22.1.1二次函数 课时目标1.从实际情景中让学生经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系,理解二次函数的概念,掌握二次函数的形式.2.通过回顾函数的相关知识,结合实际问题,观察二次函数关系式特点,从而引出二次函数的概念,本节课要求学生掌握二次函数的判断方法及注意事项.3.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识,激发学生对数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养用数学的意识. 学习重点二次函数的概念和解析式. 学习难点用数学的方法描述变量之间的数量关系. 课时活动设计知识回顾多媒体展示:请同学们回顾函数的相关知识,回答下面问题.1.什么叫函数?答:一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数.2.目前,我们已经学习了哪些类型的函数?答:我们已经学过正比例函数和一次函数,其中正比例函数是一次函数的特殊形式. 设计意图:通过循序渐进的方法,让学生回顾之前所学知识,为本节学习的内容作铺垫.情境引入多媒体展示问题:如图,从喷头喷出的水珠,在空中划过一条曲线后落到水池中央,在这条曲线的各个位置上,水珠的竖直高度h与它距离喷头的水平距离x之间有什么关系?上面问题中变量之间的关系可以用哪一种函数来表示?这种函数与以前学习的函数、方程有哪些联系呢?(引导学生思考.注意:这里只提出问题,学生暂时还不能解答.)我们这一节课就来研究这一类问题. 设计意图:从学生熟悉的生活事物中提出问题、设置悬疑,激发学生的学习兴趣.让学生体会生活中数学随处可见,体验如何用数学来解决生活中的实际问题.探究新知多媒体展示:问题1正方体六个面是全等的正方形,设正方体的棱长为x,表面积为y,则y关于x的关系式为y=6x2.问题2n个球队参加比赛,每两个队之间进行一场比赛,比赛的场次数m与球队数n有什么关系?解:每队要与其他(n-1)个球队各比赛一场,甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛,所以比赛的场次数m=12n(n-1),即m=12n2-12n.问题3某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定,y与x之间的关系怎样表示?解:这种产品的原产量是20 t,一年后的产量是20(1+x)t,再经过一年后的产量是20(1+x)(1+x)t,即两年后的产量y=20(1+x)2,即y=20x2+40x+20.结合一次函数的定义,观察函数你发现它们的结构有什么相同点?答:等号左边是函数,右边是关于自变量x的二次式,x的最高次数是2. 设计意图:通过实际问题,让学生列二次函数关系式,观察关系式的结构,引导学生归纳二次函数的特征,进而引出本节所学内容.新知讲解师生活动:先由学生尝试归纳总结二次函数的概念,再由教师用多媒体展示.一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a0)的函数,叫做二次函数.其中,x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.二次函数的特殊形式:(1)当b=0时,y=ax2+c.(2)当c=0时,y=ax2+bx.(3)当b=0,c=0时,y=ax2.请同学们谈谈对二次函数的理解以及需要注意的内容,教师总结:(1)等号左边是变量y,右边是关于自变量x的整式.(2)a,b,c为常数,且a不等于0.(3)等式的右边自变量x的最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项.(4)一般情况下,自变量x的取值范围是任意实数. 设计意图:让学生经历合作探究过程,通过观察、发现、归纳,结合一次函数的概念概括二次函数的概念,培养学生抽象概括的能力.再通过提问环节,引导学生初步思考、回顾已有的知识,主动参与到本节的学习中来.典例精讲例1下列函数中,哪些是二次函数?哪些不是?请说明理由.(1)y=3(x-1)2+1;(2)y=x+1x;(3)s=3-2t2;(4)y=1x2-x;(5)y=(x+3)2-x2;(6)v=10r2;(7)y=x2+x3+25;(8)y=22+2x.答:(1)是.(2)不是,右边分母中含有字母,不是整式.(3)是.(4)不是,右边分母中含有字母,不是整式.(5)不是,整理后为一次函数.(6)是.(7)不是,自变量最高次数为3.(8)不是,自变量最高次数为1.例2关于x的函数y=(m+1)xm2-m是二次函数,求m的值.解:由二次函数的定义,得m2-m=2,m+10.解得m=2.因此当m=2时,函数y=(m+1)xm2-m为二次函数.注意:二次函数的二次项系数不能为0.师生活动:学生积极回答,然后师生共同纠错,使学生明确自己的错误与薄弱环节,在后续的解题过程中做到有的放矢,对症下药. 设计意图:通过例题讲解,规范学生对解题步骤的书写,让学生感受数学的严谨性,加深学生对二次函数的理解与掌握.