3.2 复数代数形式的四则复数代数形式的四则运算运算3.2.1 复数代数形式的加减运算复数代数形式的加减运算及其几何意义及其几何意义2021/3/101 我们引入这样一个数我们引入这样一个数i i ，把，把i i 叫做叫做虚数单位，并且规定：虚数单位，并且规定： i i2 21 1； 形如形如a a+ +bibi( (a,ba,bR)R)的数叫做复数的数叫做复数. .全体复数所形成的集合叫做全体复数所形成的集合叫做复数集复数集，一般用字母一般用字母C C表示表示 . .一、知识回顾一、知识回顾一、知识回顾一、知识回顾2021/3/102实部实部实部实部1.1.复数的代数形式：复数的代数形式：复数的代数形式：复数的代数形式：虚部虚部虚部虚部z = a + bi (a, b R)2.2.复数的分类：复数的分类：00 ba，非纯虚数非纯虚数 00 ba，纯虚数纯虚数0b虚数虚数 0b实数实数2021/3/103 3. 3.规定：规定：如果两个复数的如果两个复数的实部实部和和虚部虚部分别分别相等相等，那么我们就说这那么我们就说这两个复数相等两个复数相等注：注：2) 一般来说，若两个复数不全为实数，只一般来说，若两个复数不全为实数，只一般来说，若两个复数不全为实数，只一般来说，若两个复数不全为实数，只能说相等或不相等，而不能比较大小了能说相等或不相等，而不能比较大小了能说相等或不相等，而不能比较大小了能说相等或不相等，而不能比较大小了. .2021/3/104xyobaZ(a,b)z=a+bi直角坐标系中的点直角坐标系中的点Z(a,b)复数复数z=a+bi平面向量平面向量 复数复数的的几何意义（两种）几何意义（两种）三这者只是一一对三这者只是一一对应，不是相等。且应，不是相等。且这种关系的应用出这种关系的应用出题较多。题较多。2021/3/105对对虚数单位虚数单位i 的规定的规定 练习练习. 根据对虚数单位根据对虚数单位 i 的规定把下列运算的结果都化的规定把下列运算的结果都化 为为 a+bi（a、b R）的形式）的形式. 3(2+i)= ； (3-i)i= ；i = ； -5= ；0= ；2-i= .6+3i1+3i0+i-5+0i0+0i2+(-1)i （1）i i2 21 1； （2）实数可以与实数可以与实数可以与实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则进行四则运算，在进行四则进行四则运算，在进行四则进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算律运算时，原有的加法与乘法的运算律运算时，原有的加法与乘法的运算律运算时，原有的加法与乘法的运算律( (包括交换律、包括交换律、包括交换律、包括交换律、结合律和分配律结合律和分配律结合律和分配律结合律和分配律) )仍然成立。仍然成立。仍然成立。仍然成立。2021/3/106知识引入知识引入知识引入知识引入2021/3/1071.1.复数加、减法的运算法则复数加、减法的运算法则：已知两复数已知两复数z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是实数）是实数） 即即: :两个复数相加两个复数相加( (减减) )就是就是 实部与实部实部与实部, ,虚部与虚部分别相加虚部与虚部分别相加( (减减).).(1)加法法则加法法则：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; (2)减法法则减法法则：z1- -z2=(a- -c)+(b- -d)i. (a+bi )(c+di) = (ac) + (bd)i2021/3/108例例1.1.计算计算 解解: :2021/3/109练习、计算练习、计算(1) (1+3i)+(-4+2i) (2) (13i )+(2+5i) +(-4+9i) (3) 已知（已知（3-ai)-(b+4i)=2a-bi, 求实数求实数a a、b b的值。的值。 我们知道我们知道,两个向量的和满足平行四边形法则两个向量的和满足平行四边形法则, 复复数可以表示平面上的向量，数可以表示平面上的向量，那么复数的加法与向量的那么复数的加法与向量的加法是否具有一致性呢？加法是否具有一致性呢？2021/3/1010xoyZ1(a,b)Z2(c,d)Z(a+c,b+d)z z1 1+ z+ z2 2=OZ=OZ1 1 +OZ+OZ2 2 = OZ= OZ符合向量加法符合向量加法的平行四边形的平行四边形法则法则.2.2.复数加法运算的几何意义复数加法运算的几何意义? ?2021/3/1011xoyZ1(a,b)Z2(c,d)复数复数z2z1向量向量Z1Z2符合向量符合向量减法的三减法的三角形法则角形法则.3.3.复数减法运算的几何意义复数减法运算的几何意义? ?|z1-z2|表示什么表示什么?表示复平面上两点表示复平面上两点Z Z1 1 ,Z,Z2 2的距离的距离2021/3/1012(1)|z(1)|z(1+2i)|(1+2i)|(2)|z+(1+2i)|(2)|z+(1+2i)|*已知复数z对应点A,说明下列各式所表示的几何意义*.点点A A到点到点(1,2)(1,2)的距离的距离点点A A到点到点( (1, 1, 2)2)的距离的距离(3)|z(3)|z1|1|(4)|z+2i|(4)|z+2i|点点A A到点到点(1,0)(1,0)的距离的距离点点A A到点到点(0, (0, 2)2)的距离的距离2021/3/1013练习练习: :已知复数已知复数m=2m=23i3i, ,若复数若复数z z满足满足不等式不等式| |z zm m|=1,|=1,则则z z所对应的点的集合所对应的点的集合是什么图形是什么图形? ?