26.3 26.3 实际问题与二次函数实际问题与二次函数第第1 1课时课时1.1.掌握商品经济等问题中的相等关系的寻找方法，并会掌握商品经济等问题中的相等关系的寻找方法，并会应用函数关系式求利润的最值；应用函数关系式求利润的最值；2.2.会应用二次函数的性质解决实际问题会应用二次函数的性质解决实际问题. .1. 1. 二次函数二次函数y=-2(x-3)y=-2(x-3)2 2+5+5的对称轴是的对称轴是 ，顶点坐标是，顶点坐标是 . .当当x=x= 时，时，y y的最的最 值值是是 . .2. 2. 二次函数二次函数y=-3(x+4)y=-3(x+4)2 2-1-1的对称轴是的对称轴是 ，顶点坐标是顶点坐标是 . .当当x=x= 时，函数有最时，函数有最_ _ 值，是值，是 . . 3.3.二次函数二次函数y=2xy=2x2 2-8x+9-8x+9的对称轴是的对称轴是 ，顶，顶点坐标是点坐标是 . .当当x=x= 时，函数有最时，函数有最_ 值，是值，是 . . x=3x=3（3 3，5 5）3 3大大5 5x=-4x=-4（-4-4，-1-1）-4-4大大-1-1x=2x=2（2,12,1）2 2小小1 1问题：用总长为问题：用总长为60m60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积的篱笆围成矩形场地，矩形面积S S随矩随矩形一边长形一边长l的变化而变化的变化而变化. .当当l是多少时，场地的面积是多少时，场地的面积S S最大最大？分析：先写出分析：先写出S S与与l的函数关系式，再求出使的函数关系式，再求出使S S最大的最大的l的值的值. .矩形场地的周长是矩形场地的周长是60m60m，一边长为，一边长为l，则另一边长为，则另一边长为 m m，场地的面积，场地的面积: :S=l(30-l)即即S=-l2+30l请同学们画出此函数的图象请同学们画出此函数的图象可以看出，这个函数的图可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是函数这条抛物线的顶点是函数图象的最高点，也就是说，图象的最高点，也就是说，当当l取顶点的横坐标时，这取顶点的横坐标时，这个函数有最大值个函数有最大值. .5 510101515 2020 25253030100100200200ls即即l是是15m15m时，场地的面积时，场地的面积S S最大最大. .（S=225S=225) )O O一般地，因为抛物线一般地，因为抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的顶点是最低（高）的顶点是最低（高）点，所以当点，所以当 时，二次函数时，二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c有最有最小（大）值小（大）值 . . 某商品现在的售价为每件某商品现在的售价为每件6060元，元，每星期可卖出每星期可卖出300300件，市场调查反件，市场调查反映：如调整价格，每涨价映：如调整价格，每涨价1 1元，每元，每星期少卖出星期少卖出1010件；每降价件；每降价1 1元，每元，每星期可多卖出星期可多卖出2020件，已知商品的件，已知商品的进价为每件进价为每件4040元，如何定价才能元，如何定价才能使利润最大？使利润最大？请同学们带着以下几个问题读题请同学们带着以下几个问题读题（1 1）题目中有几种调整价格的方法？）题目中有几种调整价格的方法？ （2 2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？发生了变化？分析分析: :调整价格包括涨价和降价两种情况调整价格包括涨价和降价两种情况先来看涨价的情况：先来看涨价的情况：设每件涨价设每件涨价x x元，则每星期售出商品元，则每星期售出商品的利润的利润y y也随之变化，我们先来确定也随之变化，我们先来确定y y与与x x的函数关系式的函数关系式. .涨涨价价x x元元, ,则每星期少卖则每星期少卖 件，实际卖出件，实际卖出 件件, ,每件利润为每件利润为 元，因此，所得利润元，因此，所得利润为为 元元. .10x10x(300-10x)(300-10x)(60+x-40)(60+x-40)（60+x-4060+x-40）(300-10x)(300-10x)y=(60+x-40)(300-10x)y=(60+x-40)(300-10x)(0x30)(0x30)即即y=-10y=-10（x-5x-5）2 2+6250+6250当当x=5x=5时，时，y y最大值最大值=6250=6250怎样确定怎样确定x x的取值范的取值范围围可以看出，这个函数的图可以看出，这个函数的图像是一条抛物线的一部分，像是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是函数这条抛物线的顶点是函数图像的最高点，也就是说图像的最高点，也就是说当当x取顶点坐标的横坐标时，取顶点坐标的横坐标时，这个函数有最大值这个函数有最大值.