4.3.3 4.3.3 线性系统与非线性系统的稳定性线性系统与非线性系统的稳定性分析分析 线性定常系统平衡状态的渐近稳定性的含义和非线性系线性定常系统平衡状态的渐近稳定性的含义和非线性系统的含义完全不同。统的含义完全不同。 在在线线性性定定常常系系统统中中，若若平平衡衡状状态态是是局局部部渐渐近近稳稳定定的的，则则它它是是大大范范围围渐渐近近稳稳定定的的。然然而而在在非非线线性性系系统统中中，不不是是大大范范围渐近稳定的平衡状态可能是局部渐近稳定的。围渐近稳定的平衡状态可能是局部渐近稳定的。 对于非线性系统的分析，基于对于非线性系统的分析，基于LyapunovLyapunov第一法的分析方第一法的分析方法永远不够，基于法永远不够，基于LyapunovLyapunov第二法的方法第二法的方法非线性系统的分析非线性系统的分析方法方法克拉索夫斯基法克拉索夫斯基法、Schultz-GibsonSchultz-Gibson变量梯度法变量梯度法、鲁鲁里叶里叶(Lure)(Lure)法法以及以及波波夫法波波夫法等。等。2021/3/111下面主要讨论非线性系统稳定性分析的两种方法下面主要讨论非线性系统稳定性分析的两种方法 1 1、克拉索夫斯基法、克拉索夫斯基法 2 2、变量梯度法、变量梯度法定理定理4.74.7 非线性系统方程为非线性系统方程为已知系统平衡状态为坐标原点已知系统平衡状态为坐标原点xe = 0 = 0 ，即，即f( (xe )=0,)=0,且且f( (x ) )对对xi处处是可微的，系统的雅可比矩阵为是可微的，系统的雅可比矩阵为2021/3/112则系统在xe =0处是渐近稳定的充分条件是：下列矩阵在所有x下都是负定的，而且是一个李亚普诺夫（Lyapunov）函数。对任意n维状态向量x，有对任意n维状态向量x，有标量标量2021/3/1132021/3/1142021/3/115例：设系统的状态方程为试用克拉索夫基法确定系统在平衡状态的 xe = 0 稳定性.解：2021/3/116由塞尔维斯特准则有2021/3/117关于定理的几点说明：（1）该定理对非线性系统的一个平衡状态只给出了稳定的充分条件，若 不是负定的，则不能给出任何结论。（2）使 为负定的必要条件是，F(x)主对角线上的所有元素不为零，即：2021/3/118（3）线性系统是非线性系统的特例，该定理也适应于线性定常系统。若A为非奇异，则当 为负定时，系统的平衡状态稳定。(4)(4)克拉索夫斯基方法主要适用于针对可线性化表示的函数，即克拉索夫斯基方法主要适用于针对可线性化表示的函数，即（a a）非线性特性可用解析表达式表示的单值函数；）非线性特性可用解析表达式表示的单值函数；（b b）非线性函数）非线性函数 对对 是可微的；是可微的；（c c）2021/3/119变量梯度法变量梯度法1）梯度的概念一个多元函数 v(x1,x2,xn) 存在对 n 个变量 xi 的偏导数 。 在控制问题中，偏导数是指n维空间中的运动质点运动到达某一位置时沿各个坐标方向的变化率。 把反映运动质点沿各个坐标方向的变化率的各偏导数作为分量，构成一个n维向量，称该向量为函数v(x1,x2,xn) 的梯度。习惯上用符号“V”表示。2021/3/11102）向量的曲线积分 变力做功问题：变力F沿着给定路径L所做的功可用曲线积分来计算。积分的结果与积分路径的选择无关。2021/3/11113）旋度方程 如果一个向量的曲线积分与积分路径选择无关，则向量的旋度必为零。 由向量的旋度为零可得出由 所组成的雅可比矩阵必为对称矩阵。2021/3/11124）变量梯度法求李氏函数式中式中 为为 维状态向量，维状态向量， 是变量是变量 , , , , , ,和和t t 的的 n n 维向量函数。维向量函数。