第六章第六章 角角 动动 量量6.1 几种物理性质的同时测定几种物理性质的同时测定考察可用什么规则决定体系的哪些性质能同时具有确定值。考察可用什么规则决定体系的哪些性质能同时具有确定值。回回顾顾：若若态态函函数数是是算算符符的的本本征征值值为为s的的一一个个本本征征函函数数，则则测测定定物物理理性性质质A，一定得到结果一定得到结果s。若态函数若态函数同时是两个算符同时是两个算符与与 的本征函数：的本征函数：则对物理量则对物理量A与与B我们能我们能同时同时指出确定值。指出确定值。什么条件下，什么条件下，可以同时是两个不同算符的一个本征函数呢？可以同时是两个不同算符的一个本征函数呢？两个定理（后面章节证）：两个定理（后面章节证）：（1）两个算符存在共同本征函数完备集的必要条件是算符要可对易。）两个算符存在共同本征函数完备集的必要条件是算符要可对易。（2）若若与与 是是对对应应着着物物理理量量的的两两个个可可对对易易的的算算符符，则则存存在在一一完完备备函函数数集集是是与与 两者的本征函数，即如果两者的本征函数，即如果, =0，则，则可能可能是是与与 共同的本征函数。共同的本征函数。注注：完完备备，即即任任意意一一个个具具有有相相同同自自变变量量、定定义义域域、边边界界条条件件的的连连续函数，总可以用这一本征函数集中函数的线性组合来表示。续函数，总可以用这一本征函数集中函数的线性组合来表示。对易子的一些常用恒等式对易子的一些常用恒等式例：根据上述恒等式计算对易子：例：根据上述恒等式计算对易子：前面已证：前面已证：因因为为不不对对易易，所所以以不不能能期期望望态态函函数数同同时时是是上上述述两两个个算算符符的的本本征征函数。即不能同时指定函数。即不能同时指定x与与px的确定值，与测不准原理一致。的确定值，与测不准原理一致。对三维一粒子体系，有：对三维一粒子体系，有：类似地，可证：类似地，可证：因因为为不不对对易易，所所以以不不能能期期望望同同时时指指定定能能量量与与x坐坐标标的的确确定定值值。一一个个定定态态（有有一一定定的的能能量量）表表明明有有一一个个x可可能能值值的的展展宽宽，而而不不同同x值值的概率的观测由的概率的观测由Born假设给出。假设给出。对对于于一一个个不不是是的的本本征征函函数数的的定定态态，当当我我们们测测量量一一些些等等同同体体系系的的性性质质A时时，可得到各种可能的结果。可得到各种可能的结果。若若 是是 平平 均均 值值 ， 则则 每每 一一 测测 定定 值值 与与 平平 均均 值值 的的 偏偏 差差 是是Ai。若若把把所所有有的的偏偏差差平平均均，由由于于正正与与负负的的偏偏差差将将相相互互抵抵消消，将将得得到到零零。于于是是，要要使使所所有有偏偏差差为为正正，可可平平方方之之。偏偏差差的的平平方方的的平平均均值值叫叫做做A的的方方差差。在在统统计计学中以学中以 表示，在量子力学中以表示，在量子力学中以(A)2表示：表示：方方差差的的正正的的平平方方根根叫叫做做标标准准差差，以以A或或A表表示示，常常用用于于衡衡量量展展宽宽的的程程度度，我我们将取之作为们将取之作为A的的“不确定度不确定度”量度。量度。对于两个性质的标准差的乘积，可证明为：对于两个性质的标准差的乘积，可证明为：若若算算符符与与 可可对对易易，则则上上式式中中的的积积分分为为零零，因因而而有有可可能能A与与B两两者者均均为为零零，即两者可以同时确定。即两者可以同时确定。例：例：海森堡测不准原理的定量描述海森堡测不准原理的定量描述回顾：三维箱中粒子的回顾：三维箱中粒子的x和和px平均值：平均值：根据：根据：能量能量-时间不确定关系式时间不确定关系式E是能量在时间是能量在时间t1和和t2时测定的两个值时测定的两个值E1和和E2之差。之差。t可可解解释释为为能能量量的的不不确确定定值值为为E的的态态的的寿寿命命。粒粒子子在在 某某能能级级上上存存在在的的时时间间越越短短，该该能能级级的的不不确确定定度度程程度度E就就越越大大。只只有有粒粒子子在在某某能能级级上上存存在在的的时时间间无无限限长长，该该能能级级才才是是完完全全确确定的。定的。