C CS S| |S SWWU US ST TXDCXDC半群、独异点、群半群、独异点、群一、半群一、半群定定义义 一一个个代代数数系系统统，其其中中S是是非非空空集集合合，*是是一一个二元运算。如果满足：个二元运算。如果满足：（1）运算）运算 * 在在S上是封闭的。上是封闭的。（2）运算）运算 * 是可结合的，即对任意的是可结合的，即对任意的a，b，cS，（a* *b）* *c=a* *（b* *c） 则称代数系统则称代数系统为半群。为半群。1 1C CS S| |S SWWU US ST TXDCXDC例例 对于给定某集合对于给定某集合A，在该集合上定义运算，在该集合上定义运算为：为：xy=max（x，y），验证），验证是否构成半群。是否构成半群。解解 对于任意的对于任意的x，y，zA， xy A，所以满足，所以满足封闭性。封闭性。 （xy）z=max（max（x，y），），z）x（yz）=max（x，max（y，z）由于两个式子最后的结果都是由于两个式子最后的结果都是x，y，z中的最大数，因此，中的最大数，因此，（xy）z=x（yz）所以，满足结合所以，满足结合 律。律。 故，故，是半群。是半群。2 2C CS S| |S SWWU US ST TXDCXDC定定理理 设设是是一一个个半半群群，T是是P的的子子集集，且且 * * 在在T上上是是封封闭闭的的，那那么么也也是是一一个个半半群群。通常称通常称是半群是半群的子半群。的子半群。即即 半群的子代数也是半群。结合律是可继承的。半群的子代数也是半群。结合律是可继承的。定定义义 设设A和和B是是两两个个半半群群。函数函数h：ST，若对任意的，若对任意的a,b S,均有均有 h(a*b)=h(a) * h(b)则称则称h为从为从 A到到B的半群同态（函数）的半群同态（函数）3 3C CS S| |S SWWU US ST TXDCXDC定定义义 设设是是半半群群，若若eS，e是是幺幺元元，则则称称是独异点。是独异点。二、独异点二、独异点即即 含幺半群就是独异点。含幺半群就是独异点。定理定理 设设是一个独异点，是一个独异点，T是是S的子集，的子集，若若e T且且 * * 在在T上是封闭的，那么上是封闭的，那么也也是一个独异点。通常称是一个独异点。通常称是是的子的子独异点。独异点。4 4C CS S| |S SWWU US ST TXDCXDC定定义义 设设A和和B是是两两个个独异点。函数独异点。函数h：ST，若对任意的，若对任意的a,b S,均有均有 h(a*b)=h(a) * h(b)且且h(e)=e, 则则称称h为为从从 A到到B的的独独异异点点同同态态（函函数数）.5 5C CS S| |S SWWU US ST TXDCXDC设设是一个代数系统，是一个代数系统，*是是R上的一个二元运算，使上的一个二元运算，使得对于得对于R中的任意元素中的任意元素x，y都有都有x*y=x+y+x y，证明证明0是幺元而且是幺元而且是独异点（其中，是独异点（其中，R为实数集，为实数集，+为普通加法，为普通加法， 为普通乘法）为普通乘法） 证明：证明：1对于任意对于任意x，y R，x*y=x+y+x y，因为，因为+和和 在实数集合上封闭，所以在实数集合上封闭，所以x*y R；2 对于任意对于任意x，y，z R， x*（y*z）=x+（y+z+y z）+x （y+z+y z） =x+y+z+x y+x z+y z+x y z（x*y）*z =（x+y+ x y）+ z+（x+y+x y） z =x+y+z+x y+x z+y z+x y z 所以所以 x*（y*z）=（x*y）*z ，*在在R上可结合。上可结合。6 6C CS S| |S SWWU US ST TXDCXDC3 对于任意对于任意x R，因为，因为x*e=x+e+x e=x+e(x+1)=x， e*x=e+x+e x=x+e(1+x)=x， 所以所以e=0. x*0=0*x=x，0为幺元。为幺元。 综综上，上，是独异点。是独异点。 7 7C CS S| |S SWWU US ST TXDCXDC三、群三、群定定义义 设设是是一一个个代代数数系系统统，其其中中G是是非非空空集合，集合，* *是一个二元运算，如果满足：是一个二元运算，如果满足：（1）运算）运算 * * 是是G上封闭的。上封闭的。（2）运算）运算* *是可结合的。是可结合的。（3）存在么元）存在么元e。（4）对于每一个元素）对于每一个元素xG，存在着它的逆元，存在着它的逆元x-1-1。 则称则称是一个群。可记为是一个群。可记为8 8C CS S| |S SWWU US ST TXDCXDC例例 对对于于来来说说， I是是全全体体整整数数构构成成的的集集合合，+是普通加法是普通加法.我我们们知知道道，+对对于于I来来说说是是封封闭闭的的，可可结结合合的的，0 I是是幺幺元元，且且对对任任意意元元素素xI ，都都有有- -xI ，使得，使得x+(- -x)=0，因此，因此，是一个群。是一个群。同理，同理，也是群。也是群。但是但是就不是群。就不是群。因因为为1是是的的幺幺元元，但但是是对对于于0R就就没没有有逆元。逆元。9 9C CS S| |S SWWU US ST TXDCXDC若若 S1,1，为为 普通的乘法，证明普通的乘法，证明是是群。群。证明证明 ： 1）显然）显然 1，-1对对封闭封闭 2）结合律对一切数成立，当然对）结合律对一切数成立，当然对 1, 1 成立成立 3）1是幺元，是幺元， 4）1的逆元是的逆元是1，1的逆元是的逆元是1所以，所以，是群。是群。1010C CS S| |S SWWU US ST TXDCXDC群的性质群的性质 性质性质1 群中不可能有零元。群中不可能有零元。性质性质2 （等幂性）群中不存在除了幺元以外的等幂元。（等幂性）群中不存在除了幺元以外的等幂元。 性性质质3（逆逆元元唯唯一一性性）设设是是一一个个群群，对对于于a，bG，必存在唯一的必存在唯一的xG，使得，使得a* *x=b。性性质质4 （消消去去性性）设设是是一一个个群群，对对于于任任意意的的a，b，cG，如果有，如果有a* *b=a* *c或者或者b* *a=c* *a，则必有，则必有b=c。 性性质质5（互互异异性性）群群的的运运算算表表中中没没有有任任何何两两行行(或或两两列列)是是完完全相同的。全相同的。 性质性质6 6 设设是一个群，对于任意的是一个群，对于任意的a，bG，有，有 ( (a* *b)-1=b-1* *a-1。 1111C CS S| |S SWWU US ST TXDCXDC子群子群定定义义 设设是是一一个个群群，S是是G的的非非空空子子集集，若满足：若满足：(1)*(1)*在在S S上是封闭的上是封闭的 (2) (2)对任意对任意a a S,aS,a-1-1 S S (3)e (3)e是是的幺元，的幺元，e e S S则则也也构构成成群群，称称是是的的一一个子群。个子群。 定理定理 群中的幺元是它每个子群的幺元。群中的幺元是它每个子群的幺元。定义定义 设设是一个群，是一个群，是是的子群，如果的子群，如果S=e，或者，或者S=G，则称，则称为为的平凡子群。的平凡子群。 1212