阳运动的轨道平面并不在同一个平面内在同一个平面内, ,它们的运动平面有略微夹角。它们的运动平面有略微夹角。一对开普勒定律的认识一对开普勒定律的认识【典例】【典例】火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行, ,根根据开普勒行星运动定律可知据开普勒行星运动定律可知A.A.太阳位于木星运行轨道的中心太阳位于木星运行轨道的中心B.B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C.C.火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方轴之比的立方D.D.相同时间内相同时间内, ,火星与太阳连线扫过的面积等于木星与火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积太阳连线扫过的面积【解析】【解析】选选C C。太阳位于木星运行轨道的一个焦点上。太阳位于木星运行轨道的一个焦点上,A,A项错误项错误; ;火星与木星轨道不同火星与木星轨道不同, ,在运行时速度不可能始在运行时速度不可能始终相等终相等,B,B项错误项错误; ;“在相等的时间内在相等的时间内, ,行星与太阳连线行星与太阳连线扫过的面积相等扫过的面积相等”是对于同一颗行星而言的是对于同一颗行星而言的, ,不同的行不同的行星星, ,则不具有可比性则不具有可比性,D,D项错误项错误; ;根据开普勒第三定律根据开普勒第三定律, ,对对同一中心天体来说同一中心天体来说, ,行星公转半长轴的三次方与其周期行星公转半长轴的三次方与其周期的平方的比值为一定值的平方的比值为一定值,C,C项正确。项正确。【核心归纳】【核心归纳】1.1.开普勒第一定律开普勒第一定律: :(1)(1)认识认识: :第一定律告诉我们第一定律告诉我们, ,尽管各行星的轨道大小不尽管各行星的轨道大小不同同, ,但它们的共同规律是所有行星都沿椭圆轨道绕太阳但它们的共同规律是所有行星都沿椭圆轨道绕太阳运动运动, ,太阳则位于所有椭圆的一个公共焦点上太阳则位于所有椭圆的一个公共焦点上, ,开普勒开普勒第一定律又叫椭圆轨道定律第一定律又叫椭圆轨道定律, ,如图如图1 1所示。所示。(2)(2)意义意义: :否定了行星圆形轨道的说法否定了行星圆形轨道的说法, ,建立了正确的轨建立了正确的轨道理论道理论, ,给出了太阳准确的位置。给出了太阳准确的位置。2.2.开普勒第二定律开普勒第二定律: :(1)(1)认识认识: :行星靠近太阳时速度增大行星靠近太阳时速度增大, ,远离太阳时速度远离太阳时速度减小。近日点速度最大减小。近日点速度最大, ,远日点速度最小远日点速度最小, ,又叫面积又叫面积定律定律, ,如图如图2 2所示。所示。(2)(2)意义意义: :描述了行星在其轨道上运行时描述了行星在其轨道上运行时, ,线速度的大小线速度的大小不断变化不断变化, ,并阐明了速度大小变化的数量关系。并阐明了速度大小变化的数量关系。3.3.开普勒第三定律开普勒第三定律: :(1)(1)认识认识: :它揭示了周期与轨道半长轴之间的关系它揭示了周期与轨道半长轴之间的关系, ,椭椭圆轨道半长轴越长的行星圆轨道半长轴越长的行星, ,其公转周期越大其公转周期越大; ;反之反之, ,其其公转周期越小。因此又叫周期定律公转周期越小。因此又叫周期定律, ,如图如图3 3所示。所示。(2)(2)意义意义: :比例常数比例常数k k与行星无关与行星无关, ,只与太阳有关只与太阳有关, ,因此定因此定律具有普遍性律具有普遍性, ,即不同星系具有不同的常数即不同星系具有不同的常数, ,且常数是且常数是由中心天体决定的。由中心天体决定的。【易错提醒】【易错提醒】开普勒定律的三点注意开普勒定律的三点注意(1)(1)开普勒三定律是通过对行星运动的观察结果总结而开普勒三定律是通过对行星运动的观察结果总结而得出的规律得出的规律, ,它们都是经验定律。它们都是经验定律。(2)(2)开普勒第二定律与第三定律的区别开普勒第二定律与第三定律的区别: :前者揭示的是前者揭示的是同一行星在距太阳不同距离时的运动快慢的规律同一行星在距太阳不同距离时的运动快慢的规律, ,后者后者揭示的是不同行星运动快慢的规律。