第二节第二节 函数的极限函数的极限自变量趋于无穷大时函数的极限自变量趋于无穷大时函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限函数极限的性质函数极限的性质小结小结播放播放一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:问题问题: 如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”.1、定义、定义3、几何解释、几何解释:例例1证证例例2证证二、自变量趋向有限值时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限1、定义：、定义：2、几何解释、几何解释:注意：注意：例例3证证例例4证证例例5证证函数在点函数在点x=1处没有定义处没有定义.例例6证明证明：对于对于 任给的任给的 ， 要使要使 首先限制，首先限制， 则容易得出则容易得出则：则：所以只要所以只要 即即取取 则当则当 时，时， 就有就有例例7(选）选）证证3.单侧极限单侧极限:例如例如,左极限左极限右极限右极限注意注意：给出了验证函数（特别是分段函数）：给出了验证函数（特别是分段函数） 极限存在性的方法极限存在性的方法例例8. 讨论当讨论当 时函数时函数 极限的存在性。极限的存在性。解：解： 由于由于所以所以左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,例例9证证例例10、 设函数设函数 ， 求求解、解、因为左右极限存在并且相等，所以因为左右极限存在并且相等，所以注：注： 当当 时，时， 的极限存在与否与函数在的极限存在与否与函数在 点点处是否有定义无关。处是否有定义无关。三、函数极限的性质三、函数极限的性质1.有界性有界性(局部有界性局部有界性)2.唯一性唯一性若若 存在，则存在，则 在点在点 的某个去心邻域内有界，的某个去心邻域内有界，若若 存在，则存在存在，则存在 当当 时时 ，函数，函数 有界。有界。推论推论3.不等式性质不等式性质定理定理( (保序性保序性) )定理定理( (保号性保号性) )推论推论4.（夹逼定理）（夹逼定理）设在点设在点 的某一去心邻域内，的某一去心邻域内， 有有 且且 ，则有，则有注：注：可以用来判别极限的存在性和求解极限可以用来判别极限的存在性和求解极限。例例11、 证明当证明当 时时 ， 解：解： 设设 n为不超过为不超过 x 的最大整数的最大整数5.子列收敛性子列收敛性(函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系)设设 在点在点 的某个去心邻域内有定义的某个去心邻域内有定义, 则则 的充要条件是的充要条件是 ,其中其中 为为 的该去心邻域中的该去心邻域中的任何数列，且的任何数列，且注：注：该结论可以用来验证验证函数极限的不存在性。该结论可以用来验证验证函数极限的不存在性。定理定理6:例例12证证二者不相等二者不相等,四、小结四、小结函数极限的统一定义函数极限的统一定义(见下表见下表)过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 作业作业P39 2. (2)(4)(6)4. 5. 6. 7. 8思考题思考题思考题解答思考题解答左极限存在左极限存在,右极限存在右极限存在,不存在不存在.一、填空题一、填空题:练练 习习 题题练习题答案练习题答案