现考察同时指定三个物理量现考察同时指定三个物理量A，B和和C的确定值的可能性。的确定值的可能性。上式能否保证三个算符存在共同的本征函数？上式能否保证三个算符存在共同的本征函数？前前者者保保证证能能构构成成与与 的的共共同同的的本本征征函函数数集集，后后者者保保证证能能构构成成与与 的的共共同同的的本本征征函函数数集集。若若这这两两个个本本征征函函数数集集是是一一样样的的，则则三三个个算算符符具具有有共共同同的的本本征征函函数数集。集。若若对对应应于于的的每每一一本本征征值值多多于于一一个个的的独独立立函函数数（简简并并态态），则则简简并并本本征征值值的的本本征征函函数数的的任任意意线线性性组组合合仍仍是是的的一一个个本本征征函函数数。有有理理由由认认为为给给出出 的的本本征征函函数数所所需需的的适适当当的的线线性性组组合合，将将不不同同于于给给出出 的的本本征征函函数数的的线线性性组组合合。所所以以，如如果果要要有有所有三个算符的共同的本征函数完备集，要求除了上式之外，还要有：所有三个算符的共同的本征函数完备集，要求除了上式之外，还要有：但事实上，线性算符但事实上，线性算符的本征函数集不是唯一确定的。的本征函数集不是唯一确定的。必须具备必须具备6.2 一粒子体系的角动量一粒子体系的角动量p经典力学中的角动量经典力学中的角动量考虑一质量为考虑一质量为m的运动粒子，令的运动粒子，令r为粒子从原点到瞬时位置的矢量，有：为粒子从原点到瞬时位置的矢量，有：x,y和和z是粒子在一给定瞬间的坐标，是时间的函数。是粒子在一给定瞬间的坐标，是时间的函数。定义定义：速度矢量：速度矢量v为位置矢量的时间导数，则：为位置矢量的时间导数，则：定义定义线动量线动量矢量矢量p为：为：粒子的粒子的角动量角动量L定义为：定义为：作用于粒子上的作用于粒子上的力矩力矩定义为定义为r r与作用于粒子上的力与作用于粒子上的力F F的叉积：的叉积：易证：易证：当当无无力力矩矩作作用用于于粒粒子子时时，角角动动量量的的变变化化速速率率等等于于零零，即即角角动动量量是是常常数数（或或是是守守恒恒的的）。如如一一行行星星绕绕太太阳阳转转，引引力力是是径径向向指指向向的的，由由于于两两个个平平行行矢矢量量的的叉叉积为零，行星没有受到力矩，其角动量是守恒的。积为零，行星没有受到力矩，其角动量是守恒的。p量子力学处理：轨道角动量和自旋角动量量子力学处理：轨道角动量和自旋角动量轨道角动量：粒子通过空间的运动，相似于经典力学量轨道角动量：粒子通过空间的运动，相似于经典力学量L；自旋角动量：许多微观粒子的内在性质，无经典的类比。自旋角动量：许多微观粒子的内在性质，无经典的类比。循循环环置置换换xyz：xyzx现只考察轨道角动量，把上述经典力学中现只考察轨道角动量，把上述经典力学中L的量代之以相应的算符，可得：的量代之以相应的算符，可得：再将再将 作用于上式，有：作用于上式，有：用上述算符可以进一步构成角动量大小的平方的算符，即：用上述算符可以进一步构成角动量大小的平方的算符，即：由由于于对对易易关关系系决决定定哪哪些些可可观观测测量量具具有有确确定定值值，我我们们来来研研究究上上述述角角动动量量之之间间的的对易关系对易关系。（1）先将先将 作用于某函数作用于某函数f(x,y,z)，有：，有：类似地：类似地：所以：所以：其中用到了关系式：其中用到了关系式：这对品优函数是正确的。这对品优函数是正确的。若在若在 中进行循环置换，可得中进行循环置换，可得 。若在若在 中进行循环置换，可得中进行循环置换，可得 。若在若在 中进行循环置换，可得中进行循环置换，可得 。可用同样的步骤去计算：可用同样的步骤去计算：注注意意到到x,y,z在在算算符符中中的的对对称称关关系系，可可以以利利用用循循环环置置换换x,y,z的的方方式式计计算算上上述述对对易易关系，即：关系，即：角动量分量算符之间不能对易，不能同时准确测定。角动量分量算符之间不能对易，不能同时准确测定。因为因为x,y,z的循环置换使的循环置换使 不改变，上式进行两次循环置换，得：不改变，上式进行两次循环置换，得： （2）利用对易子恒等式计算）利用对易子恒等式计算 与其每个分量的对易与其每个分量的对易L2, Lx, Ly, Lz中哪些可同时指定确定值？