24.1.1圆 课时目标1.理解圆的有关概念,发展学生抽象思维能力的核心素养.2.理解弧、弦的概念,了解等圆、等弧的概念,培养学生观察、操作、归纳、猜想的能力以及增强学生的合作意识,进一步发展空间观念的核心素养.3.灵活运用圆的概念解决一些实际问题,培养学生会用数学知识解决简单几何问题的能力. 学习重点圆的两种定义、相关概念以及弧的表示方法. 学习难点对弧及优弧、劣弧的概念的感知与理解. 课时活动设计情境引入观察下列图形,从中找出共同特点并想一下生活中还有哪些物品有这种特点. 设计意图:由大量的现实图片引出,给学生产生视觉上的强烈冲击,产生强烈的求知欲,为下面探究新知识打下基础.让学生感悟数学来源于生活并应用与生活的辨证思想,初步感受圆的概念.探究新知圆的概念如图,观察画圆的过程,你能说出圆是如何画出来的吗?学生讨论:在一个平面内,一条线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A形成的图形就是圆.教师总结:圆:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆;圆心:固定的端点O叫做圆心;半径:线段OA叫做半径.圆的表示方法:以点O为圆心的圆,记作O,读作“圆O”.同时从圆的定义中归纳:(1)圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径r);(2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上.于是得到圆的第二定义:所有到定点O的距离等于定长r的点的集合叫做圆. 设计意图:引导学生从几何角度出发观察圆的形成过程,从做圆的过程自然过渡到圆的定义,把生活中的情景抽象为平面图形,让学生表述,明确圆的定义.典例精讲例1矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O.求证:A,B,C,D四个点在以点O为圆心的同一个圆上.证明:四边形ABCD是矩形,OA=OC=12AC,OB=OD=12BD,AC=BD.OA=OC=OB=OD.A,B,C,D四个点在以点O圆心,OA为半径的圆上. 设计意图:圆的定义的应用.在此过程中培养学生的表达能力和总结能力,学会用数学语言表达现实世界.探究新知弦、直径、弧的概念讨论圆中相关元素的定义.如下图,你能说出弦、直径、弧、半圆的定义吗?学生小组讨论,讨论结束后派一名代表发言进行交流,在交流中逐步完善自己的结果.教师归纳:弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦.直径:经过圆心的弦叫做直径.弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.弧的表示方法:以A,B为端点的弧记作AB,读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆:圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆.优弧:大于半圆的弧叫做优弧,用三个点表示,如图中的ABC.劣弧:小于半圆的弧叫做劣弧,如图中的AC.等圆:能够重合的两个圆叫等圆.半径相等的两个圆是等圆.反过来,同圆或等圆的半径相等.等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧. 设计意图:弦、直径、弧、半圆这些定义有的在小学接触过,有的从字面可以猜出一二,结合图形可以锻炼学生的语言表达能力,进一步培养严密的数学表达能力.巩固训练1.下列语句中,正确的是(B)A.大于劣弧的弧叫做优弧B.小于半圆的弧叫做劣弧C.圆上两点间的部分叫做弦 D.过圆心的线段叫做圆的直径2.若一个圆中最长的弦长为8 cm,则这个圆的半径是4cm.3.下列说法中正确的是.矩形的四个顶点在同一个圆上;菱形的四个顶点在同一个圆上;直角三角形的三个顶点在同一个圆上;平行四边形的四个顶点在同一个圆上.4.下列说法正确的是.圆中的线段是弦;直径是圆中最长的弦;优弧一定大于劣弧;半径相等的两个圆是等圆;长度相等的两条弧是等弧. 设计意图:学生通过例题进一步熟悉圆的相关性质,并学会解决问题.旧知识和新知识的结合体现了不同单元内容之间的延续性和关联性,在此过程中也培养了学生思维的多样性,促进了学生对教学内容的整体理解和把握,培养学生的核心素养.课堂小结(1)通过今天的学习,你有哪些收获?(2)你是否明确圆的两种定义、弦、弧等概念? 设计意图:进一步回忆、巩固本节所学.课堂8分钟.1.教材第81页练习第3题.2.七彩作业.24.1.1圆 1.圆的概念.2.与圆有关的概念.弦、直径、弧(优弧和劣弧)、半圆、等圆、等弧.3.例题讲解. 教学反思 24.1.2垂直于弦的直径 课时目标1.研究圆的对称性,掌握垂径定理,发展学生抽象思维能力的核心素养.2.培养学生观察、操作、归纳、猜想的能力以及增强学生的合作意识,进一步发展空间观念的核心素养.3.学会运用垂径定理及解决一些有关证明、计算,培养学生会用数学知识解决简单几何问题的能力. 学习重点利用圆的轴对称性研究垂径定理及其应用. 学习难点垂径定理的证明,以及应用时如何添加辅助线. 课时活动设计观察思考赵州桥是我国隋代建造的石拱桥,距今约有1400年的历史,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23 m,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗? 