第,2,课时导数的几何意义,第,2,课时导数的几何意义,第五章一元函数的导数及其应用,5.1,导数的概念及其,意义,5.1.2,导数的概念及其几何意义,整体感知,学习目标,1,了解导函数的概念，理解导数的几何意义,(,数学建模,),2,会求导函数,(,数学运算,),3,根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程,(,数学运算,),4,正确理解曲线,“,过某点,”,和,“,在某点,”,处的切线，并会求其方程,(,逻辑推理、数学运算,),(,教师用书,),在数学的学习过程中，对于我们遇到的一些新知识不仅要学习它的定义、公式，还要学习它所具有的性质或几何意义，比如复数除了是一种数外，它可以与平面内的点、向量一一对应；数列,a,n,除了是一列有规律,(,或无规律,),的数外，它可能还具有函数的性质,，同样地，导数除了代表瞬时变化率外，它还具有其他的意义吗？,讨论交流,问题,1,导数的几何意义是什么？,问题,2,如何求曲线上某点处的切线方程？,问题,3,导函数的定义是什么？它与函数在某点处的导数有何关系？,自我感知,经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系,探究建构,探究,1,导数的几何意义,探究问题,1,在前面的课时中我们已经了解到曲线的切线斜率与函数的瞬时变化率的关系，也知道对于一般的曲线，平均变化率可以代表曲线的割线斜率，那么导数,(,即瞬时变化率,),能代表曲线的切线斜率吗？,提示,k,f,(,x,0,),适用于求一般曲线的切线斜率,新知生成,函数,y,f,(,x,),在,x,x,0,处的导数的几何意义是曲线,y,f,(,x,),在点,P,(,x,0,，,f,(,x,0,),处的,_,也就是说，曲线,y,f,(,x,),在点,P,(,x,0,，,f,(,x,0,),处的切线的斜率是,_,相应地，切线方程为,_,切线的,斜率,f,(,x,0,),y,f,(,x,0,),f,(,x,0,)(,x,x,0,),【教用,微提醒】,切线的斜率,k,只与横坐标,x,0,有关，与,x,无关,典例讲评,1,已知曲线,C,：,y,x,3,.,(1),求曲线,C,在横坐标为,x,1,的点处的切线方程；,(2),求曲线,C,过点,(1,，,1),的切线方程,思路导引,(1),(2),解,(1),将,x,1,代入曲线,C,的方程得,y,1,，,切点,P,(1,，,1),y,|,x,1,3.,k,y,|,x,1,3,，,曲线在点,P,(1,，,1),处的切线方程为,y,1,3(,x,1),，即,3,x,y,2,0.,(2),设切点为,Q,(,x,0,，,y,0,),，由,(1),可知,，由题意可知,k,PQ,，,即,，又,y,0,，所以,，,即,1,0,，解得,x,0,1,或,x,0,.,当,x,0,1,时，切点坐标为,(1,，,1),，相应的切线方程为,3,x,y,2,0.,当,x,0,时，切点坐标为,，相应的切线方程为,y,，即,3,x,4,y,1,0.,母题探究,本例,(1),中的切线与曲线,C,是否还有其他的公共点？,解,由,解得,或,从而求得公共点为,(1,，,1),或,(,2,，,8),，即切线与曲线,C,的公共点除了切点外，还有另一个公共点,(,2,，,8),【教用,备选题】,已知抛物线,y,f,(,x,),2,x,2,1.,(1),求抛物线在点,P,(1,，,3),处的切线方程；,(2),若抛物线在某点处的切线的倾斜角为,45,，求该切点的坐标,解,(1),因为,y,2(1,x,),2,1,2,1,2,1,4,x,2(,x,),2,，所以,4,2,x,，,所以切线的斜率为,4,，所以切线的方程为,y,3,4(,x,1),，,即,4,x,y,1,0.,(2),设切点坐标为,(,x,0,，,y,0,),，,则,y,1,，,所以,4,x,0,2,x,，,所以切线的斜率为,4,x,0,.,又因为切线的斜率为,k,tan 