13.2 3.2 高维波动方程的初值问题高维波动方程的初值问题3.2.1 3.2.1 三维波动方程的基尔霍夫公式三维波动方程的基尔霍夫公式上节我们讨论了上节我们讨论了一维波动方程一维波动方程的初值问题，的初值问题，得到了得到了达朗贝尔公式达朗贝尔公式。对于对于三维波动方程三维波动方程，可，可用用球面平均法球面平均法形式地推出解的表达式。形式地推出解的表达式。这表达这表达式通常被称为式通常被称为基尔霍夫公式基尔霍夫公式。现在，我们考察三维波动方程的初值问题现在，我们考察三维波动方程的初值问题(27)(27)(28)(28)其中其中与与为已知函数。为已知函数。2(27)(27)(28)(28)首先，任意固定点首先，任意固定点表示以表示以为球心，为球心，为半径的球面。为半径的球面。 利用利用球坐标球坐标，则球面上的点，则球面上的点用用表示球面表示球面的的单位单位外法向外法向，则球面则球面上的点可简单记作上的点可简单记作同时同时也可被看成单位球面上的点。也可被看成单位球面上的点。因此，我们因此，我们也记球面上的微元也记球面上的微元为球心，为球心，3(27)(27)(28)(28)此外，记此外，记表示以表示以为球心，为球心， 为半径的球体，为半径的球体，则在则在上的体积分用球坐标可表示为上的体积分用球坐标可表示为现在引进现在引进 的的球面平均数球面平均数对上式两边对对上式两边对取极限取极限得得4(27)(27)(28)(28)微积分里面的微积分里面的奥奥- -高公式高公式其中其中为简单闭曲面为简单闭曲面外法向外法向。所围成的区域，所围成的区域，是是 的的单位单位可写成散度形式可写成散度形式5(27)(27)(28)(28)微积分里面的微积分里面的奥奥- -高公式高公式写成写成散度形式散度形式为为其中其中为简单闭曲面为简单闭曲面外法向外法向。所围成的区域，所围成的区域，是是 的的单位单位现将方程现将方程(27)(27)两边在两边在上积分得上积分得6(27)(27)(28)(28)另一方面，利用另一方面，利用则有则有7(27)(27)(28)(28)于是于是两边对两边对 求导得求导得因此可得因此可得的通解为的通解为其中其中为二阶可微函数。为二阶可微函数。8(27)(27)(28)(28)上式两端分别对上式两端分别对求导得求导得(29)(29)(30)(30)上面的两式中，令上面的两式中，令得得在在(29)(30)(29)(30)式中取式中取得得9(27)(27)(28)(28)在上式中取在上式中取并代入并代入可得可得10(27)(27)(28)(28)当初始函数足够光滑时，容易验证，由公式当初始函数足够光滑时，容易验证，由公式(31)(31)所表示的函数所表示的函数确实是问题确实是问题(27)(28)(27)(28)的解。的解。(31)(31)三维波动方程三维波动方程的泊松公式的泊松公式11例例1 1 求下列初值问题的解求下列初值问题的解(31)(31)解解由公式由公式(31)(31)得得12例例1 1 求下列初值问题的解求下列初值问题的解解解由公式由公式(31)(31)得得(31)(31)13内容小结内容小结(31)(31)(27)(27)(28)(28)1. 1. 三维波动方程三维波动方程初值问题的泊松公式初值问题的泊松公式