设计意图:从学生熟悉的历史事物中提出问题、设置悬疑、激发学生的学习兴趣,让学生体会生活中数学随处可见,体会数学如何被用来解决生活中的实际问题.教师PPT展示赵州桥的图片,并提出问题,引导学生思考.注意:这里只提出问题,学生暂时还不能解答.探究新知合作探究剪一个圆形纸片,沿着它的任意一条直径对折,重复做几次,你发现了什么?教师提出问题,并让学生拿出事先准备好的圆形纸片,动手操作,观察,学生充分交流后,教师汇总补充,最后PPT动态展示.在此基础上追问:由此你能得到什么结论?你能证明你的结论吗?教师总结学生得出的结论:圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.教师引导学生发现,要证明圆是轴对称图形,只需要证明圆上任意一点关于直径所在的直线(对称轴)的对称点也在圆上.如图,设CD是O的任意一条直径,A为O上点C,D以外的任意一点.证明点A关于直线CD的对称点仍在O上.证明:过点A作AACD,交O于点A,垂足为M,连接OA,OA.在OAA中,OA=OA,OAA是等腰三角形.又AACD,AM=MA.即CD是AA的垂直平分线.教师可在圆上任取若干个点进行说明,进一步验证前面得到的结论.圆的对称性:圆是轴对称图形;任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴. 设计意图:通过证明引导学生思考,使学生充分经历操作、观察、猜想、验证等合情推理的过程,初步培养学生分析问题、解决问题的能力.合作探究在刚刚的证明过程中,你能发现图中有哪些相等的线段、弧吗?教师再次动态展示折纸的过程,让学生观察,并在此基础上得出结论.并尝试让学生用语言描述所得到的结论,教师引导并补充完善.垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.教师带领学生分析垂径定理的题设,结论.并试着结合图形把文字语言转化为数学语言.下列图形是否具备垂径定理的条件?教师提出问题,学生抢答.对于不具备垂径定理条件的图形,引导学生说出原因,并追问:怎样修改图(2)、(4)能够满足垂径定理的条件?教师带领学生观察修改后的图片,引导学生总结:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.其中,直径并不是必要条件,只要满足过圆心即可.当直径CD平分一条弦AB(不是直径)时,能否得出CDAB?教师提出问题,引导学生仿照前面的证明方法证明,并用文字语言描述所得结论,得出垂径定理的推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.教师追问:为什么强调“不是直径”呢? 设计意图:再次观察折叠圆的过程,让学生在理解圆的对称性的基础上进一步发现相等的线段、弧,尝试总结出垂径定理.想一想判断下列说法是否正确:1.垂直于弦的直线平分弦,并且平分弦所对的两条弧.()2.平分弦的直径垂直于弦.()3.平分一条直径的弦必垂直于这条直径.() 设计意图:巩固所学知识,加深对知识的理解.延伸垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.垂径定理的推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.教师带领学生归纳出垂径定理及推论中,蕴含的五个条件:过圆心;垂直于弦;平分弦;平分弦所对的优弧;平分弦所对的劣弧.并引导学生发现,垂径定理是;垂径定理的推论是.追问:还有别的结论吗?条件结论垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分这条弦,并且平分弦所对的另一条弧弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧 设计意图:在已有知识的基础上适当延伸拓展,使学生能够理解这5个条件可以知二推三,锻炼学生的思维能力及灵活运用所学知识的能力.典例精讲通过这节课的学习,现在你能解决课程一开始的问题了吗?例赵州桥是我国隋代建造的石拱桥,距今约有1400年的历史,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23 m,求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位).解:如图,用AB表示主桥拱,设AB所在的圆的圆心为O,半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线OC,D为垂足,OC与AB相交于点C,连接OA.根据垂径定理,D是AB的中点,C是AB的中点,CD就是拱高.由题设可知AB=37,CD=7.23,所以AD=12AB=1237=18.5,OD=OC-CD=R-7.23.在RtOAD中,由勾股定理,得OA2=AD2+OD2,即R2=18.52+(R-7.23)2.解得R27.3.因此,赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m. 设计意图:通过例题讲解,巩固本节课所学知识,培养学生解决问题的能力,发展应用意识,锻炼实践能力.教师提出问题,学生先独立思考,解答,然后再小组交流探讨,教师巡视,如遇到有困难的学生适当点拨,最终教师展示答题过程.巩固训练1.如图,在O中,若CDAB于点M,AB为直径,则下列结论不正确的是(C)A.AC=ADB.BC=BDC.AM=OMD.CM=DM2.已知O的直径AB=10,弦CDAB于点M,OM=3,则CD=8.3.在O中,