45,1,，,所以,4,x,0,1,，即,x,0,，,所以,y,0,2,1,，,所以切点坐标为,.,反思领悟,利用导数的几何意义求切线方程的方法,(1),若已知点,(,x,0,，,y,0,),在曲线上，求在点,(,x,0,，,y,0,),处的切线方程，先求出函数,y,f,(,x,),在,x,x,0,处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程,y,y,0,f,(,x,0,)(,x,x,0,),(2),若点,(,x,0,，,y,0,),不在曲线上，求过点,(,x,0,，,y,0,),的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程,学以致用,1,已知曲线,f,(,x,),x,3,ax,在,x,1,处的切线与直线,x,4,y,0,垂直，则实数,a,(,),A,2,B,1,C,1,D,2,B,f,(1),3,a,.,又曲线,f,(,x,),在,x,1,处的切线与直线,x,4,y,0,垂直，,f,(1),(3,a,),1,，解得,a,1.,探究,2,利用导数的几何意义判断函数的变化,探究问题,2,函数的单调性和导数有什么关系？,导数值的大小与函数变化的快慢有什么关系？,提示,当,t,t,0,时，函数的图象在,t,t,0,处的切线平行于,t,轴，即,h,(,t,0,),0,，这时，在,t,t,0,附近曲线比较平坦，几乎没有升降,当,t,t,1,时，函数的图象在,t,t,1,处的切线,l,1,的斜率,h,(,t,1,),0,，这时，在,t,t,1,附近曲线下降，即函数在,t,t,1,附近单调递减,当,t,t,2,时，函数的图象在,t,t,2,处的切线,l,2,的斜率,h,(,t,2,),0,，这时，在,t,t,2,附近曲线下降，即函数在,t,t,2,附近单调递减,通过研究,t,t,1,和,t,t,2,发现直线,l,1,的倾斜程度小于直线,l,2,的倾斜程度，这说明曲线在,t,t,1,附近比在,t,t,2,附近下降的缓慢,同理，,t,t,3,，,t,t,4,时都有,h,(,t,),0,，,h,(,t,),在各自附近单调递增，且曲线在,t,t,3,附近比在,t,t,4,附近上升的快,新知生成,若,f,(,x,0,),0,，则函数的图象在,x,x,0,处切线斜率,k,_,；,若,f,(,x,0,),0,，则函数的图象在,x,x,0,处切线斜率,k,_0,，则函数在,x,x,0,附近,_,，且,f,(,x,0,),越大，说明函数图象变化得越快；,若,f,(,x,0,),0,，则函数的图象在,x,x,0,处切线斜率,k,_0,，且函数在,x,x,0,附近,_,，且,|,f,(,x,0,)|,越大，说明函数图象变化得越快,0,单调,递增,单调递减,【教用,微提醒】,f,(,x,0,),的正负决定增减，,|,f,(,x,0,)|,的大小决定快慢,【,链接,教材例题】,例,4,图,5.1-6,是跳水运动中某运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数,h,(,t,),4.9,t,2,2.8,t,11,的图象根据图象，请描述、比较曲线,h,(,t,),在,t,t,0,，,t,1,，,t,2,附近的变化情况,解,我们用曲线,h,(,t,),在,t,t,0,，,t,1,，,t,2,处的切线斜率，刻画曲线,h,(,t,),在上述三个时刻附近的变化情况,(1),当,t,t,0,时，曲线,h,(,t,),在,t,t,0,处的切线,l,0,平行于,t,轴，,h,(,t,0,),0.,这时，在,t,t,0,附近曲线比较平坦，几乎没有升降,(2),当,t,t,1,时，曲线,h,(,t,),在,t,t,1,处的切线,l,1,的斜率,h,(,t,1,),0.,这时，在,t,t,1,附近曲线下降，即函数,h,(,t,),在,t,t,1,附近单调递减,(3),当,t,t,2,时，曲线,h,(,t,),在,t,t,2,处的切线,l,2,的斜率,h,(,t,2,),0.,这时，在,t,t,2,附近曲线下降，即函数,h,(,