1.2.1 1.2.1 充分条件与必要条件充分条件与必要条件问题提出问题提出 1 1命题的概念及其一般形式是什么？命题的概念及其一般形式是什么？概念：概念：用语言、符号或式子表达的，可用语言、符号或式子表达的，可 以判断真假的陈述句以判断真假的陈述句形式：形式：“若若p p，则，则q”q” 2 2怎样理解四种命题的逻辑关系？怎样理解四种命题的逻辑关系？互逆互逆互逆互逆互否互否互否互否互互为为逆逆否否为为逆逆否否互互原命题：若原命题：若p p则则q q逆命题：若逆命题：若q q则则p p否命题：若否命题：若p p则则q q逆否命题：若逆否命题：若q q则则p p 3 3四种命题之间的真假关系如何？四种命题之间的真假关系如何？原命题与逆否命题同真同假；原命题与逆否命题同真同假； 原命题与逆命题原命题与逆命题( (否命题否命题) )真假不确定真假不确定 4 4某一天你和你妈妈在街上遇到老某一天你和你妈妈在街上遇到老师，你向老师介绍说：师，你向老师介绍说：“这是我妈这是我妈”，此时你妈妈还会不会补充说：此时你妈妈还会不会补充说：“他是我他是我儿儿”？在数学中，？在数学中，“甲是乙的妈甲是乙的妈”与与“乙是甲的儿乙是甲的儿”是一种什么逻辑关系？这是一种什么逻辑关系？这是我们需要了解的问题是我们需要了解的问题 探究（一）：推断符号的含义探究（一）：推断符号的含义 思考思考1:1:x xa a2 2b b2 2与与x x2ab2ab都不是命题，都不是命题，若以其中一个为条件另一个为结论可构若以其中一个为条件另一个为结论可构成命题吗？若能，其真假如何？成命题吗？若能，其真假如何？ 若若x xa a2 2b b2 2，则，则x x2ab2ab，是真命题；是真命题；若若x x2ab2ab，则，则x xa a2 2b b2 2，是假命题是假命题. .思考思考2 2：一般地，如果一般地，如果“若若p p，则，则q”q”为真为真命题，可理解为命题，可理解为“由由p p可推出可推出q”q”，记作，记作“ ”“ ”如果如果“若若p p，则，则q”q”为假命为假命题可怎样理解？用符号语言怎样表示？题可怎样理解？用符号语言怎样表示？由由p p不能推出不能推出q q ，记作，记作“ ”“ ”思考思考3 3：下列四个命题用推断符号分别怎下列四个命题用推断符号分别怎样表示？样表示？若若a ab b，则，则acacbcbc；若若a ab b，则，则a ac cb bc c；若若x0x0，则，则x x2 200； 若若x x1 1，则，则x x0 0 （a ab acb acbcbc）（a ab ab ac cb bc c）（x0 xx0 x2 200）（x x1 x1 x0 0） 探究探究( (二二) )：充分条件与必要条件的含义：充分条件与必要条件的含义 思考思考1 1：对于对于“x“x1 x1 x0”0”，可以理，可以理解为当解为当x x1 1时能充分保证时能充分保证x x0 0，在逻辑，在逻辑上，上，x x1 1叫做叫做x x0 0的的充分条件充分条件，同样，同样，x0x0是是x x2 200的充分条件，请再找出几个的充分条件，请再找出几个充分条件的实例充分条件的实例. .思考思考2 2：一般地，怎样定义一般地，怎样定义p p是是q q的充分条的充分条件？件？如果如果“ ”“ ”，则称，则称p p是是q q的充分条件的充分条件. .思考思考3 3：如果如果“ ”“ ”，则称，则称q q是是p p的的必要条件必要条件你能理解你能理解“必要必要”二字的含二字的含义吗？义吗？要使要使p p成立必须有成立必须有q q成立成立 思考思考4 4：从充分条件和必要条件的角度，从充分条件和必要条件的角度，怎样理解下列各组条件的关系？怎样理解下列各组条件的关系？（1 1）abab0 0与与a a0 0 ； （2 2）x x0 0与与|x|x|x x；（3 3）x x2 2y y2 2与与x xy y0 0； （4 4）“甲是乙的父亲甲是乙的父亲”与与“甲的年龄比甲的年龄比 乙大乙大”.”.思考思考5 5：一般地，若一般地，若A A是是B B的必要条件，如的必要条件，如何用推断符号连接何用推断符号连接A A、B B？ 探究探究( (三三) )：充分条件与必要条件的拓展：充分条件与必要条件的拓展 思考思考1 1：已知已知p:xp:x (0,1)(0,1)， q:x q:x ( (1 1，3)3)，则条件，则条件p p与与q q之间的逻辑关系之间的逻辑关系是什么？是什么？p p是是q q的充分条件；的充分条件；q q是是p p的必要条件的必要条件. .