第六章第六章 对流换热基本方程对流换热基本方程 第六章第六章 对流换热基本方程对流换热基本方程 6-1 质量守恒与连续性方程质量守恒与连续性方程 n如果研究对象取控制体，则有n (6-1-1)n假设流场是二维的，如图6-1所示。控制体为xy，点(x，y)处的速度为u和v，控制体内的质量为xy。方程(6-1-1)应用于该控制体中，得到n (6-1-2) 6-1 质量守恒与连续性方程质量守恒与连续性方程 n通过消去控制体体积xy，得到n (6-1-3)n对于三维流动，类似地可以得到n (6-1-4)n这就是流体的连续性方程，用矢量形式表示，则为n (6-1-5)n式中div表示散度，即n (6-1-6) n局部的质量守恒表达式也可以写为n (6-1-7)n即 n其中 为全导数，即n (6-1-8)n 为当地变化率。V即速度矢量V的散度divV，因而方程形式变为 6-1 质量守恒与连续性方程质量守恒与连续性方程 n (6-1-9)n也可以用张量形式写出连续性方程，即n (6-1-10)n其中i1，2，3。n对于不可压流体，密度为常量， 0，则连续性方程为n (6-1-11) 6-1 质量守恒与连续性方程质量守恒与连续性方程 n将动量守恒定律应用于运动的流体(控制体)中，可以得到动量方程。控制体上的外作用力分为表面力(与表面积成正比，如压力和粘性应力等)和体积力(与体积成正比，如重力和离心力等)。n考虑作用于控制体上的力平衡，有n (6-2-1)n式中，n表示所讨论的方向。n有关动量方程的推导，只扼要讨论其二维情况。n图6-2给出了二维有限控制体的动量变化和作用力分析，将式(6-2-1)应用于x方向，得到n (6-2-2) 6-2 动量方程动量方程 6-2 动量方程动量方程 图6-2 二维控制体在x方向上的力平衡 n等式两边同除以，得到n (6-2-3)n考虑前面得到的连续性方程(6-1-4)，有n (6-2-4)n式(6-2-4)中的法向应力 和切向应力 由下式给出：n (6-2-5) n (6-2-6) 6-2 动量方程动量方程 n将应力关系式代式(6-2-5)、(6-2-6)，即得到x方向的纳维-斯托克斯方程：n (6-2-7)n如果流体是常物性和不可压缩的，则上式简化为n (6-2-8)n下面给出了直角坐标系下的三维、常物性、不可压缩流体的纳维-斯托克斯(N-S)方程：n (6-2-9)n (6-2-10) 6-2 动量方程动量方程 n为简洁，可以表示为向量形式：n (6-2-12)n由热力学知 (6-2-13)n一般 ， 不为零，但dP、dT较小时可以认为d0, =常数。 6-2 动量方程动量方程 n 6 -3 能量方程能量方程 6 -3 能量方程能量方程 图6-3 控制体能量平衡 n6-3 -1 热对流携的净能量热对流携的净能量 n单位质量流体的总能量e 由热力学能与宏观动能组成，称为总能：n (6-3-2) nx 方向流体携入控制体的净能量为uedydz与 之差，即 n类似地可以得到y 、z方向流体净携入的能量为n 和 n因而，单位时间内流体通过界面净携入控制体的能量为dE或6 -3 能量方程能量方程 n6 -3 -2 通过导热在界面导的净能通过导热在界面导的净能nx方向净导能量为n 与 之差，即n 由傅里叶定律6 -3 能量方程能量方程 6 -3 能量方程能量方程 n因而x方向净导的能量可写为：n 类似的，y、z方向的净导的能量为：n 和 6 -3 能量方程能量方程 n6-3-3 控制体内总能控制体内总能t 随时间的变化率随时间的变化率n控制体内总能量随时间的变化率为n能量守恒方程n (6-3-5) ndW 将在后面详细讨论。引入连续性方程，上式整理为n (6-3-6) n也可以将总能量分为热力学能和动能即n (6-3-7) 6 -3 能量方程能量方程 n6-3-4 界面上作用力对流体作的功界面上作用力对流体作的功n作用力由表面力(粘性力和静压力)和体积力组成。x方向的净功为n类似地，y、z方向作用力的净功为n三项之和为总功dW。 