揭示的是不同行星运动快慢的规律。(3)(3)绕同一中心天体运动的轨道分别为椭圆、圆的天绕同一中心天体运动的轨道分别为椭圆、圆的天体体,k,k值相等值相等, ,即即 。【过关训练】【过关训练】1.(20161.(2016全国卷全国卷)关于行星运动的规律关于行星运动的规律, ,下列说法符下列说法符合史实的是合史实的是( () )A.A.开普勒在牛顿定律的基础上开普勒在牛顿定律的基础上, ,导出了行星运动的规律导出了行星运动的规律B.B.开普勒在天文观测数据的基础上开普勒在天文观测数据的基础上, ,总结出了行星运动总结出了行星运动的规律的规律C.C.开普勒总结出了行星运动的规律开普勒总结出了行星运动的规律, ,找出了行星按照这找出了行星按照这些规律运动的原因些规律运动的原因D.D.开普勒总结出了行星运动的规律开普勒总结出了行星运动的规律, ,发现了万有引力定发现了万有引力定律律【解析】【解析】选选B B。开普勒在天文观测数据的基础上。开普勒在天文观测数据的基础上, ,总结总结出了行星运动的规律出了行星运动的规律, ,故故A A错误错误,B,B正确正确; ;开普勒只是总结开普勒只是总结出了行星运动的规律出了行星运动的规律, ,并没有找出行星按照这些规律运并没有找出行星按照这些规律运动的原因动的原因,C,C错误错误; ;牛顿在开普勒的行星运动规律的基础牛顿在开普勒的行星运动规律的基础上上, ,发现了万有引力定律发现了万有引力定律,D,D错误。错误。2.(2.(多选多选) )在天文学上在天文学上, ,春分、夏至、秋分、春分、夏至、秋分、冬至将一年分为春、夏、秋、冬四季。冬至将一年分为春、夏、秋、冬四季。如图所示如图所示, ,从地球绕太阳的运动规律入手从地球绕太阳的运动规律入手, ,下列判断正确的是下列判断正确的是( () )A.A.在冬至日前后在冬至日前后, ,地球绕太阳的运行速率较大地球绕太阳的运行速率较大B.B.在夏至日前后在夏至日前后, ,地球绕太阳的运行速率较大地球绕太阳的运行速率较大C.C.春夏两季与秋冬两季时间相等春夏两季与秋冬两季时间相等D.D.春夏两季比秋冬两季时间长春夏两季比秋冬两季时间长【解析】【解析】选选A A、D D。冬至日前后。冬至日前后, ,地球位于近日点附近地球位于近日点附近, ,夏至日前后地球位于远日点附近夏至日前后地球位于远日点附近, ,由开普勒第二定律可由开普勒第二定律可知近日点速率最大知近日点速率最大, ,选项选项A A正确正确,B,B错误。春夏两季平均错误。春夏两季平均速率比秋冬两季平均速率小速率比秋冬两季平均速率小, ,又因所走路程基本相等又因所走路程基本相等, ,故春夏两季时间长。春夏两季一般在故春夏两季时间长。春夏两季一般在186186天左右天左右, ,而秋而秋冬两季只有冬两季只有179179天左右天左右, ,选项选项C C错误错误,D,D正确。正确。【补偿训练】【补偿训练】某行星围绕太阳做椭圆运动某行星围绕太阳做椭圆运动, ,如果不知太阳的位置如果不知太阳的位置, ,但但经观测行星在由经观测行星在由A A到到B B的过程中的过程中, ,运行速度在变小运行速度在变小, ,图中图中F F1 1、F F2 2是椭圆的两个焦点是椭圆的两个焦点, ,则太阳位于则太阳位于( () )A.FA.F2 2B.AB.AC.FC.F1 1D.BD.B【解析】【解析】选选A A。由于。由于v vA AvvB B, ,经一段足够短的时间经一段足够短的时间, ,行星与行星与太阳的连线扫过的面积在太阳的连线扫过的面积在A A点和点和B B点相等点相等, ,故故r rA ArrB B, ,显然显然A A点为近日点点为近日点, ,由此可知太阳位于由此可知太阳位于F F2 2。二开普勒第三定律的应用二开普勒第三定律的应用考查角度考查角度1 1 对开普勒第三定律的理解对开普勒第三定律的理解【典例【典例1 1】关于开普勒第三定律关于开普勒第三定律 的理解的理解, ,以下说以下说法中正确的是法中正确的是A.A.该定律只适用于卫星绕行星的运动该定律只适用于卫星绕行星的运动B.B.