思考思考2 2：设设p p表示某元素属于集合表示某元素属于集合P P，q q表表示该元素属于集合示该元素属于集合Q Q，如何用集合的观点，如何用集合的观点理解理解p p是是q q的充分条件？的充分条件？ p p是是q q的充分条件：的充分条件：思考思考3 3：若若p p是是q q的充分条件，则的充分条件，则p p是是q q的什么条件？的什么条件？p p是是q q的必要条件的必要条件. . 思考思考4 4：若若p p是是q q的必要条件，则的必要条件，则p p是是q q的什么条件？的什么条件？p p是是q q的充分条件的充分条件. . 思考思考5 5：若若p p不是不是q q的充分条件，则的充分条件，则q q可能可能是是p p的必要条件吗？的必要条件吗？p p可能是可能是q q的必要条件的必要条件吗？吗？理论迁移理论迁移 例例1 1 下列下列“若若p p，则，则q q”形式的命题形式的命题中，那些命题中的中，那些命题中的p p是是q q的充分条件？那的充分条件？那些命题中的些命题中的p p是是q q的必要条件？的必要条件？（1 1）若）若x x1 1，则，则x x2 24x4x3 30 0；（2 2）若）若 x x2 2y y2 2，则，则x xy y；（3 3）若两个三角形的面积相等，则这两）若两个三角形的面积相等，则这两 个三角形全等；个三角形全等；（4 4）若）若f(x)f(x)x x，则，则f(x)f(x)在在R R上为增函上为增函 数；数；（5 5）若）若x x为无理数，则为无理数，则x x2 2为无理数为无理数. .充分条件充分条件必要条件必要条件必要条件必要条件充分条件充分条件必要条件必要条件 例例2 2 判断下列各组语句中，判断下列各组语句中，p p是是q q的的什么条件？什么条件？（1 1）p p：a ab b，q q：a a2 2b b； （2 2）p p：x x2 2x x0 0，q q：x x1 1；（3 3）p p：x2x2，q q：x x2 22x02x0； （4 4）p p：m m3 3， q q：方程：方程x x2 22x2xm m0 0无实根无实根. . 充分条件充分条件必要条件必要条件必要条件必要条件充分条件充分条件 1. 1.用推断符号连接的两个语句是命题用推断符号连接的两个语句是命题的简写形式，其中的简写形式，其中“ ”“ ”表示表示“若若p p，则，则q”q”为真命题；为真命题；“ ”“ ”表示表示“若若p p，则，则q”q”为假命题为假命题. . 小结作业小结作业 2. 2.充分条件与必要条件是共存的，充分条件与必要条件是共存的，即如果即如果p p是是q q的充分条件，则的充分条件，则q q是是p p的必要的必要条件；如果条件；如果p p是是q q的必要条件，则的必要条件，则q q是是p p的的充分条件；如果充分条件；如果p p不是不是q q的充分条件，则的充分条件，则q q也不是也不是p p的必要条件的必要条件. .作业：作业： P10P10练习：练习：1 1，2 2，3 3，4.4.1.2.2 1.2.2 充要条件充要条件问题提出问题提出 1. 1.充分条件与必要条件的含义分别是充分条件与必要条件的含义分别是什么？什么？如果如果“ ”“ ”，则称，则称p p是是q q的充分条件，的充分条件，且且q q是是p p的必要条件的必要条件. . 2. 2.对于两个语句，对于两个语句，p p可能是可能是q q的充分条的充分条件，件，p p也可能是也可能是q q的必要条件，除此以外的必要条件，除此以外 p p与与q q之间的逻辑关系还有哪些可能？之间的逻辑关系还有哪些可能？探究（一）：充要条件的含义探究（一）：充要条件的含义 思考思考1 1：已知已知p p：整数：整数a a是是6 6的倍数，的倍数，q q：整：整数数a a是是2 2和和3 3的倍数，那么的倍数，那么p p是是q q的什么条件的什么条件？你还能举出类似的实例吗？你还能举出类似的实例吗？ p p既是既是q q的充分条件，又是的充分条件，又是q q的必要条件的必要条件. .思考思考2 2：一般地，如果一般地，如果p p既是既是q q的充分条件，的充分条件，又是又是q q的必要条件，则称的必要条件，则称p p是是q q的充分必要的充分必要条件，简称条件，简称充要条件充要条件，用推断符号怎样，用推断符号怎样表述？表述？ 若若 ，则，则p p是是q q的充要条件的充要条件. .思考思考3 3：如果如果p p是是q q的充要条件，那么的充要条件，那么q q是是p p的什么条件？的什么条件？若若 ，则，则p p与与q q互为充要条件互为充要条件. .思考思考4 4：如果如果p p是是q q的充要条件，的充要条件，q q是是r r的的充要条件，那么充要条件，那么p p是是r r的什么条件？