6 -3 能量方程能量方程 ndW 减去x、y 和z方向的动量方程分别乘以u、v、w和dxdydz 的积，可以得到 n (6-3-8) n定义上式等号右边方括号内各项为，则方程简化为n (6-3-9) 6 -3 能量方程能量方程 n即，体积力和表面力所作的功等于流体动能的变化、体积变形时压力作的功和耗散之和。整理可得n (6-3-10) n称为能量耗散函数它是单位时间作用在控制体上的(法向和切向)粘性力由于摩擦而作的功转变为热能的部分，可以表示n (6-3-11) n对于不可压缩流体，divV = 0 ，有关项可以略去。低速流动时，耗散项很小，可以不计。能量方程也可以通过焓的形式变换，得到温度形式的能量方程。热力学定义焓为n (6-3-12) 6 -3 能量方程能量方程 n (6-3-13) n焓是热力学状态函数，可以写为h = h( T , p )。则n (6-3-14) n由热力学微分关系式，得n (6-3-15) n定义体胀系数 ，得到 6 -3 能量方程能量方程 n (6-3-16) n将式(6-3-13 )、(6-3 -16 )代入式(6 -3 -10 ) ，经整理得到能量方程n (6-3-17)n对于理想气体， ，上式简化为6 -3 能量方程能量方程n对于不可压缩流体，v = 0，若忽略耗散函数，式(6-3-17 )变为：n 其向量形式为n (6-3-20) n热物性是常数时，可以写为n (6-3-2 1) 6-4 熵方程熵方程 n与连续性方程的推导类似，可以得到控制体的熵方程n (6-4-1) n式中：s 是比墒；divs是单位时间控制体内的熵流； 是熵产。n对于可逆过程，由热力学知 n (6-4-2) 6-4 熵方程熵方程 n实际热力过程都是不平衡过程，但分析是基于局部热力学平衡假设，式(6-4-2 )仍然适用。将式(6-3-10 )代上式，得到n (6-4-3 ) n因为 n得到 ( 6-4-4 ) n 6-5 方程的封闭与求解方法方程的封闭与求解方法 6-5 方程的封闭与求解方法方程的封闭与求解方法 6-6 数量级分析数量级分析 n以一维非稳态导热为例说明数量级分析。假设厚度为2的平板，温度为t0，放入温度为t的流体中，若流体与固体的换热很好，固体表而温度立刻达到流体温度t，试估计平板中心感受到外部影响所需的时间。 6-6 数量级分析数量级分析 n考虑平板的对称性，只需研究平板的一半，即厚度为。能量方程如下： n (6-6-l) n估计各项的数量级大小。左侧 n (6-6-2) n右侧 n (6-6-3) 6-6 数量级分析数量级分析 n考虑式(6-6-2)与式(6-6-3 )相等，得到 n (6-6-4) n式中， ，是热扩散率。n可见，通过数量级分析可以十分简单地获得渗透时间的数量级，与傅里叶分析相比，两者吻合得很好，但计算量则少得多。数量级分析的突出特点，是在众多的影响因索中可以给出主导过程特性的物理量，这一点将在以后的分析中更清楚地表明。数量级分析法则如下：n( 1 ) 通常要确定数量级分析的区域空间，例如前面讨论的非稳态导热的，或边界层流动的。n( 2 ) 任何方程中至少有两个数量级相等的主要控制项。6-6 数量级分析数量级分析 n( 3 ) 如果两项之和nc = a+b (6-6-5) n中一项远大于另一项，即nO(a) O(b) (6-6-6) n则和的数量级大小由主要项决定：nO(c) O(a) (6-6-7)nC = a-b或c = -a+b 的情况类似。n( 4 ) 如果两项之和nC = a+b (6-6-8) n中a 、b 具有同样的数量级，即nO(a) O(b) (6-6-9) n则和的数量级与各项相同：nO(c) O(a) O(b) (6-6-10) 6-6 数量级分析数量级分析n(5) 对于乘积nP = ab (6-6-11) n有nO(p) = O(a)O(b) (6-6-12) n若 (6-6-13) n有 (6-6-14)