设非线性系统方程为设非线性系统方程为 设系统的平衡状态是状态空间的原点，即设系统的平衡状态是状态空间的原点，即xe=0,e=0,若若要寻找的李氏函数为要寻找的李氏函数为v(x) = v(x1,x2,xn)2021/3/1113 李氏函数的求取变成求一个合适的梯度向量V。求取V利用了以下两个条件：1）由于V是一个向量，则n维广义旋度为0，故V必须满足以下旋度方程：2）由V计算出来的v (x)和 必须满足李氏函数稳定性的要求。2021/3/1114总结上述分析，如果非线性系统的平衡状态xe是渐近稳定，变量梯度法确定李氏函数的步骤概括如下：1）假定V是一个任意列向量，即：式中：aij(i,j=1,2,n)为待定系数,可以是常数，也可以是时间 t 的函数或状态变量的函数，通常 aij 选为常数或 t 的函数。2）由V写出 ，即：2021/3/11153）限定 是负定的或至少是负半定的，并用n(n-1)/2个旋度方程确定待定系数aij 。4）将得出的 重新校验负定性，因为旋度方程确定系数可能会使它改变。5）由V 的线积分求出 ，积分路径按式（4-44）给出。6）确定在平衡点处的渐近稳定性范围。注意：注意：用这种方法不能构造出一个合适的李氏函数时，并不意味着平衡状态是不稳定的。2021/3/1116例： 设非线性系统方程为利用变量梯度法构造李氏函数，并分析系统的稳定性。解：（1）假定v (x)的梯度为（2）写出 的形式2021/3/11172021/3/1118（4）求出李氏函数满足旋度方程条件，于是有可见，李氏函数是正定的。2021/3/1119式中式中P为为正定正定HermiteHermite矩阵矩阵（如果（如果 是实向量，且是实向量，且A是是实矩阵，则实矩阵，则P可取为正定的可取为正定的实对称矩阵实对称矩阵）。）。对于式对于式(4.3)(4.3)的系统，选取如下的系统，选取如下二次型二次型LyapunovLyapunov函数函数，即，即4.4 4.4 线性定常系统的线性定常系统的LyapunovLyapunov稳定性分析稳定性分析假设假设A A为非奇异矩阵，则有唯一的平衡状态为非奇异矩阵，则有唯一的平衡状态 ，其，其平衡状态的稳定性很容易通平衡状态的稳定性很容易通LyapunovLyapunov第二法进行研究。第二法进行研究。考虑如下线性定常自治系统考虑如下线性定常自治系统(4.3)(4.3)式中式中 。2021/3/1120沿任一轨迹的时间导数为沿任一轨迹的时间导数为为正定矩阵。为正定矩阵。 式中式中由于由于 取为正定，对于渐近稳定性，取为正定，对于渐近稳定性， 要求为负定的，要求为负定的，因此必须有：因此必须有：2021/3/1121因此，对于式因此，对于式(4.3(4.3）的系统，其渐近稳定的充分条件是）的系统，其渐近稳定的充分条件是Q Q正定。正定。这可归纳为如下定理。这可归纳为如下定理。为了判断为了判断n n n n维矩阵的正定性，维矩阵的正定性，可采用赛尔维斯特准则，可采用赛尔维斯特准则，即即矩阵为正定的充要条件是矩阵的所有主子行列式均为正值。矩阵为正定的充要条件是矩阵的所有主子行列式均为正值。然后检查由然后检查由在判别时在判别时 ，方便的方法，方便的方法，不是先指定一个正定矩阵不是先指定一个正定矩阵P P，然，然后检查后检查Q Q是否也是正定的，而是先指定一个正定的矩阵是否也是正定的，而是先指定一个正定的矩阵Q Q，确定的确定的P P是否也是正定的。是否也是正定的。2021/3/1122定理定理4.94.9 线性定常系统线性定常系统 在平衡点在平衡点 处渐近处渐近稳定的稳定的充要条件是：充要条件是：特别地，特别地，当当 时，可取时，可取 ( (正半定正半定) )。此时，此时，LyapunovLyapunov函数为函数为这里这里P、Q均为均为HermiteHermite矩阵或实对称矩阵。