拓展应用1.下列函数解析式中,一定为二次函数的是(C)A.y=3x-1B.y=ax2+bx+cC.s=2t2-2t+1D.y=x2+1x22.一个长方形的周长为30,则长方形的面积y与长方形一边长x的关系式为y=x(15-x).3.已知函数y=(m2-m)x2+(m-1)x+m+1.(1)若这个函数是一次函数,求m的值;(2)若这个函数是二次函数,求m的值.解:(1)根据一次函数的定义,得m2-m=0,解得m=0或m=1,又m-10即m1,当m=0时,这个函数是一次函数;(2)根据二次函数的定义,得m2-m0,解得m10,m21,当m0或m1时,这个函数是二次函数. 设计意图:应用提升,让学生体会知识的不同考法,将知识灵活应用,提高自身解题能力.巩固训练1.下列函数中(x是自变量),是二次函数的为(C)A.y=ax2+bx+cB.y2=x2-4x+1C.y=x2D.y=22+x+12.函数y=(m-n)x2+mx+n是二次函数的条件是(C)A.m,n是常数,且m0B.m,n是常数,且n0C.m,n是常数,且mnD.m,n为任何实数3.一个圆柱的高等于它的底面半径,它的表面积S与半径r之间的关系式为S=4r2.4.多边形的对角线总条数d与边数n的关系式为d=12n2-32n.5.当m为何值时,函数y=(m-4)xm2-5m+6+mx是关于x的二次函数.解:由二次函数的概念,得m2-5m+6=2m-40解得m=1.当m=1时,函数y=(m-4)xm2-5m+6+mx是关于x的二次函数. 设计意图:通过配套练习,加深学生对二次函数的理解.课堂小结1.二次函数的概念:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数,一次项系数和常数项.2.二次函数的判别:含未知数的代数式为整式;未知数最高次数为2;二次项系数不为0. 设计意图:通过小结让学生复述本节所学知识,使学生牢固地掌握本节所学内容.课堂8分钟.1.教材第29页练习第1,2题.2.七彩作业.22.1.1二次函数一般地,形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常数,a0)的函数叫做二次函数. 教学反思 22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质 课时目标1.通过回顾描点法画函数图象的方法,尝试用描点法画二次函数图象,利用多媒体生动形象地引导学生总结归纳二次函数的性质.2.掌握二次函数y=ax2的图象和性质,会利用其解决相关问题.3.培养学生主动探究知识、自主学习和合作交流的意识,激发学生学数学的兴趣,体会学数学的快乐,培养应用数学的意识. 学习重点利用描点法画出y=ax2的图象. 学习难点理解并掌握二次函数的性质. 课时活动设计知识回顾多媒体展示问题:1.函数有哪几种表示方式?图象法有什么特点?解:图象法,列表法,解析式法,图象法能直观表示函数的变化情况.2.画一次函数y=3x+2的图象需要哪些步骤?解:列表-描点-连线.3.简述描点法作图的一般步骤:解:(1)列表:表中给出一些自变量的值及其对应的函数值;(2)描点:在平面直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点;(3)连线:按照自变量由小到大的顺序,用平滑的曲线依次连接所描的点,并向两端无限延伸. 设计意图:通过循序渐进的方法,让学生回顾之前所学知识,为本节学习的内容作铺垫.情境引入多媒体展示图片和问题:(1)你们喜欢打篮球吗?(2)你们知道投篮时,篮球运动的路线是什么曲线吗?怎样计算篮球达到最高点时的高度? 设计意图:以学生热爱的篮球运动导入本节课,既能激起学生的兴趣,更好地调动学生的积极性,又能通过设置悬念的方式激起学生的探索欲望;用类比的学习方法降低本节的难度.探究新知师生活动:学生尝试用描点法画y=x2的图象,教师用多媒体展示画图过程.尝试用描点法画y=x2的图象.【列表】在y=x2中,自变量x可以取任意实数,列表取几组对应值:x-2-1012y41014【描点】根据表中x,y的数值在平面直角坐标系中描出对应的点.【连线】用平滑曲线顺次连接各点,得到y=x2的图象.师生活动:教师通过提问总结y=x2图象的特征.y=x2的图象是一条开口向上的曲线,经过原点,对称轴是y轴,抛物线y=x2与它的对称轴的交点坐标(0,0),观察图象,当二次函数的x=0时,y有最小值为0;当x0时,y随x的增大而增大.多媒体展示,作出函数y=12x2,y=x2,y=2x2的图象.通过对比函数y=12x2,y=x2,y=2x2的图象,发现:(1)开口都向上(a0),对称轴都是y轴;(2)当x0时,y随x增大而增大;(3)顶点是原点(最小值);(4)a的值越大,抛物线开口越小.多媒体展示,作出函数y=-12x2,y=-x2,y=-2x2的图象.通过对比函数y=-12x2,y=-x2,y=-2x2的图象,发现:(1)开口都向下(a0),对称轴都是y轴;(2)当x0时,y随x增大而减小;(3)顶点是原点(最大值);(4)a的值越大,抛物线开口越大. 设计意图:通过学生操作,教师引导的