ExH线性代数NANJING FORESTRY UNIVERSITY线性代数线性代数金婷金婷 办公室：办公室：0265地址地址：主楼二楼主楼二楼1ExH线性代数NANJING FORESTRY UNIVERSITY第一章第一章 行列式行列式2ExH线性代数NANJING FORESTRY UNIVERSITY 行列式的概念起源于求解线性方程组，但行列式理论早已超出了解线性方程组的范围，而被广泛应用于力学、工程数学以及其他科学领域。本章介绍行列式的概念、性质、求解方法以及用行列式求解n元线性方程组的克拉姆法则。 3ExH线性代数NANJING FORESTRY UNIVERSITY1.1 二阶与三阶行列式4ExH线性代数NANJING FORESTRY UNIVERSITY用消元法解二元线性方程组用消元法解二元线性方程组由方程可得由方程可得 (1)(1)(2(2) )一一. .二元线性方程组与二阶行列式二元线性方程组与二阶行列式5ExH线性代数NANJING FORESTRY UNIVERSITY由由(1)-(2)(1)-(2)得得(1)(1)(2(2) )当系数不为零时当系数不为零时 同理可得同理可得 6ExH线性代数NANJING FORESTRY UNIVERSITY 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表称列）的数表定义定义1.1.1即即7ExH线性代数NANJING FORESTRY UNIVERSITY主对角线主对角线副对角线副对角线对角线法则对角线法则二阶行列式的计算二阶行列式的计算若记若记对于二元线性方程组对于二元线性方程组系数行列式系数行列式8ExH线性代数NANJING FORESTRY UNIVERSITY9ExH线性代数NANJING FORESTRY UNIVERSITY10ExH线性代数NANJING FORESTRY UNIVERSITY11ExH线性代数NANJING FORESTRY UNIVERSITY则二元线性方程组的解为则二元线性方程组的解为注意注意 分母都为原方程组的系数行列式，且分母都为原方程组的系数行列式，且不能为零不能为零.12ExH线性代数NANJING FORESTRY UNIVERSITY例例1.1.2 求解二元线性方程组求解二元线性方程组解解 由于由于13ExH线性代数NANJING FORESTRY UNIVERSITY因此因此 我们自然要问：三元线性方程组的解是否有类我们自然要问：三元线性方程组的解是否有类似的形式？回答是肯定的。下面我们介绍三阶行列似的形式？回答是肯定的。下面我们介绍三阶行列式的定义。式的定义。14ExH线性代数NANJING FORESTRY UNIVERSITY二、三阶行列式二、三阶行列式定义定义定义定义记记记记（6 6）式称为数表（）式称为数表（5 5）所确定的）所确定的三阶行列式三阶行列式三阶行列式三阶行列式. .15ExH线性代数NANJING FORESTRY UNIVERSITY(1)(1)沙路法沙路法三阶行列式的计算三阶行列式的计算. .列标列标行标行标16ExH线性代数NANJING FORESTRY UNIVERSITY(2)(2)(2)(2)对角线法则对角线法则对角线法则对角线法则注意注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号说明说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式17ExH线性代数NANJING FORESTRY UNIVERSITY 如果三元线性方程组如果三元线性方程组的系数行列式的系数行列式 利用三阶行列式求解三元线性方程组利用三阶行列式求解三元线性方程组 2 2. . 三阶行列式包括三阶行列式包括3!3!项项, ,每一项都是位于不同行每一项都是位于不同行, ,不同列的三个元素的乘积不同列的三个元素的乘积, ,其中三项为正其中三项为正, ,三项为三项为负负. .18ExH线性代数NANJING FORESTRY UNIVERSITY若记若记或或19ExH线性代数NANJING FORESTRY UNIVERSITY记记即即20ExH线性代数NANJING FORESTRY UNIVERSITY21ExH线性代数NANJING FORESTRY UNIVERSITY得得22ExH线性代数NANJING FORESTRY UNIVERSITY得得23ExH线性代数NANJING FORESTRY UNIVERSITY则三元线性方程组的解为则三元线性方程组的解为:24ExH线性代数NANJING FORESTRY UNIVERSITY例例例例 解解解解按对角线法则，有按对角线法则，有25ExH线性代数NANJING FORESTRY UNIVERSITY例例例例3 3 3 3解解解解方程左端方程左端26ExH线性代数NANJING FORESTRY UNIVERSITY例例4 4 解线性方程组解线性方程组解解解解由于方程组的系数行列式由于方程组的系数行列式27ExH线性代数NANJING FORESTRY UNIVERSITY同理可得同理可得故方程组的解为故方程组的解为:28ExH线性代数NANJING FORESTRY UNIVERSITY 二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的程组引入的.对角线法则对角线法则二阶与三阶行列式的计算二阶与三阶行列式的计算三、小结29ExH线性代数NANJING FORESTRY UNIVERSITY思考题思考题30ExH线性代数NANJING FORESTRY UNIVERSITY思考题解答思考题解答解解设所求的二次多项式为设所求的二次多项式为由题意得由题意得得一个关于未知数得一个关于未知数 的线性方程组的线性方程组,又又得得31ExH线性代数NANJING FORESTRY UNIVERSITY故所求多项式为故所求多项式为32ExH线性代数NANJING FORESTRY UNIVERSITY 类似地，我们可以用三阶行列式定义四阶行列类似地，我们可以用三阶行列式定义四阶行列式。以此类推，我们可以得到式。以此类推，我们可以得到n阶行列式的定义。阶行列式的定义。为此，我们先引入为此，我们先引入全排列全排列与与逆序数逆序数的概念。的概念。Down33