矩阵或实对称矩阵。对于对于 ， ，满足如下，满足如下LyapunovLyapunov方程方程2021/3/1123现对该定理作以下几点说明：现对该定理作以下几点说明：(1)(1) 如果系统只包含实状态向量如果系统只包含实状态向量 和实系统矩阵和实系统矩阵A，则，则LyapunovLyapunov函数函数 变为变为 ，且，且LyapunovLyapunov方程为方程为(2)(2) 如果如果 沿任一条轨迹不恒等于零，沿任一条轨迹不恒等于零， 则则Q可取正半定矩阵。可取正半定矩阵。 (3)(3) 如果取任意的正定矩阵如果取任意的正定矩阵Q，或如果，或如果 沿任一轨迹不沿任一轨迹不 恒等于零时取任意的正半定矩阵恒等于零时取任意的正半定矩阵Q，并求解矩阵方程，并求解矩阵方程以确定以确定P，则对于在平衡点，则对于在平衡点 处的渐近稳定性，处的渐近稳定性，P为正为正定是充要条件。定是充要条件。 2021/3/1124则则 沿任意轨迹不恒等于零。沿任意轨迹不恒等于零。 注意，注意，如果正半定矩阵如果正半定矩阵Q满足下列秩的条件满足下列秩的条件(4)(4) 只要选择的矩阵只要选择的矩阵Q为正定的（或根据情况选为正半定为正定的（或根据情况选为正半定的），则最终的判定结果将与矩阵的），则最终的判定结果将与矩阵Q的不同选择无关。的不同选择无关。2021/3/1125(5)(5) 为了确定矩阵为了确定矩阵P的各元素，可使矩阵的各元素，可使矩阵 和和矩阵矩阵 Q 的各元素对应相等。为了确定矩阵的各元素对应相等。为了确定矩阵P的各元素的各元素 将导致将导致n( (n-1)/2-1)/2个线性方程。个线性方程。如果用如果用 表示矩阵表示矩阵A的特征值，则每个特征的特征值，则每个特征值的重数与特征方程根的重数是一致的，并且如果每两个根值的重数与特征方程根的重数是一致的，并且如果每两个根的和的和 则则P的元素将唯一地被确定。的元素将唯一地被确定。注意，如果矩阵注意，如果矩阵A表示一个稳定系统，那么表示一个稳定系统，那么 的和的和总不等于零。总不等于零。(6)(6) 在确定是否存在一个正定的在确定是否存在一个正定的HermiteHermite或实对称矩阵或实对称矩阵P时，为时，为方便起见，通常取方便起见，通常取 ，I为单位矩阵。从而，为单位矩阵。从而，P的各元素可的各元素可按下式确定按下式确定然后再检验然后再检验P是否正定。是否正定。2021/3/1126上式可写为上式可写为此时实对称矩阵此时实对称矩阵P可由下式确定可由下式确定 解解 不妨取不妨取LyapunovLyapunov函数函数 显然，平衡状态是原点。显然，平衡状态是原点。试确定该系统的稳定性。试确定该系统的稳定性。 例例4.54.5 设二阶线性定常系统的状态方程为设二阶线性定常系统的状态方程为2021/3/1127从方程组中解出从方程组中解出 、 、 ，可得，可得为了检验为了检验P的正定性，可校核各主子行列式的正定性，可校核各主子行列式将矩阵方程展开，可得联立方程组为将矩阵方程展开，可得联立方程组为2021/3/1128 显然，显然，P是正定的。是正定的。因此，在因此，在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的，且原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的，且LyapunovLyapunov函数为函数为 此时此时2021/3/1129 例例4.64.6 试确定如图试确定如图4.34.3所示系统的增益所示系统的增益K K的稳定范围。的稳定范围。