全书要点速记,全书要点速记,第四章数列,要点一数列的概念,1,在数列,a,n,中，,a,n,1,a,n,a,n,是递增数列；,a,n,1,a,n,a,n,是递减数列；,a,n,1,a,n,a,n,为常数列,2,一般规律数列,(1),数列,1,，,2,，,3,，,4,，,的通项公式是,a,n,n,(,n,N,*,),；,(2),数列,1,，,3,，,5,，,7,，,的通项公式是,a,n,2,n,1(,n,N,*,),；,(3),数列,2,，,4,，,6,，,8,，,的通项公式是,a,n,2,n,(,n,N,*,),；,(4),数列,1,，,2,，,4,，,8,，,的通项公式是,a,n,2,n,-1,(,n,N,*,),；,(5),数列,1,，,4,，,9,，,16,，,的通项公式是,a,n,n,2,(,n,N,*,),；,(6),数列,1,，,，,的通项公式是,a,n,(,n,N,*,),要点二等差数列,1,等差数列的定义,一般地，如果一个数列从第,2,项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母,d,表示,2,等差中项,a,，,A,，,b,成等差数列,A,是,a,，,b,的等差中项,2,A,a,b,.,3,等差数列的通项公式,以,a,1,为首项，,d,为公差的等差数列,a,n,的通项公式为,a,n,a,1,(,n,1),d,.,4,等差数列的前,n,项和公式,首项为,a,1,，公差为,d,，末项为,a,n,，项数为,n,的等差数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,na,1,.,5,等差数列的性质,数列,a,n,是公差为,d,的等差数列，则：,(1),a,n,a,m,(,n,m,),d,(,n,，,m,N,*,),，,d,(,n,m,),(2),若,m,n,p,q,，则,a,m,a,n,a,p,a,q,(,m,，,n,，,p,，,q,N,*,),特别地，,若,m,n,2,p,，则,a,m,a,n,2,a,p,(,m,，,n,，,p,N,*,),；,有穷等差数列中，与首末两项等,“,距离,”,的两项之和都相等，都等于首末两项的和，即,a,1,a,n,a,2,a,n,1,a,i,a,n,1,i,.,(3),下标成等差数列的项,a,k,，,a,k,m,，,a,k,2,m,，,组成以,md,为公差的等差数列,(4),数列,ta,n,(,t,，,是常数,),是公差为,td,的等差数列,(5),若数列,b,n,为等差数列，则数列,ta,n,b,n,(,t,，,是常数,),仍为等差数列,6,等差数列前,n,项和的性质,(1),项数的,“,等和,”,性质：,S,n,.,(2),若等差数列共有,2,n,1,项，则,S,2,n,1,(2,n,1),a,n,；,若等差数列共有,2,n,项，则,S,2,n,n,(,a,n,a,n,1,),(3),与项数有关的,“,奇偶,”,性质,(,S,奇,，,S,偶,分别表示所有奇数项的和与所有偶数项的和,),：,若等差数列的项数为,2,n,，则,S,偶,S,奇,nd,，,；,若等差数列的项数为,2,n,1,，则,S,奇,S,偶,a,n,，,(,S,奇,na,n,，,S,偶,(,n,1),a,n,),(4),已知等差数列,a,n,和,b,n,的前,n,项和分别为,S,n,，,T,n,，则,.,(5),“,片段和,”,性质：等差数列,a,n,中，公差为,d,，前,k,项的和为,S,k,，则,S,k,，,S,2,k,S,k,，,S,3,k,S,2,k,，,，,S,mk,S,(,m,1),k,，,构成公差为,k,2,d,的等差数列,(6),数列,是等差数列，首项为,a,1,，公差为等差数列,a,n,公差的一半,7,等差数列的判断方法,(1),定义法：,a,n,1,a,n,d,(,常数,)(,n,N,*,),a,n,是等差数列；,a,n,a,n,1,d,(,常数,)(,n