由公式由公式可以求出顶点的横坐标可以求出顶点的横坐标.所以，当定价为所以，当定价为6565元时，利润最大，最大利润为元时，利润最大，最大利润为62506250元元也可以这样求极值也可以这样求极值在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（1 1）的过程）的过程得出答案得出答案. .解析：解析：设降价设降价x x元时利润最大，则每星期可多卖元时利润最大，则每星期可多卖20x20x件，实件，实际卖出（际卖出（300+20x)300+20x)件，每件利润为（件，每件利润为（60-40-x60-40-x）元，因此，）元，因此，得利润得利润y=(300+20x)(60-40-x)y=(300+20x)(60-40-x) =-20(x =-20(x -5x+6.25)+6125-5x+6.25)+6125 =-20 =-20（x-2.5x-2.5）+6125+6125x=2.5x=2.5时，时，y y极大值极大值=6125=6125你能回答了吧！你能回答了吧！怎怎样样确确定定x的取的取值值范范围围（0 0x x2020）由由(1)(2)(1)(2)的讨论及现在的销售情况的讨论及现在的销售情况, ,你知道应该如何定价你知道应该如何定价能使利润最大了吗能使利润最大了吗? ?（1 1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；实际意义，确定自变量的取值范围；（2 2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值过配方求出二次函数的最大值或最小值. .解决这类题目的一般步骤解决这类题目的一般步骤1 1（20102010包头中考）将一条长为包头中考）将一条长为20cm20cm的铁丝剪成两的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是这两个正方形面积之和的最小值是 cmcm2 22.2.某商店某商店购进购进一种一种单单价价为为4040元的元的篮篮球，如果以球，如果以单单价价5050元售元售出，那么每月可售出出，那么每月可售出500500个，据个，据销销售售经验经验，售价每提高，售价每提高1 1元，元，销销售量相售量相应应减少减少1010个个. . (1)(1)假假设销设销售售单单价提高价提高x x元，那么元，那么销销售每个售每个篮篮球所球所获获得的利得的利润润是是_元，元，这这种种篮篮球每月的球每月的销销售量是售量是 个个( (用用x x的代数式表示的代数式表示) ) (2)8000(2)8000元是否元是否为为每月每月销销售售篮篮球的最大利球的最大利润润? ?如果是，如果是，说说明理由，如果不是，明理由，如果不是，请请求出最大月利求出最大月利润润, ,此此时篮时篮球的售价球的售价应应定定为为多少元多少元? ?x x+10+10500500 1010x x80008000元不是每月最大利润，最大月利润为元不是每月最大利润，最大月利润为90009000元，此时篮元，此时篮球的售价为球的售价为7070元元. .3.3.（20102010荆门中考）某商店经营一种小商品，进价为荆门中考）某商店经营一种小商品，进价为2.52.5元，据市场调查，销售单价是元，据市场调查，销售单价是13.513.5元时平均每天销售元时平均每天销售量是量是500500件，而销售单价每降低件，而销售单价每降低1 1元，平均每天就可以多售元，平均每天就可以多售出出100100件件. .（1 1）假设每件商品降低）假设每件商品降低x x元，商店每天销售这种小商品的元，商店每天销售这种小商品的利润是利润是y y元，请你写出元，请你写出y y与与x x之间的函数关系式，并注明之间的函数关系式，并注明x x的的取值范围；取值范围；（2 2）每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种）每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？（注：销售利润小商品的利润最大？最大利润是多少？（注：销售利润= =销售收入购进成本）销售收入购进成本）解：解：（1 1）降低）降低x x元后，所销售的件数是（元后，所销售的件数是（500+100x500+100x）, ,y=y=100x100x2 2+600x+5500 +600x+5500 （0 0x11 x11 ）（2 2）y=y=100x100x2 2+600x+5500 +600x+5500 （0 0x11 x11 ）配方得配方得y=y=100100（x x3 3）2 2+6400 +6400 当当x=3x=3时，时，y y的最大值是的最大值是64006400元元. .