第第1 1章章 三角函数三角函数1.2.3 1.2.3 三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式1,利用利用单位圆单位圆表示任意角表示任意角的的三角函数值三角函数值xyoP(x,y)(1,0)的终边yxoP(x,y)(1,0)的终边xyoP(x,y)(1,0)的终边xyoP(x,y)(1,0)的终边如如左图，左图，由定义，由定义，都有都有： sin= y cos= x tan= y/x由此可得到由此可得到:诱导公式一诱导公式一 sin(+k360) = sin cos(+k360) = cos tan(+k360) = tan 其中其中 kZ思考思考: :终边相同的角的三角函数值有什么关系终边相同的角的三角函数值有什么关系? ?公式一可以用弧度表示为：公式一可以用弧度表示为：公式一有什么作用呢？公式一有什么作用呢？ 能把能把外的角的三角函数外的角的三角函数值，化化为间的角的三角函数求的角的三角函数求值来求来求 能否再把能否再把 间的角的三角函数的间的角的三角函数的值，化为我们熟悉的值，化为我们熟悉的 间的角的三角间的角的三角函数求值问题呢？函数求值问题呢？ 如如果果能能的的话话，那那么么任任意意角角的的三三角角函函数数求求值值，都都可可以以化化归归为为锐锐角角三三角角函函数数求求值值，下下面面就就来来讨论这一问题讨论这一问题公式一的用途公式一的用途任意角的三角函数值任意角的三角函数值0 360 角的三角函数值角的三角函数值0 90 角的三角函数值角的三角函数值本节课的内容本节课的内容（1）0 90 角的三角函数值用何法可求得？角的三角函数值用何法可求得？（2）90 360 的角的角能否与锐角能否与锐角相联系？相联系？设设090 ，那么，对于那么，对于 90 180 间的角，间的角，可表示成：可表示成：180 - -;180 270 间的角，间的角，可表示成：可表示成：180 +;270 360 间的角，间的角，可表示成：可表示成：360 - -;请思考：请思考：1，研究，研究180 +与与的三角函数值的关系的三角函数值的关系（1）锐角）锐角的终边与的终边与180 +角的终边，角的终边，位置关系如何？位置关系如何？（2）任意角）任意角与与180 +呢呢？yxoP(x,y)(1,0)的终边xyoP(x,y)(1,0)的终边180 180 +180 180 +的终边的终边的终边的终边180 180 +的终边的终边的终边的终边PP1，研究，研究180 +与与的三角函数值的关系的三角函数值的关系由由分析可得：分析可得：角角 180 180 +终边终边关系关系关于原点对称关于原点对称点的关系点的关系P(x,y)P(-x,-y)函数关系函数关系 sin= ysin= y coscos= x= xtantan= =y/xy/x sin(sin(180 180 +)= -y)= -y cos( cos(180 180 +)= -x)= -xtan (tan (180 180 +)=)=y/xy/x因此，可得：因此，可得：公式二公式二公式二的作用是什么呢？公式二的作用是什么呢？2，研究，研究 - -与与的三角函数值的关系的三角函数值的关系yxoP(x,y)(1,0)的终边的终边- -的终边的终边P角角 - - - - 终边终边关系关系关于关于X轴对称轴对称点的点的关系关系P(x,y)P(x,-y)函数函数关系关系 sin= ysin= y coscos= x= xtantan= = y/xy/x sin(sin(- - - - ) = ) = -y-y cos(cos(- - - - ) = ) = x x tan( tan(- - - - ) = ) = - -y/xy/x因此，可得：因此，可得：公式三公式三公式三的作用是什么呢？公式三的作用是什么呢？ 用用去代替公式二中的去代替公式二中的，再由公，再由公式三可得到一个什么样的关系式？式三可得到一个什么样的关系式？可得公式四可得公式四: +2k( +2k( kZ),-,kZ),-,的三等于的三等于的的同名三角函数值同名三角函数值, ,前面加上一个把个锐角时前面加上一个把个锐角时, ,原函数所在象限的符号原函数所在象限的符号. .