,2,，,n,N,*,),a,n,是等差数列,(2),等差中项法：,2,a,n,1,a,n,a,n,2,(,n,N,*,),a,n,是等差数列,(3),通项公式法：,a,n,kn,b,(,k,，,b,为常数,),a,n,是等差数列,(4),前,n,项和法：,S,n,An,2,Bn,(,A,，,B,为常数,),a,n,是等差数列,要点三等比数列,1,等比数列的定义,一般地，如果一个数列从第,2,项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母,q,表示,(,显然,q,0),2,等比中项,a,，,G,，,b,成等比数列,G,是,a,，,b,的等比中项,G,2,ab,(,ab,0),3,等比数列的通项公式,设等比数列,a,n,的首项为,a,1,，公比为,q,，则这个等比数列的通项公式是,a,n,a,1,q,n,-1,(,a,1,，,q,0),4,等比数列的前,n,项和公式,设等比数列,a,n,的首项为,a,1,，公比为,q,，则,a,n,的前,n,项和公式为,S,n,5,等比数列的性质,若数列,a,n,是公比为,q,的等比数列，则,(1),a,n,a,m,q,n,m,(,m,，,n,N,*,),(2),若,m,n,p,q,，,m,，,n,，,p,，,q,N,*,，则,a,m,a,n,a,p,a,q,.,特别地：,若,m,n,2,r,，则,a,m,a,n,(,m,，,n,，,r,N,*,),；,a,1,a,n,a,2,a,n,1,a,i,a,n,1,i,(,n,N,*,，,n,2,，,i,1,，,2,，,，,n,),(3),若,m,，,n,，,p,(,m,，,n,，,p,N,*,),成等差数列，则,a,m,，,a,n,，,a,p,成等比数列,(4),数列,a,n,(,0),是公比为,q,的等比数列；,数列,是公比为,的等比数列；,数列,|,a,n,|,是公比为,|,q,|,的等比数列,若数列,b,n,是公比为,q,的等比数列，则数列,a,n,b,n,是公比为,q,q,的等比数列,(5),在数列,a,n,中，每隔,k,(,k,N,*,),项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为,q,k,+1,.,(6),已知,b,0,且,b,1,，如果数列,a,n,是以,d,为公差的等差数列，那么数列,是以,b,d,为公比的等比数列,如果数列,a,n,是各项均为正数，且公比为,q,的等比数列，那么数列,log,b,a,n,是以,log,b,q,为公差的等差数列,6,等比数列前,n,项和的性质,(1),当,q,1,时，,；当,q,1,时，,.,(2),S,n,m,S,m,q,m,S,n,S,n,q,n,S,m,.,(3),设,S,偶,与,S,奇,分别是等比数列所有偶数项的和与所有奇数项的和若项数为,2,n,，则,q,；若项数为,2,n,1,，则,q,.,(4),连续,m,项的和,(,如,S,m,，,S,2,m,S,m,，,S,3,m,S,2,m,，,),仍组成等比数列,(,公比为,q,m,，,q,1,且,m,为偶数除外,),7,等比数列的判断方法,(1),定义法：如果数列,a,n,满足关系式,q,(,q,0,，,n,N,*,),，那么数列,a,n,是以,q,为公比的等比数列,(2),等比中项法：如果数列,a,n,满足关系式,a,n,1,a,n,1,(,n,2,，,n,N,*,且,a,n,0),，那么数列,a,n,是等比数列,(3),通项公式法：如果数列,a,n,满足关系式,a,n,k,q,n,-1,(,k,0,，,q,0,，,n,N,*,),，那么该数列,a,n,是以,k,为首项，以,q,为公比的等比数列,(4),前,n,项和法：如果数列,a,n,的前,n,项和,S,n,满足,S,n,Aq,n,A,(,A,0,，,q,0,且,q,1),，那么数列,a,n,是等比数列,要点四数列求和的方法,1,裂项相消法,常