中哪些可同时指定确定值？因因为为 可可与与其其它它每每个个分分量量对对易易，所所以以可可确确定定L2与与任任意意一一个个分分量量的的确确定定值值。但但是是，没没有有两两个个 分分量量是是可可对对易易的的，所所以以不不能能同同时确定多于一个的分量。（此说法有一例外，稍后讨论）。时确定多于一个的分量。（此说法有一例外，稍后讨论）。习习惯惯上上取取Lz作作为为与与L2同同时时确确定定的的角角动动量量分分量量。注注意意在在L2=|L|2中中，不不是是确确定定了了向向量量L，只只是是确确定定了了其其大大小小。完完全全确确定定L要要求求同时确定其三个分量，这是一般做不到的。同时确定其三个分量，这是一般做不到的。在在经经典典力力学学中中，当当角角动动量量守守恒恒时时，其其三三个个分分量量的的每每一一个个都都有有一一定定的的值值。在在量量子子力力学学中中，当当角角动动量量守守恒恒时时，只只是是其其大大小小及及分量之一是确定的。分量之一是确定的。下面计算下面计算 和和 的本征值和共同的本征函数的本征值和共同的本征函数在在尝尝试试求求解解过过程程中中，由由于于在在笛笛卡卡儿儿坐坐标标系系中中所所得得的的偏偏微微分分方方程程不不能能分分离离变变量量，为此需要将坐标变换成球极坐标，同时须将为此需要将坐标变换成球极坐标，同时须将 变换成球极坐标形式。变换成球极坐标形式。 球极坐标与笛卡儿坐标的关系球极坐标与笛卡儿坐标的关系角动量分量在球极坐标中的表示角动量分量在球极坐标中的表示将将 平方，再将它们的平方相加，可构成平方，再将它们的平方相加，可构成 ，即：，即：虽虽然然角角动动量量算算符符依依赖赖于于所所有有三三个个笛笛卡卡儿儿坐坐标标x，y，z，但但它它只只含含有有两两个个球球坐坐标标 和和 。令令 和和 共共同同的的本本征征函函数数以以Y表表示示，由由于于这这些些算算符符只只包包含含 和和 ，Y将将是是这这两两个个坐坐标的函数：标的函数：Y=Y( , )，则须求解的两个本征方程为：，则须求解的两个本征方程为：（b和和c分别为两个算符的本征值）分别为两个算符的本征值）利用利用 算符，有：算符，有：由于上式中的算符不包含由于上式中的算符不包含 ，故尝试分离变量，记作：，故尝试分离变量，记作：带入上式得：带入上式得：与与 无关无关变形变形（A为一任意常数）为一任意常数）一一般般地地，由由于于T不不是是一一个个单单值值函函数数，所所以以不不适适合合作作为为一一个个本本征征函函数数。为为保保证证T单值，应有下列限制：单值，应有下列限制：为满足：为满足：必须有：必须有：角角动动量量z分分量量的的本本征征值是量子化的值是量子化的要要确确定定A，需需将将T进进行行归归一一化化。先先考考虑虑某某函函数数F(r, , )的的归归一一化化，独独立立变变量量的的范范围是：围是：在球极坐标中，相当于笛卡儿坐标中无限小体积元在球极坐标中，相当于笛卡儿坐标中无限小体积元dxdydz的是：的是：于是有归一化形式：于是有归一化形式：如果如果F的形式为：的形式为：则归一化形式可变为：则归一化形式可变为：将将F的每个因子进行归一化：的每个因子进行归一化：下面求解下面求解 的本征值：的本征值：c为本征值为本征值上式的求解较为复杂，为方便起见，直接给出上式的求解较为复杂，为方便起见，直接给出c的结果：的结果：由于由于|m|取值取值0,1,2，故量，故量k+|m|取值为取值为0,1,2定义量子数定义量子数l为：为：对于角动量大小的平方，可允许的本征值为：对于角动量大小的平方，可允许的本征值为：|m|lm的可能值为：的可能值为：由由于于l|m|，上上式式指指出出总总角角动动量量的的大大小小大大于于其其z分分量量 的大小（的大小（l0除外）。除外）。取上式的正平方根，得角动量的大小：取上式的正平方根，得角动量的大小：若若有有可可能能总总角角动动量量等等于于其其z分分量量，这这意意味味着着x和和y分分量量为为零零，我我们们就就确确定定了了L的的所所有有三三个个分分量量了了。