第,2,课时等差数列的性质及应用,第,2,课时等差数列的性质及应用,第四章数列,4.2,等差数列,4.2.1,等差数列的概念,整体感知,学习目标,1,能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质，理解等差数列与项有关的性质,(,逻辑推理,),2,能灵活运用等差数列的性质简化运算，解决简单的数列问题,(,逻辑推理、数学运算,),3,能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应问题,(,数学建模、数学运算,),(,教师用书,),九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：,“,今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？,”,其意思为,“,已知甲、乙、丙、丁、戊五人分,5,钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得构成等差数列问五人各得多少钱？,”,(,“,钱,”,是古代的一种质量单位,),讨论交流,问题,1,等差数列的子数列是如何定义的？,问题,2,等差数列的子数列有什么样的性质？,问题,3,等差数列的任意两项间有什么样的数量关系？,问题,4,等差数列的,“,下标和,”,性质是什么？,自我感知,经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系,探究建构,探究,1,等差数列的性质,探究问题,已知,a,n,，,a,m,是等差数列,a,n,中的任意两项，你能利用通项公式建立两者之间的关系吗？,提示,由,a,n,a,1,(,n,1),d,，,a,m,a,1,(,m,1),d,，两式相减得,a,n,a,m,(,n,m,),d,，,即,a,n,a,m,(,n,m,),d,.,新知生成,等差数列的性质,(1),a,n,是公差为,d,的等差数列，若正整数,m,，,n,，,p,，,q,满足,m,n,p,q,，则,a,m,a,n,_,特别地，当,m,n,2,k,(,m,，,n,，,k,N,*,),时，,a,m,a,n,2,a,k,.,对有穷等差数列，与首末两项,“,等距离,”,的两项之和等于首末两项的,_,，即,a,1,a,n,a,2,a,n,1,a,k,a,n,k,1,.,(2),从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为,_,数列,a,p,a,q,和,等差,(3),若,a,n,是公差为,d,的等差数列，则,c,a,n,(,c,为任一常数,),是公差为,_,的等差数列；,ca,n,(,c,为任一常数,),是公差为,_,的等差数列；,a,n,a,n,k,(,k,为常数，,k,N,*,),是公差为,_,的等差数列,(4),若,a,n,，,b,n,分别是公差为,d,1,，,d,2,的等差数列，则数列,pa,n,qb,n,(,p,，,q,是常数,),是公差为,_,的等差数列,d,cd,2,d,pd,1,qd,2,【教用,微提醒】,(1),a,n,是等差数列，且,a,m,a,n,a,p,a,q,，则,m,n,p,q,不一定成立，如常数列,2,，,2,，,2,，,2,，,中，,a,1,a,2,a,3,a,4,，但,1,2,3,4.,(2),推广：若,m,n,p,x,y,z,，则,a,m,a,n,a,p,a,x,a,y,a,z,，该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同,【链接,教材例题】,例,5,已知数列,a,n,是等差数列，,p,，,q,，,s,，,t,N,*,，且,p,q,s,t,.,求证,a,p,a,q,a,s,a,t,.,分析：,只要根据等差数列的定义写出,a,p,，,a,q,，,a,s,，,a,t,，再利用已知条件即可得证,证明,设数列,a,n,的公差为,d,，则,a,p,a,1,(,p,1),d,，,a,q,a,1,(,q,1),d,，,a,s,a,1,(,s,1),d,，,a,t,a,1,(,t,1),d,.,所以,a,p,a,q,2,a,1,(,p,q,2),d,，,a,s,a,t,2,a,1,(,s,t,2),d,.,因为,p,q,s,t,，所以,a,p,a,q,a,s,a,t,.,典例讲评,1,(1),已知等差数列,a,n,，,a,5,10,，,a,15,25,，求,a,25,的值,(2),已知等差数列,a,n,，,a,3,a,4,a,5,a,6,a,7,70,，求,a,1,a,9,的值,(3),已知数列,a,n,，,b,n,都是等差数列，且,a,1,2,，,b,1,3,，,a,7,b,7,17,，求,a,19,b,19,的值,解,(1),法一：,设,a,n,的公差为,d,，,则,解得,故,a,25,a,1,24,d,4,24,40.,法二：,因为,5,25,2,15,，所以在等差数列,a,n,中有,a,5,a,25,2,a,15,，从而,a,25,2,a,15,a,5,2,25,10,40.,法三：,因为,5,，,15,，,25,成等差数列，所以,a,5,，,a,15,，,a,25,也成等差数列，因此,a,25,a,15,a,15,a,5,，即,a,25,25,25,10,，解得,a,25,40.,(2),由等差数列的性质，得,a,3,a,7,a,4,a,6,2,a,5,a,1,a,9,，所以,a,3,a,4,a,5,a,6,a,7,5,a,5,70,，于是,a,5,14,，故,a,1,a,9,2,a,5,28.,(3),令,c,n,a,n,b,n,，因为,a,n,，,b,n,都是等差数列，所以,c,n,也是等差数列，设其公差为,d,，由已知，得,c,1,a,1,b,1,5,，,c,7,17,，则,5,6,d,17,，解得,d,2,，故,a,19,b,19,c,19,5,18,2,41.,母题探究,本例,(1),中条件变为,“,已知等差数列,a,n,中，,a,3,a,6,8,”,，求,5,a,4,a,7,的值,解,法一：,设等差数列,a,n,的公差为,d,，,则,a,3,a,6,2,a