向量的加法向量的加法( (三角形法则三角形法则) )如图如图, ,已知向量已知向量a a和向量和向量b b, ,作向量作向量a+ba+b. .ab作法作法:在在平面中任取平面中任取一点一点o,o,aAbBa+b过过O作作OA= a则则OB= a+b.过过A作作AB= bo向量的加法向量的加法(平行四边形法则平行四边形法则)如图如图,已知向量已知向量a和向量和向量b,作向量作向量a+b.a作法作法:在在平面中任取一点平面中任取一点o,oaAbBb以以OA,OBOA,OB为边作为边作平行四边形平行四边形a+bC过过O作作OA= a过过O O作作OBOB= = b b则则对角线对角线OCOC= = a+ba+b向量的减法向量的减法(三角形法则）三角形法则）如图如图,已知向量已知向量a和向量和向量b,作向量作向量a-b.ab作法作法:在在平面中任取一点平面中任取一点o o,oaAbBa-b过过O O作作OAOA= = a a过过O O作作OBOB= = b b则则BABA= = a-ba-b试试作出：作出： a+a+a 和和 (-a)+(-a)+(-a)已知非零向量已知非零向量 a （如图）如图）aaaaOOA AB BC C-a-a-aOOA AB BC C一般地，实数一般地，实数一般地，实数一般地，实数 与向量与向量与向量与向量a a的的的的积积是一个是一个是一个是一个向量向量，这种运算叫做这种运算叫做这种运算叫做这种运算叫做向量的数乘运算向量的数乘运算向量的数乘运算向量的数乘运算，记作，记作，记作，记作 a a，它的它的它的它的长度长度长度长度和和和和方向方向方向方向规定如下：规定如下：规定如下：规定如下：(1) |(1) |aa|=|=| | | | |a a| |特别地，当特别地，当特别地，当特别地，当=0=0或或或或a=0a=0时时时时, , aa=0=0(2) (2) 当当当当00时时时时, ,aa的方向与的方向与的方向与的方向与a a方向相同；方向相同；方向相同；方向相同； 当当当当00时时时时, ,aa的方向与的方向与的方向与的方向与a a方向相反；方向相反；方向相反；方向相反；设设设设a, ba, b为任意向量，为任意向量，为任意向量，为任意向量，,为任意为任意为任意为任意实数实数实数实数，则有：，则有：，则有：，则有： 向量的加、减、数乘运算统称为向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算向量的线形运算。对于任意的向量对于任意的向量 以及任意实数以及任意实数 恒有恒有对于向量对于向量 a (a0), b ，以及实数以及实数,问题问题1：如果：如果 b=a , 那么，向量那么，向量a与与b是否共线？是否共线？问题问题2：如果：如果 向量向量a与与b共线共线 那么，那么，b=a ？向量向量 b 与非零向量与非零向量 a 共线共线当且仅当当且仅当有且只有一个实数有且只有一个实数，使得使得 b=a 例例2 如图，已知如图，已知AD=3AB，DE=3BC，试试判断判断AC与与AE是否共线。是否共线。向量向量 b 与非零向量与非零向量 a 共线共线当且仅当当且仅当有且只有一个实数有且只有一个实数，使得使得 b=a 例例3.已知任意的非零向量已知任意的非零向量 如图，试做向量如图，试做向量你能判断你能判断A、B、C三点的位置关系吗？为什么？三点的位置关系吗？为什么？小结回顾小结回顾一、一、一、一、a 的定义及运算律的定义及运算律 向量共线定理向量共线定理 (a0) b=a 向量向量a与与b共线共线 二、定理的应用：二、定理的应用：二、定理的应用：二、定理的应用： 1. 1. 证明证明证明证明 向量共线向量共线向量共线向量共线 2. 2. 证明证明证明证明 三点共线三点共线三点共线三点共线: AC=: AC= ABAB A,B,C A,B,C三点共线三点共线三点共线三点共线