的什么条件？ p p是是r r的充要条件的充要条件探究（二）：充分、必要条件的分类探究（二）：充分、必要条件的分类 思考思考1 1：下列各组语句中，下列各组语句中，p p是是q q的什么条的什么条件？件？（1 1）p p：a a0 0，b b0 0，q q：a ab b0 0；（2 2）p p：四边形的四条边相等，：四边形的四条边相等， q q：四边形是正方形；：四边形是正方形；（3 3）p p：|x|x|1 1，q q：1 1x x1 1；（4 4）p p：a ab b，q q：a a2 2b b2 2. .充分充分必要必要充要充要既不充分也不必要既不充分也不必要思考思考2 2：上述问题表明了上述问题表明了p p与与q q之间存在四之间存在四种不同的逻辑关系，结合推断符号如何种不同的逻辑关系，结合推断符号如何阐述这四种关系？阐述这四种关系？若若 ，且，且 ，则，则p p是是q q的充分不必的充分不必要条件；要条件； 若若 ，且，且 ，则，则p p是是q q的必要不充的必要不充分条件；分条件； 若若 ，且，且 ，则，则p p是是q q的充要条件；的充要条件；若若 ，且，且 ，则，则p p是是q q的既不充分也的既不充分也不必要条件不必要条件. .思考思考3 3：如何从原命题和逆命题的真假性如何从原命题和逆命题的真假性理解上述四种关系？理解上述四种关系？原命题为真逆命题为假；原命题为真逆命题为假； p p是是q q的充分不必要条件，的充分不必要条件， p p是是q q的必要不充分条件，的必要不充分条件， p p是是q q的充分不必要条件，的充分不必要条件， p p是是q q的充要条件，的充要条件， 原命题为假逆命题为真；原命题为假逆命题为真； 原命题、逆命题都为真；原命题、逆命题都为真； 原命题、逆命题都为假原命题、逆命题都为假. . 思考思考4 4：设集合设集合A Ax|xx|x满足条件满足条件pp，B Bx|xx|x满足条件满足条件qq，如何用集合观点理解，如何用集合观点理解上述四种关系？上述四种关系？ A A是是B B的真子集；的真子集； p p是是q q的充分不必要条件，的充分不必要条件， p p是是q q的必要不充分条件，的必要不充分条件， p p是是q q的充分不必要条件，的充分不必要条件， p p是是q q的充要条件，的充要条件， B B是是A A的真子集；的真子集； A AB B； A A与与B B互不包含互不包含. . 理论迁移理论迁移 例例1 1 下列各题中，那些下列各题中，那些p p是是q q的充要条的充要条件件（1 1）p p：b b0 0， q q：f(x)f(x)axax2 2bxbxc c是偶函数；是偶函数；（2 2）p p：x x0,y0,y0 0，q q：xyxy0 0；（3 3）p p：a ab b，q q：a ac cb bc c；（4 4）p p：两直线平行；：两直线平行； q q：两直线的斜率相等：两直线的斜率相等. . 例例2 2 已知：已知：OO的半径为的半径为r r，圆心，圆心O O到到直线直线l的距离为的距离为d.d.求证：求证：d dr r是直线是直线l与与OO相切的充要条件相切的充要条件. .O OlP PA A 例例3 3 求证求证|a|a|b|b|a|ab|b|的充要条的充要条件是件是ab0.ab0. 例例4 4 设设a a为常数，求函数为常数，求函数f(x)f(x)cos2x2xa asin2x2x的图象关于直线的图象关于直线 对称的对称的充要条件充要条件. . 是是q q的充分条件包括两种可能，即的充分条件包括两种可能，即p p是是q q的充分不必要条件或的充分不必要条件或p p是是q q的充要条件；的充要条件；同样，同样，p p是是q q的必要条件也包括两种可能，的必要条件也包括两种可能，即即p p是是q q的必要不充分条件或的必要不充分条件或p p是是q q的充要的充要条件条件. .小结作业小结作业 2. 2.关于充要条件命题的证明，一般分关于充要条件命题的证明，一般分充分性和必要性两个方面进行，其中由充分性和必要性两个方面进行，其中由条件推出结论就是充分性，由结论推出条件推出结论就是充分性，由结论推出条件就是必要性条件就是必要性. . 3. 3.充要条件是一种等价关系，许多数充要条件是一种等价关系，许多数学问题的求解，就是求结论成立的充要学问题的求解，就是求结论成立的充要条件条件. . 在判断在判断p p是是q q的什么条件时，要的什么条件时，要“正逆互推，注意特例正逆互推，注意特例”.”.作业：作业：P12P12练习：练习：1 1，2.2. P13P13习题组：习题组：2.2.