4.7函数的复合与反函数函数的复合与反函数函数的复合函数的复合函数复合的定理函数复合的定理函数复合的性质函数复合的性质反函数反函数反函数存在的条件反函数存在的条件反函数的性质反函数的性质由于函数是一种特殊的二元关系，两个函数的复合本质上由于函数是一种特殊的二元关系，两个函数的复合本质上就是两个关系的合成，因此函数的合成方法与关系的合成就是两个关系的合成，因此函数的合成方法与关系的合成方法是一致的。方法是一致的。由图可知由图可知f 和和g合成后的函数称为复合函数，合成后的函数称为复合函数，记为记为g f。且且g f=,。例如例如: : 已知已知 f 是是A A到到B B的函数，的函数，g g 是是B B到到C C的函数，它们所确的函数，它们所确定的对应关系如图所示。定的对应关系如图所示。f=, ，g=,， 由于函数是一种特殊的二元关系同，两个函数的复合由于函数是一种特殊的二元关系同，两个函数的复合本质上就是两个关系的合成。本质上就是两个关系的合成。例如设例如设f 是是A到到B的函数，的函数，g是是B到到C的函数，它对所确定的函数，它对所确定的对应关系如图所示：的对应关系如图所示：如果将函数如果将函数f 看作是看作是A到到B的二元关系，的二元关系，g看作是看作是B到到C的二元的二元关系，合成后的关系记为关系，合成后的关系记为R，它是，它是A到到C的二元关系，的二元关系，记为记为R=f g，且，且R=(x,b),(y,b),(z,a).f=, ，g=,，一、复合函数的定义设设f 是是A到到B的函数，的函数，g是是B到到C的函数，的函数，f 和和g合成后的函数合成后的函数称为复合函数，记为称为复合函数，记为g f 。它是。它是A到到C的函数。的函数。当当aA,bB,cC，且，且f(a)=b,f(b)=c 时时，g f(a)=c.注意：当注意：当f 和和g 看作是二元关系时，合成后的关系记为看作是二元关系时，合成后的关系记为f g，但当但当f 和和g 看作是函数时看作是函数时f 和和g合成后的函数称为复合函数，合成后的函数称为复合函数，记为记为g f 。定理定理设设F,G是函数是函数,则则F G也是函数也是函数,且满足且满足(1)dom(F G)=x |xdomF F(x)domG(2) xdom(F G)有有F G(x)=F(G(x)例：设集合例：设集合A=x,y,z ,B=a,b,c,d, C=1,2,3f 是是A到到B的函数，的函数，g是是B到到C的函数，其中的函数，其中f(x)=b, f(y)=c, f(z)=cg(a)=1, g(b)=2, g(c)=1,g(d)=3求复合函数求复合函数g f。解：由定义可知解：由定义可知复合函数复合函数g f是是A到到C的函数。且的函数。且 g f(x)= g (f(x)= g (b)=2.g f(y)= g (f(y)= g (c)=1.g f(z)= g (f(z)= g (c)=1. 推论推论1设设f：AB,g：BC,则则f g：AC,且且 xA 都有都有f g(x)=f(g(x).推论推论2设设F,G,H为函数为函数,则则(F G) H 和和F (G H)都是函数都是函数,且且(F G) H =F (G H)由于函数是一种特殊的二元关系，而二元关系的由于函数是一种特殊的二元关系，而二元关系的合成可以看作是一种运算，且这种运算满足结合合成可以看作是一种运算，且这种运算满足结合律但不满足交换律。于是有：律但不满足交换律。于是有：推论推论3设设F,G为函数为函数,则则F G和和G F都是函数都是函数,且且F GG F函数复合运算的性质定理定理设设f：AB,g：BC.(1)如果如果f 和和g都是单射函数都是单射函数,则则 g f ：AC也是单射的函数也是单射的函数.(2)如果如果f 和和g都是满射函数都是满射函数,则则 g f：AC也是满射的函数也是满射的函数.(3)如果如果f 和和g都是双射函数都是双射函数,则则 g f：AC也是双射的函数也是双射的函数.证证(1) c C,由由g：BC 的满射性的满射性, b B 使得使得g(b)=c.