若地球绕太阳运转的轨道的半长轴为若地球绕太阳运转的轨道的半长轴为R R1 1, ,周期为周期为T T1 1, ,月月球绕地球运转的轨道的半长轴为球绕地球运转的轨道的半长轴为R R2 2, ,周期为周期为T T2 2, ,则则 C.kC.k是一个与环绕天体无关的常量是一个与环绕天体无关的常量D.TD.T表示行星运动的自转周期表示行星运动的自转周期【正确解答】【正确解答】选选C C。该定律除适用于卫星绕行星的运动。该定律除适用于卫星绕行星的运动, ,也适用于行星绕恒星的运动也适用于行星绕恒星的运动, ,故故A A错误错误; ;公式公式 中的中的k k与中心天体质量有关与中心天体质量有关, ,中心天体不同中心天体不同,k,k值不同值不同, ,地球公转地球公转的中心天体是太阳的中心天体是太阳, ,月球公转的中心天体是地球月球公转的中心天体是地球,k,k值是值是不一样的不一样的, ,故故B B错误错误;k;k是一个与环绕天体无关的常量是一个与环绕天体无关的常量, ,它它与中心天体的质量有关与中心天体的质量有关, ,故故C C正确正确;T;T代表行星运动的公转代表行星运动的公转周期周期, ,故故D D错误。错误。【核心归纳】【核心归纳】1.1.适用范围适用范围: :既适用于做椭圆运动的天体既适用于做椭圆运动的天体, ,也适用于做也适用于做圆周运动的天体圆周运动的天体; ;既适用于绕太阳运动的天体既适用于绕太阳运动的天体, ,也适用也适用于绕其他中心天体运动的天体。于绕其他中心天体运动的天体。2.2.用途用途: :(1)(1)求周期求周期: :两颗绕同一中心天体运动的行星或卫星两颗绕同一中心天体运动的行星或卫星, ,知知道其中一颗的周期及它们的半长轴道其中一颗的周期及它们的半长轴( (或半径或半径),),可求出另可求出另一颗的周期。一颗的周期。(2)(2)求半长轴求半长轴: :两颗绕同一中心天体运动的行星或卫星两颗绕同一中心天体运动的行星或卫星, ,知道其中一颗的半长轴知道其中一颗的半长轴( (或半径或半径) )及它们的周期及它们的周期, ,可求出可求出另一颗的半长轴另一颗的半长轴( (或半径或半径) )。3.k3.k值值: :表达式表达式 中的常数中的常数k,k,只与中心天体的质量有只与中心天体的质量有关关, ,如研究行星绕太阳运动时如研究行星绕太阳运动时, ,常数常数k k只与太阳的质量有只与太阳的质量有关关, ,研究卫星绕地球运动时研究卫星绕地球运动时, ,常数常数k k只与地球的质量有关。只与地球的质量有关。考查角度考查角度2 2 开普勒第三定律的应用开普勒第三定律的应用【典例【典例2 2】某宇宙飞船进入一个围绕太阳运行的近似圆某宇宙飞船进入一个围绕太阳运行的近似圆形轨道形轨道, ,如果轨道半径是地球轨道半径的如果轨道半径是地球轨道半径的9 9倍倍, ,那么宇宙那么宇宙飞船绕太阳运动的周期是多少年飞船绕太阳运动的周期是多少年? ? 【素养解读】【素养解读】核心素养核心素养素养角度素养角度素养任务素养任务科学探究科学探究证据、证据、解释解释能明确地球的公转周期是能明确地球的公转周期是1 1年年这一隐性条件和宇宙飞船的这一隐性条件和宇宙飞船的轨道半径是地球轨道半径的轨道半径是地球轨道半径的9 9倍这一显性条件倍这一显性条件科学科学思维思维模型建构模型建构能从宇宙飞船和地球均绕太能从宇宙飞船和地球均绕太阳做匀速圆周运动中抽象出阳做匀速圆周运动中抽象出行星运动模型行星运动模型科学推理科学推理能利用开普勒第三定律分析能利用开普勒第三定律分析推导宇宙飞船的周期推导宇宙飞船的周期【正确解答】【正确解答】由开普勒第三定律由开普勒第三定律 得得 , ,所以宇宙飞船绕太阳运动的周期所以宇宙飞船绕太阳运动的周期T T船船= =27= =27年。年。答案答案: :2727年年【核心归纳】【核心归纳】应用开普勒第三定律的解题步骤应用开普勒第三定律的解题步骤(1)(1)判断两个行星的中心天体是否相同判断两个行星的中心天体是否相同, ,只有对同一个只有对同一个中心天体开普勒第三定律才成立。中心天体开普勒第三定律才成立。(2)(2)明确题中给出的周期关系或半径关系。明确题中给出的周期关系或半径关系。(3)(3)根据开普勒第三定律根据开普勒第三定律 列式求解。列式求解。【易错提醒】【易错提醒】(1)(1)行星运行轨道虽是椭圆行星运行轨道虽是椭圆, ,但计算时一般按圆周运处但计算时一般按圆周运处理。