图图4.3 4.3 控制系统控制系统2021/3/1130 解解 容易确定系统的状态方程为容易确定系统的状态方程为在确定在确定K的稳定范围时，假设输入的稳定范围时，假设输入u为零。于是上式为零。于是上式可写为可写为(4.4)(4.4)(4.5)(4.5)(4.6)(4.6)2021/3/1131如果如果 恒等于零，恒等于零， 也必恒等于零，因为由式也必恒等于零，因为由式(4.6(4.6）可得）可得取取 恒等于零，意味着恒等于零，意味着 也恒等于零。也恒等于零。为了证实这一点，注意为了证实这一点，注意由于除原点外由于除原点外 不恒等于零，因此可选上式的不恒等于零，因此可选上式的Q。假设取正半定的实对称矩阵假设取正半定的实对称矩阵Q为为(4.7)(4.7)由式由式(4.4(4.4）到（）到（5.65.6）可发现，原点是平衡状态）可发现，原点是平衡状态2021/3/1132于是于是 只在原点处才恒等于零。因此，为了分析稳定只在原点处才恒等于零。因此，为了分析稳定性，可采用由式性，可采用由式(4.7(4.7）定义的矩阵）定义的矩阵Q。也可检验下列矩阵的秩也可检验下列矩阵的秩如果如果 恒等于零，恒等于零， 也恒等于零。因为由式也恒等于零。因为由式(4.4(4.4）可得）可得2021/3/1133显然，显然，对于对于 ，其秩为，其秩为3 3。因此可选择这样的。因此可选择这样的Q用用于于LyapunovLyapunov方程。方程。 求解如下求解如下LyapunovLyapunov方程为方程为它可重写为它可重写为2021/3/11342021/3/1135 对对P的各元素求解的各元素求解 为使为使P成为正定矩阵，其充要条件为成为正定矩阵，其充要条件为和和或或因此，因此，当时当时 ，系统在，系统在LyapunovLyapunov意义下是稳定意义下是稳定的，也就是说，原点是大范围渐近稳定的。的，也就是说，原点是大范围渐近稳定的。2021/3/1136对于线性定常系统，利用李亚普诺夫判据不但可以判对于线性定常系统，利用李亚普诺夫判据不但可以判断其原点平衡状态是否为渐近稳定，而且还可以对其自断其原点平衡状态是否为渐近稳定，而且还可以对其自由运动趋向原点平衡状态的收敛快慢作出估计由运动趋向原点平衡状态的收敛快慢作出估计。4.5 4.5 线性定常系统的稳定自由运动的衰减率线性定常系统的稳定自由运动的衰减率性能估计性能估计2021/3/1137考察线性定常自治系统考察线性定常自治系统 ， ， (4.8 (4.8）显然，显然， 越小，相应地自由运动衰减的越慢。越小，相应地自由运动衰减的越慢。来表征系统自由运动的衰减性能，来表征系统自由运动的衰减性能，称为衰减系数。称为衰减系数。(4.9)(4.9)当系统为渐近稳定时，当系统为渐近稳定时， 正定，而正定，而 为负定，因此引为负定，因此引入如下定义的一个正实数入如下定义的一个正实数4.5.1 4.5.1 衰减系数衰减系数系统的李雅普诺夫函数是系统状态的正定函数，系统的李雅普诺夫函数是系统状态的正定函数， 是系统某是系统某种种“能量能量”的度量，而的度量，而 则为则为“能量能量”随时间的变化速率。随时间的变化速率。2021/3/1138(4.12)(4.12)一般来说，直接由一般来说，直接由(4.11)(4.11)难以直接进行估计，一般取难以直接进行估计，一般取(4.11)(4.11)由此得出由此得出对对(4.9)(4.9)式两边积分得到式两边积分得到 (4.10)(4.10)2021/3/1139对线性定常系统，可以定出对线性定常系统，可以定出 随时间随时间 的衰减上界。的衰减上界。一旦定出一旦定出 ，则可定出，则可定出 随时间随时间 衰减上界。衰减上界。将将(4.12)(4.12)代入代入(4.11)(4.11)，得到，得到 (4.13)(4.13)2021/3/11404.5.2 4.5.2 计算计算 的关系式的关系式 的解阵的解阵P存在唯一且为正定。