对这个对这个b,由由f：AB 的满射性，的满射性， a A 使得使得f(a)=b.由合成定理有由合成定理有g f (a)=g(f(a)=g(b)=c从而证明了从而证明了f g：AC是满射的是满射的.二、函数的逆（反函数）二、函数的逆（反函数）对于二元关系对于二元关系R，只要交换所有的有序对，就能，只要交换所有的有序对，就能得到逆关系得到逆关系；但对于函数但对于函数f ,交换所有的有序对得到的逆关系到交换所有的有序对得到的逆关系到却不一定是函数，只有当却不一定是函数，只有当f 为双射函数时其逆关系为双射函数时其逆关系才是函数。才是函数。二、反函数(函数的逆)但对于函数但对于函数f ,交换交换f 的所有有序对得到的逆关系的所有有序对得到的逆关系f 1是二元关是二元关系却不一定是函数。系却不一定是函数。如：如：F=,，F 1=,对于二元关系对于二元关系R，只要交换所有有序对的顺序，就能得，只要交换所有有序对的顺序，就能得其逆关系其逆关系 ；反函数存在的条件但对于函数但对于函数f ,交换所有的有序对得到的逆关系到交换所有的有序对得到的逆关系到却不一定是函数，只有当却不一定是函数，只有当f 为双射函数时其逆关系为双射函数时其逆关系才是函数。才是函数。反函数的定义及性质反函数的定义：反函数的定义：对于双射函数对于双射函数f：AB,称称f 1：BA是是它的它的反函数反函数. 定理定理设设f：AB是双射的是双射的,则则f 1：BA也是双射的也是双射的.反函数的性质：反函数的性质：定理定理:设设f：AB是双射的是双射的,则则f 1 f =IA,f f 1=IB对于双射函数对于双射函数f：AA,有有f 1 f =f f 1=IA函数复合与反函数的计算例：设例：设R是实数集，且是实数集，且f,g,h是是R到到R的函数其中的函数其中f(x)=1+x,g(x)=1+x2,h(x)=1+x3,求求f g,g f，(f g) h 和和 f (g h).解：解：f g(x)=f(1+x2)=2+x2g f(x)=g(1+x)=1+(1+x)2(f g) h(x)=(f g) (1+x3)=2+ (1+x3)2f (g h)(x)=f(1+(1+x3)2)=2+(1+x3)2思考：思考：设设f ：RR,g ：RR 求求f g,g f.如果如果f 和和g 存在反函数存在反函数,求出它们的反函数求出它们的反函数.f：RR不是双射的不是双射的,不存在反函数不存在反函数.g：RR是双射的是双射的,它的反函数是它的反函数是g 1：RR,g 1(x)=x 2解：解：思考：思考： 设设a1,a2,an是任意的是任意的n个正整数，个正整数，证明存在证明存在i和和k (i 0,k 1)，使得，使得 ai+1+ ai+2+ ai+k 能被能被n整除。整除。三、鸽洞原理三、鸽洞原理如果某人营造了如果某人营造了n个鸽洞，养了多于个鸽洞，养了多于n只鸽子，只鸽子，则必有一个鸽洞有则必有一个鸽洞有2只或只或 2 2只以上的鸽子，只以上的鸽子，这就是鸽洞原理。这就是鸽洞原理。用数学语言来描述这个原理，即：用数学语言来描述这个原理，即：A，B是有限集合，是有限集合，f 是是A到到B的函数，的函数，如果如果AB，则，则A中至少有两个元素，中至少有两个元素，其函数值相等。其函数值相等。一般的情况是：当鸽洞为一般的情况是：当鸽洞为n个，鸽子数大于个，鸽子数大于nm只时，必有一个鸽洞住有只时，必有一个鸽洞住有m+1只或多于只或多于m+1只鸽子。只鸽子。例如，有例如，有3个鸽洞，个鸽洞，13只鸽子，则必有一个鸽洞，只鸽子，则必有一个鸽洞，住有住有5只或只或 5 5只以上的鸽子。只以上的鸽子。更一般的情况是：更一般的情况是：A，B是有限集合，是有限集合，f 是是A到到B的函数，如果的函数，如果A nm ，B B= n= n，则在，则在A A中至少有中至少有m+1m+1个元素，其函数值相等。个元素，其函数值相等。例：证明任意例：证明任意n+1个正整数，其中必有两个数个正整数，其中必有两个数之差被之差被n整除。整除。