理。(2) (2) 中的常数中的常数k k仅由中心天体的质量决定仅由中心天体的质量决定, ,与做与做圆周运动天体的质量、运动快慢等因素无关。圆周运动天体的质量、运动快慢等因素无关。【过关训练】【过关训练】1.(20181.(2018全国卷全国卷)为了探测引力波为了探测引力波,“,“天琴计划天琴计划”预预计发射地球卫星计发射地球卫星P,P,其轨道半径约为地球半径的其轨道半径约为地球半径的1616倍倍, ,另另一地球卫星一地球卫星Q Q的轨道半径约为地球半径的的轨道半径约为地球半径的4 4倍倍,P,P与与Q Q的周的周期之比约为期之比约为( () )A.21A.21B.41B.41C.81C.81D.161D.161【解析】【解析】选选C C。据开普勒第三定律。据开普勒第三定律 , ,故选故选C C。2.2.天文学家观察哈雷彗星的周期为天文学家观察哈雷彗星的周期为7676年年, ,离太阳最近的离太阳最近的距离为距离为8.9108.9101010 m, m,试根据开普勒第三定律计算哈雷彗试根据开普勒第三定律计算哈雷彗星离太阳最远的距离。太阳系的开普勒常量星离太阳最远的距离。太阳系的开普勒常量k k可取可取3.354103.354101818 m m3 3/s/s2 2。【解析】【解析】彗星离太阳的最近距离和最远距离之和等于彗星离太阳的最近距离和最远距离之和等于轨道半长轴的轨道半长轴的2 2倍倍, ,因此因此, ,只要求出轨道半长轴即可。只要求出轨道半长轴即可。由开普勒第三定律知由开普勒第三定律知, ,所以所以2.682.6810101212 m m。彗星离太阳最远的距离为彗星离太阳最远的距离为2a-8.92a-8.910101010 m=(2 m=(22.682.6810101212-8.9-8.910101010) m) m5.275.2710101212 m m。答案答案: :5.275.2710101212 m m【补偿训练】【补偿训练】1.1.如图所示如图所示, ,某人造地球卫星绕地球某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动做匀速圆周运动, ,其轨道半径为月球其轨道半径为月球绕地球运转半径的绕地球运转半径的 , ,设月球绕地设月球绕地球运动的周期为球运动的周期为2727天天, ,则此卫星的运则此卫星的运转周期大约是转周期大约是( () )A. A. 天天B. B. 天天C.1C.1天天D.9D.9天天【解析】【解析】选选C C。由于。由于,T,T月月=27=27天天, ,由开普勒由开普勒第三定律第三定律 , ,可得可得T T卫卫=1=1天天, ,故选项故选项C C正确。正确。2.2.已知两个行星的质量已知两个行星的质量m m1 1=2m=2m2 2, ,公转周期公转周期T T1 1=2T=2T2 2, ,则它们则它们绕太阳运转轨道的半长轴之比绕太阳运转轨道的半长轴之比 为为( () )A. A. B.2B.2C. C. D. D. 【解析】【解析】选选C C。由开普勒第三定律。由开普勒第三定律 知知, ,行星绕行星绕太阳运转的半长轴和行星的质量无关太阳运转的半长轴和行星的质量无关, ,由由 , ,得得 , ,所以选项所以选项C C正确。正确。【拓展例题】【拓展例题】考查内容考查内容: :微分法在开普勒第二定律中的微分法在开普勒第二定律中的应用应用 【典例】【典例】某行星沿椭圆轨道运行某行星沿椭圆轨道运行, ,远日点远日点A A离太阳的距离太阳的距离为离为a,a,近日点近日点B B离太阳的距离为离太阳的距离为b,b,过远日点时行星的速过远日点时行星的速率为率为vA,vA,则过近日点时的速率则过近日点时的速率vBvB为为( () )A. vAA. vAB. vAB. vAC. vAC. vAD. vAD. vA【正确解答】【正确解答】选选C C 如图所示如图所示, ,由由开普勒第二定律知开普勒第二定律知, ,太阳和行星太阳和行星的连线在相等的时间里扫过的的连线在相等的时间里扫过的面积相等面积相等, ,取足够短的时间取足够短的时间t,t,则有则有 v vA Atta=a= v vB Bttb,b,所以所以v vB B= v= vA A。