存在唯一且为正定。(4.14)(4.14) 对系统对系统(4.8)(4.8)式，当系统为渐近稳定时，对任意给定正定式，当系统为渐近稳定时，对任意给定正定对称阵对称阵Q ，李雅普诺夫方程，李雅普诺夫方程(4.15)(4.15)2021/3/1141证明（略）。证明（略）。几何含义为，几何含义为， 为状态空间为状态空间 的超平面上的超平面上极小点处的标量极小点处的标量 值。值。其中其中 表示表示 的最小特征值。的最小特征值。 结论：结论：对线性定常系统对线性定常系统(4.8),(4.8),设正定对称矩阵设正定对称矩阵成立：成立：(4.16)(4.16)2021/3/1142 例例4.64.6 设二阶线性定常系统的状态方程为设二阶线性定常系统的状态方程为求系统的求系统的LyapunovLyapunov函数，并求从封闭曲线函数，并求从封闭曲线v( (x) )=100边界上的边界上的一点到封闭曲线一点到封闭曲线v(x) =0.05内一点的响应时间上限。内一点的响应时间上限。 解解 : :显然，平衡状态是原点。不妨取显然，平衡状态是原点。不妨取LyapunovLyapunov函数函数 实对称矩阵实对称矩阵P可由下式确定可由下式确定上式可写为上式可写为2021/3/1143将矩阵方程展开，可得联立方程组为将矩阵方程展开，可得联立方程组为从方程组中解出从方程组中解出 、 、 ，可得，可得各主子行列式均大于零各主子行列式均大于零, ,P是是正定性的。正定性的。2021/3/11442021/3/11454.6 4.6 离散时间系统运动状态稳定性及其判据离散时间系统运动状态稳定性及其判据类似于连续时间系统，给出如下主要结论：类似于连续时间系统，给出如下主要结论：考虑定常离散时间系统考虑定常离散时间系统 （4.174.17）且设且设 即即 为平衡状态为平衡状态。结论结论1 1 离散系统的大范围淅近稳定判据离散系统的大范围淅近稳定判据 对于离散系统对于离散系统（4.174.17），）， 如果存在一个相对如果存在一个相对 的标量函数的标量函数 且对任意且对任意 满足满足: :为正定为正定; ;(i)(i)(ii)(ii)2021/3/1146 (iii)(iii) 当时当时 ， 有有 ; ;则原点平衡状态即则原点平衡状态即x=0x=0为大范围渐近稳定。为大范围渐近稳定。在实际运用结论在实际运用结论1 1时发现，时发现，由于条件由于条件(ii)(ii)偏于保守，以致偏于保守，以致对相当一些问题导致判断失败。因此，可相应对其放宽，对相当一些问题导致判断失败。因此，可相应对其放宽，而得到较少保守性的李亚普诺夫稳定性定理。而得到较少保守性的李亚普诺夫稳定性定理。2021/3/1147则原点平衡状态即则原点平衡状态即x=0x=0为大范围渐近稳定。为大范围渐近稳定。(iv)(iv)当当 时，时， 有有 ; ;(ii)(ii) 为负半定；为负半定；(i)(i) 为正定；为正定；结论结论2 2 离散系统的大范围渐近稳定判据离散系统的大范围渐近稳定判据 对于离散时间系对于离散时间系统（统（4.174.17），如果存在一个相对于），如果存在一个相对于 的标量函数的标量函数 ，且对任意，且对任意 满足满足: :(iii)(iii) 对由任意初态对由任意初态x(0)x(0)所确定的所确定的(4.17)(4.17)的解的解 的轨线，的轨线，不恒为零；不恒为零；2021/3/1148由结论由结论1 1，结论，结论3 3得证。得证。这样这样 负定。且当时负定。且当时 ， 。证明：证明：设设结论结论3 3：对离散时间系统对离散时间系统(4.17)(4.17)，且设，且设 ，则，则当当 收敛，即对所有收敛，即对所有 有有时，系统的原点平衡状态时，系统的原点平衡状态 即为大范围渐近稳定。