t,),在,t,t,2,附近也单调递减,从图,5.1-6,可以看出，直线,l,1,的倾斜程度小于直线,l,2,的倾斜程度，这说明曲线,h,(,t,),在,t,t,1,附近比在,t,t,2,附近下降得缓慢,典例讲评,2,已知,y,f,(,x,),的图象如图所示，则,f,(,x,A,),与,f,(,x,B,),的大小关系是,(,),A,f,(,x,A,),f,(,x,B,)B,f,(,x,A,),f,(,x,B,),C,f,(,x,A,),f,(,x,B,)D,不能确定,B,由导数的几何意义，,f,(,x,A,),，,f,(,x,B,),分别是函数的图象在点,A,，,B,处切线的斜率，,由题干图象可知，,f,(,x,A,),f,(,x,B,),反思领悟,导数的几何意义就是函数图象切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决,(1),曲线,f,(,x,),在,x,x,0,附近的变化情况可通过,x,x,0,处的切线刻画,f,(,x,0,),0,说明曲线在,x,x,0,处的切线的斜率为正值，从而得出在,x,x,0,附近曲线是上升的；,f,(,x,0,),0,说明在,x,x,0,附近曲线是下降的,(2),曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢,学以致用,2,已知函数,f,(,x,),在,R,上可导，其部分图象如图所示，设,a,，则下列不等式正确的是,(,),A,f,(1),f,(2),a,B,f,(1),a,f,(2),C,f,(2),f,(1),a,D,a,f,(1),f,(2),B,由题图可知，函数在区间,(0,，,),上的增长越来越快，,f,(1),f,(2),，,a,，,通过作切线与割线可得,f,(1),a,f,(2),，故选,B.,探究,3,导函数,(,导数,),探究问题,3,由前面所学知识可知，求函数在某一点处的导数，可以发现函数在该点附近的变化，能否通过求导研究函数的整体变化？,提示,这涉及函数在任意一点的导数问题，通过,f,(,x,0,),可知,f,(,x,),，这就是函数在任意一点的导数，即导函数，它不再是一个唯一确定的数，而是一个函数,新知生成,对于函数,y,f,(,x,),，当,x,x,0,时，,f,(,x,0,),是一个唯一确定的数，当,x,变化时，,y,f,(,x,),就是,x,的函数，我们称它为,y,f,(,x,),的导函数,(,简称导数,),y,f,(,x,),的导函数有时也记作,y,，即,f,(,x,),y,_,【教用,微提醒】,(1),f,(,x,0,),是具体的值，是数值,(2),f,(,x,),是函数,f,(,x,),在某区间,I,上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数,典例讲评,3,已知函数,y,f,(,x,),x,2,x,，求：,(1),f,(,x,),；,(2),f,(,x,),在,x,1,处的导数,解,(1),因为,y,f,(,x,x,),f,(,x,),(,x,),2,2,x,x,x,，所以,2,x,x,，,所以,f,(,x,),2,x,.,(2),由,(1),知,f,(,x,),2,x,，所以,f,(1),2,1,.,发现规律,求导函数的主要步骤,(1),求函数的增量,y,f,(,x,x,),f,(,x,),；,(2),求平均变化率,_,；,(3),求极限,，即,f,(,x,),_,学以致用,3,(,源自北师大版教材,),求,y,f,(,x,),3,x,2,x,的导数,f,(,x,),，并利用,f,(,x,),求,f,(1),，,f,(,2),，,f,(0),解,y,f,(,x,x,),f,(,x,),3(,x,x,),2,(,x,x,),(3,x,2,x,),3(,x,),2,6,x,x,x,.,3,x,6,x,1.,当,x,趋于,0,时，得到导数,f,(,x,),6,x,1.,可得,f,(1),6,1,1,5,，,f,(,2),6,(,2),1,13