以点以点(2, (2, 3)3)为圆心为圆心, ,1 1为半径的圆上为半径的圆上2021/3/10141 1、|z|z1 1|= |z|= |z2 2| |平行四边形平行四边形OABCOABC是是2 2、| z| z1 1+ z+ z2 2| |= = | z | z1 1- z- z2 2| |平行四边形平行四边形OABCOABC是是3 3、 |z|z1 1|= |z|= |z2 2| |，| z| z1 1+ z+ z2 2| |= = | z | z1 1- z- z2 2| |平行四边形平行四边形OABCOABC是是z1z2z1+z2oz2-z1ABC菱形菱形矩形矩形正方形正方形4.复数加减法的几何意义复数加减法的几何意义复数与点的对应关系如图2021/3/1015练习练习: :设设z z1 1,z,z2 2C, |zC, |z1 1|= |z|= |z2 2|=1|=1 |z |z2 2+z+z1 1|= |= 求求|z|z2 2-z-z1 1| |2021/3/10163.2 复数代数形式的四则复数代数形式的四则运算运算3.2.2 复数代数形式的乘除运算复数代数形式的乘除运算2021/3/1017知识回顾知识回顾知识回顾知识回顾已知两复数已知两复数z1=a+bi, z2=c+di（a,b,c,d是实数）是实数） 即即: :两个复数相加两个复数相加( (减减) )就是就是 实部与实部实部与实部, ,虚部与虚部分别相加虚部与虚部分别相加( (减减).).(1)加法法则加法法则：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; (2)减法法则减法法则：z1- -z2=(a- -c)+(b- -d)i. (a+bi )(c+di) = (ac) + (bd)i2021/3/10181.1.复数的乘法法则：复数的乘法法则：说明说明:(1):(1)两个复数的积仍然是一个复数；两个复数的积仍然是一个复数； (2) (2)复数的乘法与多项式的乘法是类似的复数的乘法与多项式的乘法是类似的，只是在，只是在运算过程中把运算过程中把 换成换成1 1，然后实、虚部分别合并，然后实、虚部分别合并. .(3)(3)易知复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律易知复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律即对于任何即对于任何z1 , z2 ,z3 C,有有2021/3/1019例例1.1.计算计算(2i )(32i)(1+3i) 复数的乘法与多项式的乘法是类似的复数的乘法与多项式的乘法是类似的. . 我们知道多项式的乘法用乘法公式可迅速展开运算我们知道多项式的乘法用乘法公式可迅速展开运算, ,类似地类似地, ,复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算复数的乘法也可大胆运用乘法公式来展开运算. .2021/3/1020例例2 2：计算：计算思考：思考：在复数集在复数集C内内，你能将，你能将 分解因式吗？分解因式吗？2.共轭复数共轭复数：实部相等，虚部互为相反数的两个复数：实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数叫做互为共轭复数.复数复数z=a+bi的共轭复数记作的共轭复数记作思考：设思考：设z= =a+ +bi ( (a, ,bR ),R ),那么那么另外不难证明另外不难证明:2021/3/10212021/3/10222021/3/10233.3.复数的除法法则复数的除法法则 先把除式写成分式的形式先把除式写成分式的形式, ,再把分子与分母都再把分子与分母都乘以分母的共轭复数乘以分母的共轭复数, ,化简后写成代数形式化简后写成代数形式( (分母分母实数化实数化).).即即分母实数化分母实数化2021/3/1024例例4.4.计算计算解解:先写成分式形式先写成分式形式 化简成代数形式就得结果化简成代数形式就得结果. 然后然后分母实数化分母实数化即可运算即可运算.(一般分子分母同时乘一般分子分母同时乘以分母的共轭复数以分母的共轭复数)2021/3/10252021/3/1026(2)(2)1 1、2021/3/1027D D2 2、2021/3/1028（1 1）已知已知求求练练 习习（2 2）已知）已知 求求2021/3/1029（3 3）2021/3/1030如果如果nN*有有:i4n=1;i4n+1=i,i4n+2=-1;i4n+3=-i. (事实上可以把它推广到事实上可以把它推广到nZ.）设设 ,则有则有:事实上事实上, 与与 统称为统称为1的立方虚根的立方虚根,而且对于而且对于 ,也也有类似于上面的三个等式有类似于上面的三个等式.4.一些常用的计算结果一些常用的计算结果2021/3/1031拓拓 展展求满足下列条件的复数求满足下列条件的复数z:z:(1)z+(3(1)z+(34i)=1;4i)=1;(2)(3+i)z=4+2i(2)(3+i)z=4+2i 实数集实数集R R中正整数指数的运算律中正整数指数的运算律, ,在复数集在复数集C C中仍然成立中仍然成立. .即对即对z z1 1,z,z2 2,z,z3 3CC及及m,nNm,nN* *有有: : z zm mz zn n=z=zm+nm+n, , (z (zm m) )n n=z=zmnmn, , (z (z1 1z z2 2) )n n=z=z1 1n nz z2 2n n. .2021/3/1032另外另外, ,本题还可用几何知识来分析本题还可用几何知识来分析. .2021/3/10332021/3/1034