即降价为即降价为3 3元时，利润最大元时，利润最大. .所以销售单价为所以销售单价为10.510.5元时，最大利润为元时，最大利润为64006400元元. .4.4.（20112011菏泽中考）我市一家电子计算器专卖店每只进价菏泽中考）我市一家电子计算器专卖店每只进价1313元，售价元，售价2020元，多买优惠元，多买优惠 ；凡是一次买；凡是一次买1010只以上的，每只以上的，每多买多买1 1只，所买的全部计算器每只就降低只，所买的全部计算器每只就降低0.100.10元，例如，某元，例如，某人买人买2020只计算器，于是每只降价只计算器，于是每只降价0.10(20-10)=1(0.10(20-10)=1(元元),),因此，因此，所买的全部所买的全部2020只计算器都按照每只只计算器都按照每只1919元计算，但是最低价为元计算，但是最低价为每只每只1616元元. .(1).(1).求一次至少买多少只，才能以最低价购买？求一次至少买多少只，才能以最低价购买？(2).(2).写出该专卖店当一次销售写出该专卖店当一次销售x x( (只只) )时，所获利润时，所获利润y y( (元元) )与与x x之间的函数关系式，并写出自变量之间的函数关系式，并写出自变量x x的取值范围；的取值范围；（3 3）若店主一次卖的只数在）若店主一次卖的只数在1010至至5050只之间，问一次卖多少只之间，问一次卖多少只获得的利润最大？其最大利润为多少？只获得的利润最大？其最大利润为多少？ 【解析解析】(1)(1)设一次购买设一次购买x x只，才能以最低价购买，则有只，才能以最低价购买，则有: :0.1(x-10)=20-16,0.1(x-10)=20-16,解这个方程得解这个方程得x=50. x=50. 答：一次至少买答：一次至少买5050只，才能以最低价购买只，才能以最低价购买 (2) (2) （说明：因三段图象首尾相连，所以端点（说明：因三段图象首尾相连，所以端点1010、5050包括在哪个区间均可）包括在哪个区间均可）(3)(3)将将 配方得配方得 ，所以店主一次卖，所以店主一次卖4040只时可获得最高利润，最高利润为只时可获得最高利润，最高利润为160160元元. .（也可用公式（也可用公式法求得）法求得） 5.5.（20102010安徽中考）春节期间某水库养殖场为适应市场需求，连续用安徽中考）春节期间某水库养殖场为适应市场需求，连续用2020天时间，采用每天降低水位以减少捕捞成本的办法，对水库中某种天时间，采用每天降低水位以减少捕捞成本的办法，对水库中某种鲜鱼进行捕捞、销售九（鲜鱼进行捕捞、销售九（1 1）班数学建模兴趣小组根据调查，整理出）班数学建模兴趣小组根据调查，整理出第第x x天（天（1x201x20且且x x为整数）的捕捞与销售的相关信息如表：为整数）的捕捞与销售的相关信息如表：（1 1）在此期间该养殖场每天的捕捞量与）在此期间该养殖场每天的捕捞量与前一末的捕捞量相比是如何变化的？前一末的捕捞量相比是如何变化的？2 2）假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失，且）假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失，且能在当天全部售出，求第能在当天全部售出，求第x x天的收入天的收入y y（元）与（元）与x x（天）之（天）之间的函数关系式？（当天收入间的函数关系式？（当天收入= =日销售额日销售额- -日捕捞成本）日捕捞成本）试说明（试说明（2 2）中的函数）中的函数y y随随x x的变化情况，并指出在第几天的变化情况，并指出在第几天y y取得最大值，最大值是多少？取得最大值，最大值是多少？ 解：解：（1 1）该养殖场每天的捕捞量与前一天相比减少）该养殖场每天的捕捞量与前一天相比减少10kg10kg； （2 2）由题意，得）由题意，得（3 3）-2-20 0，y=-2xy=-2x2 2+40x+14250=-2+40x+14250=-2（x-10x-10）2 2+14450+14450，1x201x20且且x x为整数，为整数，当当1x101x10时，时，y y随随x x的增大而增大；的增大而增大；当当10x2010x20时，时，y y随随x x的增大而减小；的增大而减小；当当x=10x=10时即在第时即在第1010天，天，y y取得最大值，最大值为取得最大值，最大值为1445014450 1.1.主要学习了如何将实际问题转化为数学问题，特别是如主要学习了如何将实际问题转化为数学问题，特别是如何利用二次函数的有关性质解决实际问题的方法何利用二次函数的有关性质解决实际问题的方法. .2.2.利用二次函数解决实际问题时，根据利润公式等关系写利用二次函数解决实际问题时，根据利润公式等关系写出二次函数表达式是解决问题的关键出二次函数表达式是解决问题的关键. .