证明证明 由于任意正整数被由于任意正整数被n除后，其余数只能除后，其余数只能是是0，1，2 n-1，所以，所以n+1个正整数中，个正整数中，必有两个数被必有两个数被n除后余数相同，除后余数相同， 因此这两个数之差必能被因此这两个数之差必能被n整除。整除。 例例: 某人步行驶某人步行驶10小时，共走小时，共走45公里，已知他第公里，已知他第一小时走了一小时走了6公里，最后一小时只走了公里，最后一小时只走了2公里，公里，证明必有连续的两小时，在这两小时内至少证明必有连续的两小时，在这两小时内至少走了走了10公里。公里。证明证明: 设第设第i小时走了小时走了ai公里，连续的两小时所走里公里，连续的两小时所走里程为程为a1+a2, a2+a3, a9+a10,共有共有9种；种；因为（因为（ a1+a2 ）+（ a2+a3 ）+ + (a9+a10)=2 45-6-2=82,所以必有连续的两小时里所走里程大于等于所以必有连续的两小时里所走里程大于等于10公里。公里。例例: 证明在证明在1100的正整数中，任取的正整数中，任取51个正整数，个正整数，其中必存在两个数，一个数是另一个数的倍数。其中必存在两个数，一个数是另一个数的倍数。证明证明 对于任意的偶数，使得：偶数对于任意的偶数，使得：偶数=奇数奇数 2k. 构造以下构造以下50个集合：个集合： A1=1，1 2，1 22，1 23，1 24，1 25，1 26 A3=3，3 2，3 22 ，3 23 ，3 24 ，3 25 A5=5，5 2，5 22 ，5 23 ，5 24 A7=7，7 2，7 22 ，7 23 A9=9，9 2，9 22 ，9 23 A11=11，11 2，11 22 ，11 23 A13=13，13 2，13 22 . A49=49，49 2 A51=51 A53=53 . A99=99这这50个集合中元素的总和共个集合中元素的总和共100个，恰好是个，恰好是1100的的所有正整数，且在含有所有正整数，且在含有2个或个或2 个以上元素的集合个以上元素的集合A1，A3，A5，, A49中，同一个集合中的任意中，同一个集合中的任意两个正整数必是：一个数是另一个数的倍数。两个正整数必是：一个数是另一个数的倍数。因此在因此在1100的正整数中任取的正整数中任取51个数，其中至少个数，其中至少有两个数属于同一个集合，有两个数属于同一个集合，所以这两个数中有一个数是另一个的倍数。所以这两个数中有一个数是另一个的倍数。 证明证明 A1(小王小王) A2 (小张小张) A3(小何小何) A4(小周小周) A5(小杨小杨) A6(小刘小刘)思考思考: 试证在任意六个人中必有三人他们相互认识试证在任意六个人中必有三人他们相互认识 或相互不认识或相互不认识.例例: 在一个有在一个有6个点的完全图中，给每一条边涂色，个点的完全图中，给每一条边涂色，可随意涂红色或白色。证明在这个完全图中，必存在可随意涂红色或白色。证明在这个完全图中，必存在一个三角形，其三条边的颜色相同。一个三角形，其三条边的颜色相同。证明证明 A1 A1 A2 A3 A2 A3 A4 A5 A4 A5 A6 A6思考：思考： 设设a1,a2,an是任意的是任意的n个正整数，证明存在个正整数，证明存在i和和k (i 0,k 1)，使得，使得 ai+1+ ai+2+ ai+k 能被能被n整除。整除。证明证明 令令 A1= a1 A2= a1+a2 A3= a1+a2+a3 An= a1+a2+an在这在这n个数个数A1，A2， ，An中，如果有一个数中，如果有一个数能被能被n整除，问题得证。整除，问题得证。如果如果A1，A2， ，An中没有一个数能被中没有一个数能被n整除，整除，则这则这n个数各被个数各被n除后，余数只能是除后，余数只能是1，2， ，n-1共有共有n-1种，由鸽洞原理可知，种，由鸽洞原理可知，A1，A2， ，An中中至少有两个数被至少有两个数被n除后余数相同。除后余数相同。不妨设这两个数为不妨设这两个数为Ai和和Ai+k (i 0,k 1),那么那么Ai+k-Ai 必能被必能被n整整除。而除。而 Ai+k-Ai=ai+1+ ai+2+ ai+k ，由此得证。，由此得证。