见的裂项类型与方法如下：,a,n,(,t,0),；,a,n,；,a,n,log,a,log,a,(,n,1),log,a,n,；,a,n,；,a,n,.,2,错位相减法,设数列,a,n,为等差数列，公差为,d,(,d,0),；数列,b,n,为等比数列，公比为,q,(,q,1),；数列,a,n,b,n,的前,n,项和为,T,n,.,则,T,n,的求解步骤如下,列出和式,T,n,a,1,b,1,a,2,b,2,a,3,b,3,a,n,b,n,.,两边同乘以公比,q,：,qT,n,a,1,b,1,q,a,2,b,2,q,a,3,b,3,q,a,n,b,n,q,a,1,b,2,a,2,b,3,a,3,b,4,a,n,b,n,1,.,两式相减,(,错位相减,),并求和：,(1,q,),T,n,a,1,b,1,(,a,2,b,2,a,1,b,2,),(,a,3,b,3,a,2,b,3,),(,a,n,b,n,a,n,1,b,n,),a,n,b,n,1,a,1,b,1,d,(,b,2,b,3,b,n,),a,n,b,n,1,d,a,n,b,n,1,.,两边同除以,(1,q,),即得数列,a,n,b,n,的前,n,项和,T,n,.,3,分组求和法,分组求和法适用于解决数列通项公式可以写成,c,n,a,n,b,n,的形式的数列求和问题，其中数列,a,n,与,b,n,是等差数列或等比数列或可以直接求和的数列基本的解题步骤为：,准确拆分，根据通项公式的特征，将其分解为可以直接求和的一些数列的和；,分组求和，分别求出各个数列的和；,得出结论，对拆分后每个数列的和进行求和，解决原数列的求和问题,第五章一元函数的导数及其应用,要点一导数的几何意义,1,导数的几何意义,函数,y,f,(,x,),在,x,x,0,处的导数,f,(,x,0,),就是曲线,y,f,(,x,),在点,(,x,0,，,f,(,x,0,),处的切线的斜率,k,0,，即,k,0,f,(,x,0,),.,2,切线方程的求法,(1),曲线,y,f,(,x,),在点,P,(,x,0,，,y,0,),处的切线方程为,y,f,(,x,0,)(,x,x,0,),y,0,.,(2),求曲线,y,f,(,x,),过点,P,(,x,0,，,y,0,),的切线方程的步骤：,设切点为,A,(,x,A,，,f,(,x,A,),，求切线的斜率,k,f,(,x,A,),，写出切线方程,(,含参,),；,把点,P,(,x,0,，,y,0,),的坐标代入切线方程，建立关于,x,A,的方程，解得,x,A,的值，进而求出切线方程,要点二导数的运算,1,基本初等函数的导数公式,函数,导数,f,(,x,),c,(,c,为常数,),f,(,x,),0,f,(,x,),x,(,R,，且,0),f,(,x,),x,-1,f,(,x,),sin,x,f,(,x,),cos,x,f,(,x,),cos,x,f,(,x,),sin,x,f,(,x,),a,x,(,a,0,，且,a,1),f,(,x,),a,x,ln,a,f,(,x,),e,x,f,(,x,),e,x,f,(,x,),log,a,x,(,a,0,，且,a,1),f,(,x,),f,(,x,),ln,x,f,(,x,),2,导数的四则运算及复合函数的导数,和差的导数,f,(,x,),g,(,x,),f,(,x,),g,(,x,),，可推广为,u,(,x,),v,(,x,),w,(,x,),u,(,x,),v,(,x,),w,(,x,),乘积的导数,f,(,x,),g,(,x,),f,(,x,),g,(,x,),f,(,x,),g,(,x,),，,特别地，,cf,(,x,),cf,(,x,),商的导数,(,g,(,x,),0),，,特别地，,复合函数,的导数,一般地，对于由函数,y,f,(,u,),和,u,g,(,x,),复合而成的函数,y,f,(,g,(,x,),，它的导数与函数,y,f,(,u,),，,u,g,(,x,),的导数间的关系为,y,x,y,u,