但但是是，由由于于角角动动量量分分量量彼此是不可对易的，所以不能这样做。彼此是不可对易的，所以不能这样做。一一个个例例外外是是l为为零零的的情情况况。在在此此情情况况下下，所所有有三三个个分分量量Lx，Ly，Lz的本征值都为零，角动量分量的不确定度满足：的本征值都为零，角动量分量的不确定度满足：用循环置换可得类似的两个式子。当三个分量的本征值为零时，用循环置换可得类似的两个式子。当三个分量的本征值为零时， ，从而允许，从而允许Lx=Ly=Lz=0。即可以同时测定这些值，但又不。即可以同时测定这些值，但又不是对易的。是对易的。表表明明：尽尽管管算算符符Lz与与Lx不不可可对对易易，但但有有可可能能算算符符Lz的的某某些些本本征征函函数数（如如l=0=m）是算符是算符Lx的本征函数。然而，不可能算符的本征函数。然而，不可能算符Lz的所有本征函数也是的所有本征函数也是Lx的本征函数。的本征函数。下面求某些角动量的本征函数：下面求某些角动量的本征函数： 因子为（推导过程略）：因子为（推导过程略）：（求和包括偶数或奇数的（求和包括偶数或奇数的j值，取决于值，取决于l|m|为偶或奇。）为偶或奇。）p对对l=0，有，有m=0， 因子为：因子为：代入归一化式子：代入归一化式子：本征函数为：本征函数为：所以，对所以，对l=0，本征函数不依赖于角度，即是球对称的。，本征函数不依赖于角度，即是球对称的。p对对l=1，m的可能值为的可能值为-1,0,1利用归一化公式得：利用归一化公式得：(w=cos )（2）m=0（1）|m|=1函函数数Sl,m( )在在数数学学中中是是非非常常著著名名的的，是是乘乘了了归归一一化化常常数数的的连连带带勒勒让让德德函函数数。连带勒让德函数定义为：连带勒让德函数定义为：这些函数与勒让德多项式有关，后者定义为：这些函数与勒让德多项式有关，后者定义为：由定义，有：由定义，有：可以证明：可以证明：和和 的本征函数（球谐函数）为：的本征函数（球谐函数）为：概括一下，一粒子轨道角动量的本征函数（如上式）和本征值是：概括一下，一粒子轨道角动量的本征函数（如上式）和本征值是：注：对于注：对于Lz的量子数，常使用的量子数，常使用ml代替代替m。由由于于不不能能确确定定Lx和和Ly，矢矢量量L可可处处于于以以z轴轴为为轴轴的的圆圆锥锥体体面面上上的的任任何何地地方方，如如下图：下图：对对l=1的情况，的情况，L相对于相对于z轴的可能取向如下图：轴的可能取向如下图：m=1m=0m=-1对对 的的每每一一个个本本征征值值，有有2l+1个个不不同同的的本本征征函函数数，对对应应于于m的的2l+1个个值值，称称 的本征值是（的本征值是（2l+1）重简并。（名称简并适用于任何算符的本征值）重简并。（名称简并适用于任何算符的本征值）当当然然，取取z轴轴并并无无什什么么特特别别，空空间间的的所所有有方方向向都都是是等等价价的的。然然而而，解解 的的本本征征方方程是较容易的（在球极坐标中有一简单的形式）。程是较容易的（在球极坐标中有一简单的形式）。6.3 角动量的阶梯算符法角动量的阶梯算符法p以以上上我我们们把把角角动动量量算算符符表表示示为为微微分分算算符符，并并求求解解所所得得的的微微分分方方程程，得得到到了了算算符符L和和Lz的本征值。的本征值。p实实际际上上，利利用用算算符符的的对对易易关关系系也也可可解解出出这这些些本本征征值值。本本节节的的做做法法适适用用于于任任何何满满足角动量对易关系的算符，特别是适用于自旋角动量（后述）。足角动量对易关系的算符，特别是适用于自旋角动量（后述）。以以前前用用字字母母L表表示示轨轨道道角角动动量量，现现用用字字母母M表表示示处处理理的的任任一一种种角角动动量量（轨轨道道和和自自旋），其旋），其x，y，z方向上的三个线性算符服从如下对易关系：方向上的三个线性算符服从如下对易关系：服服从从循循环环置置换换xyz定义算符定义算符 为：为：问题即为求算符问题即为求算符 的本征值。的本征值。首先，求算角动量平方算符及其分量的对易关系，根据上节的推导可知：首先，求算角动量平方算符及其分量的对易关系，根据上节的推导可知：所以可以有所以可以有 和和 的共同的本征函数。