第,1,课时等差数列的前,n,项和公式,第,1,课时等差数列的前,n,项和公式,第四章数列,4.2,等差数列,4.2.2,等差数列的前,n,项和公式,整体感知,学习目标,1,借助教材实例了解等差数列前,n,项和公式的推导过程,(,数学运算,),2,掌握等差数列的前,n,项和公式,(,数学运算,),3,熟练掌握等差数列的五个量,a,1,，,d,，,n,，,a,n,，,S,n,的关系，能够由其中三个量求另外两个,(,数学运算,),4,构建等差数列求和模型，解决实际问题,(,数学建模、数学运算,),(,教师用书,),为了达到比较好的音响和观赏效果，很多剧场的座位都是排成圆弧形的，如图所示如果某公司要为一个类似的剧场定做椅子，且中区座位共有,8,排，第一排有,4,个座位,，,后面,每一排都比它的前一排多,4,个座位,你,能帮助这个公司算出共需要多少个,座,位,吗？,讨论交流,问题,1,等差数列的前,n,项和公式是什么？,问题,2,如何推导等差数列的前,n,项和公式？,问题,3,求等差数列的前,n,项和时，如何根据已知条件选择等差数列的前,n,项和公式？,自我感知,经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系,探究建构,探究,1,等差数列的前,n,项和公式,探究问题,1,据说，,200,多年前，高斯的算术老师提出了这个问题：,1,2,3,100,？,当其他同学忙于把,100,个数逐项相加时，,10,岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：,(1,100),(2,99),(50,51),101,50,5 050.,你能说说高斯在求和过程中利用了数列的什么性质吗？,提示,对于上述数列，设,a,n,n,，那么高斯的计算方法可以表示为,(,a,1,a,100,),(,a,2,a,99,),(,a,50,a,51,),101,50,5 050.,可以发现，高斯在计算中利用了,a,1,a,100,a,2,a,99,a,50,a,51,这一特殊关系，这就是上一节我们学过的性质，它使不同数的求和问题转化成了相同数,(,即,101),的求和，从而简化了运算，我们把这种求和的方法称为,“,倒序相加法,”,，其本质是配对，将,2,n,个数重新分组配对求和,探究问题,2,设等差数列,a,n,的首项为,a,1,，公差为,d,，如何求其前,n,项和,S,n,?,提示,倒序相加法,两式相加可得,2,S,n,n,(,a,1,a,n,),，即,S,n,，上述过程实际上用到了等差数列性质里面的首末,“,等距离,”,的两项的和相等,新知生成,等差数列的前,n,项和公式,已知量,首项、末项与项数,首项、公差与项数,求和公式,S,n,_,S,n,_,na,1,d,【链接,教材例题】,例,6,已知数列,a,n,是等差数列,(1),若,a,1,7,，,a,50,101,，求,S,50,；,(2),若,a,1,2,，,a,2,，求,S,10,；,(3),若,a,1,，,d,，,S,n,5,，求,n,.,分析：,对于,(1),，可以直接利用公式,S,n,求和；在,(2),中，可以先利用,a,1,和,a,2,的值求出,d,，再利用公式,S,n,na,1,d,求和；,(3),已知公式,S,n,na,1,d,中的,a,1,，,d,和,S,n,，解方程即可求得,n,.,解,(1),因为,a,1,7,，,a,50,101,，根据公式,S,n,，可得,S,50,2700.,(2),因为,a,1,2,，,a,2,，所以,d,.,根据公式,S,n,na,1,d,，可得,S,10,10,2,.,(3),把,a,1,，,d,，,S,n,5,代入,S,n,na,1,d,，得,5,n,.,整理，得,n,2,7,n,60,0.,解得,n,12,，或,n,5(,舍去,),所以,n,12.,典例讲评,1,在等差数列,a,n,中：,(1),已知,a,6,10,，,S,5,5,，求,a,8,和,S,10,；,(2),已知,a,1,4,，,S,8,172,，求,a,8,和,d,；,(3),若,a,1,，,a,n,，,S,n,5,，求,n,和,d,.,解,(1),由已知得,解得,a,8,a,6,2,d,10,2,3,16,，,S,10,10,a,1,d,10,(,5),5,9,3,85.,(2),由已知得,S,8,172,，解得,a,8,39,，,又,a,8,4,(8,1),d,39,，,d,5.,a,8,39,，,d,5.,(3),由题意得，,S,n,5,，,解得,n,15.,又,a,15,(15,1),d,，,d,，,n,15,，,d,.,反思领悟,求等差数列的基本量的方法,等差数列的通项公式和前,n,项和公式中有五个量,a,1,，,d,，,n,，,a,n,和,S,n,，这五个量可以,“,知三求二,”,一般是利用公式列出基本量,a,1,和,d,的方程组，解出,a,1,和,d,，便可解决问题解题时注意整体代换的思想,学以致用,1,(,源自湘教版教材,),已知一个等差数列的前,10,项和是,310,，前,20,项和是,1 220,，求该数列的前,n,项和,解,记该数列为,a,n,，公差为,d,.,由等差数列前,n,项和公式,S,n,na,1,d,，,得,解这个关于,a,1,与,d,的方程组,，,得,因此，该数列的前,n,项和为,S,n,4,n,6,3,n,2,n,.,探究,2,利用等差数列前,n,项和公式判断,等差数列,【链接,教材例题】,例,7,已知一个等差数列,a,n,前,10,项的和是,310,，前,20,项的和是,1220.,由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？