利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数角三角函数 一般可按下面步骤进行一般可按下面步骤进行 02角的三角函数角的三角函数锐角三角函数锐角三角函数用用公式一公式一或公式三或公式三用用公式一公式一用用公式二、公式二、或四或四任意负角的三角函数任意负角的三角函数任意正角的三角函数任意正角的三角函数公式一：公式一：公式二：公式二： sin(+ksin(+k360360) = sin) = sin cos(+k cos(+k360360) = ) = coscos tan(+k tan(+k360360) = ) = tantan总结总结公式三：公式三：公式四：公式四：+2k( +2k( kZ),-,kZ),-,的三角函数于的三角函数于的的同名三角函数值同名三角函数值, ,前面加上一个把前面加上一个把看成一角时看成一角时, ,原函数所在象限的符号原函数所在象限的符号(4)sin(1200(4)sin(12000 0) )cos(1290cos(12900 0)+cos(-1020)+cos(-10200 0) )sinsin(-1050(-10500 0)+tan945)+tan9450 0(4)1/2(3)0巩固练习巩固练习: :化归化归: :负化正负化正, ,大化小大化小. . 1.1.求下列三角函数的值求下列三角函数的值 (1)sin(-1200(1)sin(-12000 0) (2)cos(47/6) ) (2)cos(47/6) (3)cos(/5)+cos(2/5)+cos(3/5)+cos(4(3)cos(/5)+cos(2/5)+cos(3/5)+cos(4/5)/5)18 下面我们来研究下面我们来研究与与/2的三角函数的三角函数值之间的关系值之间的关系设设是锐角是锐角,它的终边它的终边与单位圆的交点为与单位圆的交点为 P(x,y),则则/2的终的终边与单位圆的交点为边与单位圆的交点为 P1(y,x),由三角函数由三角函数的定义知的定义知:sin(/2)=xcos(/2)=y /2的三角函数值等于的三角函数值等于的余函数的余函数(正正弦函数与余弦函数互为余函数弦函数与余弦函数互为余函数)值值,前面加前面加上把上把看成是锐角时原函数所在象限的符看成是锐角时原函数所在象限的符号号.利用单位圆和三利用单位圆和三角函数的定义也角函数的定义也可以得到公式可以得到公式(六六)例题选讲例题选讲 /2,3/2的三角函数值等于的三角函数值等于的余的余函数函数(正弦函数与余弦函数互为余函数正弦函数与余弦函数互为余函数)值值,前面加上把前面加上把看成是锐角时原函数所在象限看成是锐角时原函数所在象限的符号的符号.-tan1、诱导公式：(公式一到六)口诀：奇口诀：奇变偶变偶不变，符号看象限不变，符号看象限意义：意义：2、求任意角的三角函数值的步骤、求任意角的三角函数值的步骤：任意角的三角函数任意角的三角函数相应正角的三角函数相应正角的三角函数 角的三角函数角的三角函数锐角的三角函数锐角的三角函数三角函数值三角函数值查表查表思想思想: 化归化归方法方法:负变正负变正,大变小大变小.1 已知已知sin( /4+ )=1/2,则sin(3 /4- )的的 值是是 。1/20 例例3:已知已知cos (750+ )=1/3, 求求cos(1050- )+cos(2850- )2 cos( -8 /3)+cos( +13 /3)= .巩固练习巩固练习: :0例例4: 4: 已知已知sin(x+sin(x+ /6)=1/4/6)=1/4求求sin(7sin(7 /6+x)+sin/6+x)+sin2 2(5(5 /6-x)/6-x)的的值。解解:sin(7/6+x)=sin(+/6+x:sin(7/6+x)=sin(+/6+x) )=-sin(/6+x)=-1/4=-sin(/6+x)=-1/4 又因为又因为sin(5/6-x)=sin-(5sin(5/6-x)=sin-(5-x)-x)=sin(x+/6)=1/4=sin(x+/6)=1/4所以，原式所以，原式转化思想转化思想化归化归变形变形: :1.已知已知sin( /4+ )=1/2,则sin(3 /4- )的的 值是是 。2.cos( -8 /3)+cos( +13 /3)= .3.已知角已知角 的终边上的一点的终边上的一点P(3a,4a) (a0) 则则cos(5400- )的值是的值是 。巩固练习巩固练习: :03/51/21/22:2:关于关于诱导公式的运用公式的运用问题在诱导公式运用中,不仅要注意公式的正用,还要注意公式的逆用、活用活用和变用.要做到灵活运用如何才能做到灵活运用？心中有公式，用时想公式，必要时变公式心中有公式，用时想公式，必要时变公式1 1、诱导公式：、诱导公式：( (公式一到六公式一到六) )口诀：奇变偶不变，符号看象限口诀：奇变偶不变，符号看象限课堂小结课堂小结: :