的共同的本征函数。其次，定义两个新的算符其次，定义两个新的算符递升算符递升算符 和和递降算符递降算符 阶梯算符阶梯算符同理可求：同理可求：关于阶梯算符与关于阶梯算符与 的对易子，有：的对易子，有：同理可求：同理可求：阶梯算符的性质阶梯算符的性质 用用递递升升算算符符作作用用于于本本征征函函数数Y，使使Y转转变变为为 的的另另一一本本征征函函数数，其其本本征征值值比比Y的本征值高的本征值高 。利用上述的利用上述的 及及 是线性算符的性质，有：是线性算符的性质，有： 用用Y表示表示 与与 的共同本征函数，有：的共同本征函数，有：（b和和c为本征值）为本征值）用递升算符作用于（用递升算符作用于（1）式，得：）式，得：移项移项若继续用递升算符作用于上式，同样求得：若继续用递升算符作用于上式，同样求得：重复运用递升算符重复运用递升算符k次次，给出：，给出：如果用递降算符作用于（如果用递降算符作用于（1）式，并运用）式，并运用同样可以求得：同样可以求得：欲证上式，首先指出欲证上式，首先指出 与与 和和 是可对易的。是可对易的。所所以以，用用递递升升算算符符和和递递降降算算符符作作用用于于具具有有本本征征值值为为b的的本本征征函函数数，给给出出一一个个本本征值的阶梯，每步之差为征值的阶梯，每步之差为 ：换言之，函数换言之，函数 是具有本征值是具有本征值 的的 的本征函数，即：的本征函数，即：实际上，上述函数也是实际上，上述函数也是 的本征函数，都具有同一个本征值的本征函数，都具有同一个本征值c，即：，即：可证：可证：进一步推知：进一步推知：如果用如果用 作用于作用于 ，并利用上式，得：，并利用上式，得：即为所证。即为所证。下面证明用阶梯算符生成的下面证明用阶梯算符生成的 的一套本征值是有限制的。的一套本征值是有限制的。对具有本征值对具有本征值b的特定本征函数的特定本征函数Y，有：，有：对由阶梯算符生成的一组本征函数和本征值，有：对由阶梯算符生成的一组本征函数和本征值，有：式中：式中：用用 减去上式，并利用：减去上式，并利用：用用 作用于作用于 ，有：，有：算符算符 对应一个非负的物理量，因而有非负的本征值。对应一个非负的物理量，因而有非负的本征值。由于由于k变化时变化时c保持不变，故上式表明本征值保持不变，故上式表明本征值bk是有上下限的。是有上下限的。令令bmax和和bmin分别表示分别表示bk的极大和极小值，的极大和极小值，Ymax和和Ymin是对应的本征函数：是对应的本征函数：用递升算符作用于（用递升算符作用于（1）式，得：）式，得：又因为：又因为：左端代入展开左端代入展开（物理上，总是弃去将零作为一个本征函数）（物理上，总是弃去将零作为一个本征函数）进而用递降算符作用于上式：进而用递降算符作用于上式：排除此矛盾的唯一方法是：排除此矛盾的唯一方法是： 同样的方法可以证明：同样的方法可以证明：对上式运用递升算符，可以求得：对上式运用递升算符，可以求得：两个两个c值的差值为：值的差值为：这是未知量这是未知量bmax的一个二次方程，解之得：的一个二次方程，解之得：由于第二个根表示由于第二个根表示bmax小于小于bmin，故舍去。，故舍去。又又 可知，可知，bmax与与bmin差差 的整数倍：的整数倍：两式联立，得：两式联立，得： 由上述的由上述的表表明明：除除了了整整数数的的角角动动量量量量子子数数（l=0,1,2）之之外外，也也可可能能有有半半整整数数的的（j=0,1/2,1,3/2,）。）。与前面讨论的轨道角动量的本征方程相比：与前面讨论的轨道角动量的本征方程相比：所以，仅用对易关系就可得到所以，仅用对易关系就可得到 与与 的本征值。的本征值。 由由于于轨轨道道角角动动量量微微分分算算符符的的特特殊殊形形式式排排除除了了半半整整数数值值 的的存存在在。所所以以，除除轨轨道道角角动动量量外外，可可能能还还有有另另外外一一种种角角动动量量存存在在，即即自自旋旋角角动动量量（具具有有半半整整数数量量子子数）。数）。阶梯算符法也可用于求解其它算符的本征值问题。阶梯算符法也可用于求解其它算符的本征值问题。