,1,7,d,8,，,所以,5,a,4,a,7,6,a,1,21,d,3(2,a,1,7,d,),24,.,法二：,在等差数列中，若,m,n,p,q,，,则,a,m,a,n,a,p,a,q,，,a,2,a,6,a,3,a,5,2,a,4,，,5,a,4,a,7,a,2,a,3,a,4,a,5,a,6,a,7,.,又,a,2,a,7,a,3,a,6,a,4,a,5,，,5,a,4,a,7,3(,a,3,a,6,),3,8,24,.,反思领悟,(1),灵活利用等差数列的性质，可以减少运算令,m,1,，,a,n,a,m,(,n,m,),d,即变为,a,n,a,1,(,n,1),d,，可以减少记忆负担,(2),等差数列运算的两种常用思路,基本量法：根据已知条件，列出关于,a,1,，,d,的方程,(,组,),，确定,a,1,，,d,，然后求其他量,巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足,m,n,p,q,2,r,(,m,，,n,，,p,，,q,，,r,N,*,),，则,a,m,a,n,a,p,a,q,2,a,r,.,学以致用,1,(1),已知等差数列,a,n,中，,a,1,a,4,a,7,39,，,a,2,a,5,a,8,33,，则,a,3,a,6,a,9,_,(2),已知两个等差数列,a,n,：,5,，,8,，,11,，,，,b,n,：,3,，,7,，,11,，,，它们的公共项组成数列,c,n,，则数列,c,n,的通项公式,c,n,_,；若数列,a,n,和,b,n,的项数均为,100,，则,c,n,的项数是,_,(1)27,(2)12,n,1,25,(1),法一,：由性质可知，数列,a,1,a,4,a,7,，,a,2,a,5,a,8,，,a,3,a,6,a,9,是等差数列，,所以,2(,a,2,a,5,a,8,),(,a,1,a,4,a,7,),(,a,3,a,6,a,9,),，则,a,3,a,6,a,9,2,33,39,27.,27,12,n,1,25,法二：,设等差数列,a,n,的公差为,d,，,则,(,a,2,a,5,a,8,),(,a,1,a,4,a,7,),(,a,2,a,1,),(,a,5,a,4,),(,a,8,a,7,),3,d,6,，,解得,d,2,，,所以,a,3,a,6,a,9,a,2,d,a,5,d,a,8,d,27.,(2),由于数列,a,n,和,b,n,都是等差数列，,所以,c,n,也是等差数列，且公差为,3,4,12,，,又,c,1,11,，故,c,n,11,12(,n,1),12,n,1.,又,a,100,302,，,b,100,399,，,所以,解得,1,n,25.,故,c,n,的项数为,25.,探究,2,等差数列中项的设法,典例讲评,2,(1),三个数成等差数列，其和为,9,，前两项之积为后一项的,6,倍，求这三个数；,(2),四个数成递增等差数列，中间两项的和为,2,，首末两项的积为,8,，求这四个数,解,(1),设这三个数依次为,a,d,，,a,，,a,d,，,则,解得,所以这三个数为,4,，,3,，,2.,(2),设这四个数依次为,a,3,d,，,a,d,，,a,d,，,a,3,d,(,公差为,2,d,),，,依题意得,2,a,2,且,(,a,3,d,)(,a,3,d,),8,，,即,a,1,，,a,2,9,d,2,8,，,所以,d,2,1,，所以,d,1,或,d,1.,又四个数成递增等差数列，所以,d,0,，,所以,d,1,，故所求的四个数为,2,，,0,，,2,，,4.,反思领悟,等差数列的设项方法和技巧,(1),当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为,a,1,，公差为,d,，利用已知条件建立方程,(,组,),求出,a,1,和,d,，即可确定此等差数列的通项公式；,(2),当已知数列有,3,项时，可设为,a,d,，,a,，,a,d,，此时公差为,d,.,若有,5,项、,7,项、,，可同理设出；,(3),当已知数列有,4,项时，可设为,a,3,d,，,a,d,，,a,d,，,a,3,d,，此时公差为,2,d,.,若有,6,项、,8,项、,，可同理设出,学以致用,2,已知成等差数列的四个数的和为,26,，第二个数与第三个数的积为,40,，求这四个数,解,设这四个数依次是,a,3,d,，,a,d,，,a,d,，,a,3,d,(,a,，,d,R,),可得,解得,或,所以这四个数为,2,，,5,，,8,，,11,或,11,，,8,，,5,，,2.,探究,3,等差数列的实际应用,【链接,教材例题】,例,3,某公司购置了一台价值为,220,万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少经验表明，每经过一年其价值就会减少,d,万元,(,d,为正常数,),已知这台设备的安全使用年限为,10,年，第,11,年期间，它的价值将低于购进价值的,5%,，设备需在这年年初报废请确定,d,的取值范围,分析：,这台设备使用满,n,年时的价值构成一个数列,a,n,由题意可知，使用满,10,年时，这台设备的价值应不小于,(220,5%,)11,万元；而第,11,年年底，这台设备的价值应小于,11,万元可以利用,a,n,的通项公式列不等式求解,解,设使用满,n,年时，这台设备的价值为,a,n,万元，则可得数列,a,n,由已知条件，得,a,n,a,n,1,d,(,n,2),由于,d,是与,n,无关的常数，所以数列,a,n,是一个公差为,d,的等差数列因为购进设备的价值为,220,万元，所以,a,1,220,d,，于是,a,n,a,1,(,n,1)(,d,),220,nd,.,根据题意，得,即,解这个不等式组，得,19,d,20.9.,所以，,d,的取值范围为,19,d,20.9.,典例讲评,3,周髀算经是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列若冬至、立春、春分的日影子长的和是,37.5,尺，芒种的日影子长为,4.5,尺，则立夏的日影子长为,(,),A,15.5,尺,B,12.5,尺,C,9.5,尺,D,6.5,尺,D,设该等差