即为大范围渐近稳定。(4.18)(4.18)2021/3/1149线性定常离散系统李亚普诺夫稳定性分析线性定常离散系统李亚普诺夫稳定性分析定理定理4-10：设线性定常离散系统为 x(k+1)=G x(k), x e = 0式中：xn维状态向量 Gn*n常系数非奇异矩阵则系统在平衡点处x e = 0大范围渐近稳定的充要条件是：对任意给定的正定对称矩阵Q，存在一个正定对称矩阵P，且满足如下矩阵方程： G T P G P = - Q并且v (x) =x T (k) P x (k) 是这个系统的李氏函数。2021/3/1150证明：证明：设所选李氏函数为 vx (k)=x T (k) P x (k)式中： P 为正定实对称矩阵。 vx(k) = vx(k+1) vx(k) = x T (k+1) P x (k +1) x T (k) P x (k) = G x(k) TP G x(k) x T (k) P x (k) = xT (k) GT P G x(k) x T (k) P x (k) = xT (k) GT P G P x (k) = xT (k) Q x (k) 李氏函数v (x) =x T (k) P x (k)选为正定，系统渐近稳定条件是 vx(k) = xT (k) Q x (k) 负定即 Q = (G T P G P ) 正定正定2021/3/1151因此，对于选定正定对称矩阵P，系统渐近稳定的充分条件是：Q为正定对称矩阵。反之对于选定正定对称矩阵Q ，由矩阵方程 Q = (G T P G P ) 解出P阵， P为正定对称矩阵是系统渐近稳定的必要条件。证毕。注意：注意：与线性定常系统类似，若 vx(k) = xT (k) Q x (k)沿任意解的轨迹不恒等于零，那么Q可取正半定矩阵。2021/3/1152李氏方法判断系统稳定的一般步骤：李氏方法判断系统稳定的一般步骤：1、确定系统的平衡状态；2、选定正定矩阵Q，一般选Q = I，则矩阵方程为 G T P G P) = I 由此解出P；3、判断P的正定性，若P正定，系统大范围渐近稳定，且 v (x) =x T (k) P x (k) 是这个系统李氏函数。2021/3/1153例：例：设离散系统的状态方程为 试确定系统在平衡点处渐近稳定的条件。解：解：选 Q = I，代入矩阵方程 G T P G P) = I2021/3/1154要使P正定对称矩阵，则要求要求特征根位于单位圆内，与经典理论判定一致。2021/3/1155例：例：设离散系统的状态方程为 试确定系统在平衡点处渐近稳定的条件。解：解：选 Q = I，代入矩阵方程 G T P G P) = I2021/3/11562021/3/11572021/3/11584.44.4 试写出下列系统的几个试写出下列系统的几个LyapunovLyapunov函数函数 并确定该系统原点的稳定性并确定该系统原点的稳定性4.54.5 试确定下列线性系统平衡状态的稳定性试确定下列线性系统平衡状态的稳定性2021/3/11592021/3/11604.14.1 试确定下列二次型是否为正定的。试确定下列二次型是否为正定的。4.24.2 试确定下列二次型是否为负定的。试确定下列二次型是否为负定的。4.34.3 试确定下列非线性系统的原点稳定性。试确定下列非线性系统的原点稳定性。 考虑下列二次型函数是否可以作为一个可能的考虑下列二次型函数是否可以作为一个可能的LyapunovLyapunov函数：函数：2021/3/11610xy0xyb-b0xy b-ba-aa-ab-b(a)(c)(b)N(x)r=0x(t)c(t)G(j)N(x)r=0x(t)c(t)G(j)yy12021/3/1162