,分析：,把已知条件代入等差数列前,n,项和的公式,(2),后，可得到两个关于,a,1,与,d,的二元一次方程解这两个二元一次方程所组成的方程组，就可以求得,a,1,和,d,.,解,由题意，知,S,10,310,，,S,20,1220.,把它们代入公式,S,n,na,1,d,，,得,解方程组，得,所以，由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差,典例讲评,2,若数列,a,n,的前,n,项和,S,n,2,n,2,3,n,，求数列,a,n,的通项公式，并判断数列,a,n,是不是等差数列若是，请证明；若不是，请说明理由,解,当,n,1,时，,S,1,a,1,1,；当,n,2,时，,a,n,S,n,S,n,1,2,n,2,3,n,2(,n,1),2,3(,n,1),4,n,5.,经检验，当,n,1,时，,a,1,1,满足上式，故,a,n,4,n,5.,数列,a,n,是等差数列，证明如下：因为,a,n,1,a,n,4(,n,1),5,4,n,5,4,，所以数列,a,n,是等差数列,母题探究,(,变条件,),若数列,a,n,的前,n,项和,S,n,2,n,2,3,n,1,，求数列,a,n,的通项公式，并判断数列,a,n,是不是等差数列若是，请证明；若不是，请说明理由,解,S,n,2,n,2,3,n,1,，,当,n,1,时，,S,1,a,1,2,3,1,2,；,当,n,2,时，,S,n,1,2(,n,1),2,3(,n,1),1,，,得,a,n,S,n,S,n,1,2,n,2,3,n,1,2(,n,1),2,3(,n,1),1,4,n,5.,经检验，当,n,1,时，,a,1,2,不满足上式，,故,a,n,a,2,a,1,5,，,a,3,a,2,4,，即,a,2,a,1,a,3,a,2,，,数列,a,n,不是等差数列,反思领悟,由,S,n,求得通项公式,a,n,的特点，若,S,n,是关于,n,的二次函数，不含常数项，则由,S,n,求得,a,n,，知数列,a,n,是等差数列；否则,a,n,数列,a,n,不是等差数列,学以致用,2,已知一个数列,a,n,的前,n,项和,S,n,25,n,2,n,2,r,.,(1),当,r,0,时，求证：该数列,a,n,是等差数列；,(2),若数列,a,n,是等差数列，求,r,满足的条件,解,(1),证明：,当,r,0,时，,S,n,25,n,2,n,2,，,令,n,1,，,S,1,25,2,23,，,当,n,2,时，,S,n,1,25(,n,1),2(,n,1),2,，,所以,a,n,S,n,S,n,1,25,n,2,n,2,25(,n,1),2(,n,1),2,27,4,n,，,此时,a,1,27,4,23,，所以,a,n,27,4,n,，所以,a,n,a,n,1,(27,4,n,),27,4(,n,1),4(,n,2),，可得数列,a,n,是公差为,4,的等差数列,(2),S,n,25,n,2,n,2,r,，令,n,1,，得,S,1,25,2,r,23,r,，当,n,2,时，,S,n,1,25(,n,1),2(,n,1),2,r,，,所以,a,n,S,n,S,n,1,25,n,2,n,2,25(,n,1),2(,n,1),2,27,4,n,，所以,a,n,a,n,1,(27,4,n,),27,4(,n,1),4(,n,3),，,可得,n,2,时，数列,a,n,是公差为,4,的等差数列，,若数列,a,n,是等差数列，则,a,1,27,4,23,23,r,，所以,r,0,.,【链接,教材例题】,例,8,某校新建一个报告厅，要求容纳,800,个座位，报告厅共有,20,排座位，从第,2,排起每排都比前一排多,2,个座位问第,1,排应安排多少个座位,探究,3,等差数列前,n,项和的实际应用,分析：,将第,1,排到第,20,排的座位数依次排成一列，构成数列,a,n,，设数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,.,由题意可知，,a,n,是等差数列，且公差及前,20,项的和已知，所以可利用等差数列的前,n,项和公式求首项,解,设报告厅的座位从第,1,排到第,20,排，各排的座位数依次排成一列，构成数列,a,n,，其前,n,项和为,S,n,.,根据题意，数列,a,n,是一个公差为,2,的等差数列，且,S,20,800.,由,S,20,20,a,1,2,800,，可得,a,1,21.,因此，第,1,排应安排,21,个座位,典例讲评,3,某抗洪指挥部接到预报，,24,小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用,20,台同型号翻斗车，平均每辆车工作,24,小时从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔,20,分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集,25,辆，那么在,24,小时内能否构筑成第二道防线？,解,从第一辆车投入工作算起，各车工作时间,(,单位：小时,),依次设为,a,1,，,a,2,，,，,a,25,.,由题意可知，此数列为等差数列，且,a,1,24,，公差,d,.,25,辆翻斗车完成的工作量为：,a,1,a,2,a,25,25,24,25,12,500,，而需要完成的工作量为,24,20,480.,500480,，,在,24,小时内能构筑成第二道防线,【教用,备选题】,某人用分期付款的方式购买一件家电，价格,为,1,150,元，购买当天先付,150,元，以后每月的这一天都交付,50,元，并加付欠款利息，月利率为,1%.,若交付,150,元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第,10,个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？,解,设每次交款数额依次为,a,1,，,a,2,，,，,a,20,，则,a,1,50,1 000,1%,60(,元,),，,a,2,50,(1 000,50),1%,59.5(,元,),，,a,10,50,(1 000,9,50),1%,55.5(,元,),，,即第,10,个月应付款,55.5,元,由题知，,20,个月贷款还清,由于,a,n,是以,60,为首项，以,0.5,为公差的等差数列，,所以有,S,20,20,1 105(,元,),，,即全部付清后实际付款,1 105,150,1 255(,元,),反思领悟,应用等差数列解决实际问题的一般思路,学以致用,3,