课时目标1.能正确运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题,进一步发展应用意识.2.能熟练运用勾股定理求最短距离.3.通过问题情境的设立,帮助学生体会数学来源于生活,又应用于生活,积累利用勾股定理的知识解决生活中实际问题的经验和方法. 学习重点利用勾股定理解决立体图形上的最短距离问题. 学习难点把立体图形转化成平面图形,在实际问题中构造直角三角形并解决问题. 课时活动设计回顾引入1.勾股定理的内容是什么?2.勾股定理逆定理的内容是什么?3.我们学过哪些关于“最短”的知识? 设计意图:教师通过回顾已学的相关知识,引出本节课所学内容.探究新知问题情境:蚂蚁和食物分别在圆柱体上相对的顶点处,求蚂蚁怎样走最近.问题1:如图,蚂蚁从圆柱下底面边缘的点A沿圆柱的侧面爬到上底面的边缘B处,(1)如何爬路径最短?(2)若已知圆柱的高为12 cm,底面周长为18 cm,求最短路径.师生合作探究:(1)自己做一个圆柱,尝试从点A到点B沿圆柱侧面画出几条路线,你觉得哪条路线最短呢?(2)如图所示,将圆柱侧面剪开展成一个长方形,从点A到点B的最短路线是什么?你画对了吗?(3)蚂蚁从点A出发,想吃到点B处的食物,它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少?解:圆柱的侧面展开是一个长方形,点B位于长方形长的中点位置.根据两点之间线段最短,线段AB就是从点A到点B的最短路线.在RtABC中,C是直角,BC=182=9(cm),AC=12 cm,根据勾股定理,得AB2=AC2+BC2=122+92=225(cm2).所以AB=15 cm.所以,蚂蚁爬行的最短路程是15 cm.小结:立体图形中求两点间的最短距离,一般把立体图形展开成平面图形,连接两点,根据两点之间线段最短确定最短路线.问题2:如图,点A和点B分别是棱长为10 cm的正方体盒子上相对的两点,一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行,如何爬路径最短?教师分析:正方体有几个面组成?正方体怎么展开?至少需要展开几个面?解:如图所示,沿着线段AB爬行的距离最短.问题3:如图,蚂蚁从长、宽、高分别为4 cm、2 cm和1 cm的长方体的顶点A沿表面爬到顶点B处,如何爬路径最短?你能求出这个最短路径吗?教师分析:长方体有几个面组成?长方体怎么展开?至少需要展开几个面?解:因为平面展开图不唯一,故分情况分别计算,进行比较,再从各个路线中确定最短的路线.展开前面和上面,由勾股定理,得AB12=42+(1+2)2=25;展开前面和右面,由勾股定理,得AB22=12+(4+2)2=37;展开左面和上面,由勾股定理,得AB32=22+(1+4)2=29.因为372925,所以AB1最短,最短路径AB1为5 cm.学生自主完成教材第13页做一做,教师进行点评. 设计意图:本环节在圆柱体的基础上依次增加难度,先是变为正方体,再变为长方体,引导学生由浅入深,由圆柱体侧面展开一个面上的最短距离.到正方体再到长方体展开两个面才能找到最短距离;引导学生理解长方体有六种展开方式的原因(源于长,宽,高的组合),通过勾股定理计算比较得出最短距离.本环节很好地渗透了分类讨论思想.典例精讲例如图是一个滑梯示意图,若将滑道AC水平放置,则刚好与AB一样长,已知滑梯的高度CE=3 m, CD=1 m,试求滑道AC的长.解:设滑道AC的长度为x m,则AB的长度为x m, AE的长度为(x-1) m.在RtACE中,AEC= 90,由勾股定理,得AE2+CE2=AC2,即(x-1)2+32=x2,解得x=5.故滑道AC的长度为5 m. 设计意图:通过例题讲解,及时巩固所学.巩固训练1.如图,一圆柱高8 cm,底面半径为6 cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程是10 cm.2.如图所示,一只蚂蚁在长方体(长10 cm,宽5 cm,高20 cm)的底面上的点A处,蚂蚁想吃到与点A相对的点C处的食物,需要爬行的最短路程是多少?解:展开前面和右面,得到长方形ACCA,如图1.在长方形ACCA中, AC=15 cm, CC=20 cm,则AC2= AC2+CC2=152+202=625;展开前面和上面,得到长方形ABCD,如图2.在长方形ABCD中, AB=10 cm, BC=25 cm,则AC2=AB2+BC2=102+252=725;展开左面和上面,得到长方形ABCD,如图3.在长方形ABCD中,AB=30 cm,BC=5 cm,则AC2=AB2+BC2=302+52=925;因为925725625 ,所以最短AC=25 cm,所以蚂蚁需要爬行的最短路程是25 cm.图1图2图3 设计意图:进一步巩固本节课所学内容,让学生经历运用知识解决问题的过程,给学生获得成功体验的空间.课堂小结1.本节课我们学到了哪些内容?2.如何解决最短路径问题?我们应注意什么? 设计意图:以提问的形式让学生复述本节课所学知识,加强学生对知识的理解和掌握,培养分析问题,解决问题的能力.课堂8分钟.1.教材第14页随堂练习,习题1.4第1,2,3,4题.2.七彩作业.1.3勾股定理的应用1.勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.2.勾股定理的应用(1)最短路径问题:把立体图形转化为平面图形,构造出直角三角形,利用勾股定理来解决最短路径问题.(2)利用勾股定理逆定理来判断实际问题中是否垂直. 教学反思