第,2,课时数列的递推公式及前,n,项和,第,2,课时数列的递推公式及前,n,项和,第四章数列,4.1,数列的概念,整体感知,学习目标,1,理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项,(,数学运算,),2,会用累加法、累乘法由递推公式求通项公式,(,逻辑推理、数学运算,),3,会用,a,n,与,S,n,的关系求通项公式,(,逻辑推理、数学运算,),(,教师用书,),观察某次智力测试中的一道题：数列,1,，,3,，,6,，,10,，,15,，,中数字出现的规律是：,a,2,a,1,3,1,2,，,a,3,a,2,6,3,3,，,a,4,a,3,10,6,4,，,a,5,a,4,15,10,5,，,.,(1),你能写出该数列的第,8,个数吗？,(2),你能用,a,n,1,与,a,n,的一个数学表达式描述该数列相邻两项之间的关系吗？,讨论交流,问题,1,递推公式的含义是什么？,问题,2,一般的数列,a,n,，该如何表示其前,n,项和？,自我感知,经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系,探究建构,探究,1,数列的递推公式,探究问题,1,观察钢管堆放示意图，寻求规律，建立数学模型,自上而下，第,1,层钢管数为,4,，第,2,层钢管数为,5,，第,3,层钢管数为,6,，第,4,层钢管数为,7,，第,5,层钢管数为,8,，第,6,层钢管数为,9,，第,7,层钢管数为,10.,若用,a,n,表示钢管数，,n,表示层数，则可得出各层的钢管数为一个数列，且,a,n,n,3(1,n,7,，,n,N,*,),，那么相邻两层的钢管数之间有没有关系？即,a,n,1,与,a,n,有没有关系？,提示,有，,a,n,1,a,n,1(1,n,6,，,n,N,*,),新知生成,递推公式：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用,_,来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式,【教用,微提醒】,(1),与数列的通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式,(2),数列的通项公式和递推公式是给出数列的两种不同表示方法，但它们的用途一致，都能确定一个数列,一个,式子,【链接,教材例题】,例,4,图,4.1,3,中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形在图中,4,个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前,4,项，写出这个数列的一个通项公式,解,在图,4.1,3(1)(2)(3)(4),中，着色三角形的个数依次为,1,，,3,，,9,，,27,，,即所求数列的前,4,项都是,3,的指数幂，指数为序号减,1.,因此，这个数列的一个通项公式是,a,n,3,n,-1,.,【链接,教材例题】,例,5,已知数列,a,n,的首项为,a,1,1,，递推公式为,a,n,1,(,n,2),，写出这个数列的前,5,项,解,由题意可知,a,1,1,，,a,2,1,2,，,a,3,1,，,a,4,1,，,a,5,1,.,典例讲评,1,若数列,a,n,满足,a,1,2,，,a,n,1,，,n,N,*,，求,a,6,.,解,a,2,3,，,a,3,，,a,4,，,a,5,2,，,a,6,3.,【教用,备选题】,设数列,a,n,满足,a,1,(,n,1,，,2,，,3,，,),，写出这个数列的前,5,项,解,由题意，,a,1,.,反思领悟,根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可另外，解答这类问题时还需注意：若已知首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若已知末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式；若项数很大，则应考虑数列的周期性,学以致用,1,(,源自人教,B,版教材,),分别写出下列数列,a,n,的一个递推关系，并求出各个数列的第,7,项,(1)1,，,2,，,4,，,7,，,11,，,；,(2),1,，,2,，,5,，,8,，,11,，,；,(3)1,，,2,，,4,，,8,，,16,，,.,解,(1),因为,a,2,a,1,2,1,1,，,a,3,a,2,4,2,2,，,a,4,a,3,7,4,3,，,a,5,a,4,11,7,4,，,所以,a,n,1,a,n,n,，,即,a,n,1,a,n,n,.,从而,a,6,a,5,5,11,5,16,，,a,7,a,6,6,16,6,22.,(2),因为,a,2,a,1,a,3,a,2,a,4,a,3,a,5,a,4,3,，,所以,a,n,1,a,n,3,，,即,a,n,1,a,n,3.,从而,a,7,a,6,3,a,5,3,3,11,6,17.,(3),因为,2,，,所以,2.,即,a,n,1,2,a,n,.,从而,a,7,(,2),a,6,(,2),2,a,5,(,2),2,16,64.,探究,2,a,n,与,S,n,的关系,探究问题,2,如果已知数列,a,n,的前,n,项和，如何求,a,6,呢？,提示,用,a,n,的前,6,项和减去前,5,项和,新知生成,1,数列,a,n,的前,n,项和：把数列,a,n,从第,1,项起到第,n,项止的各项之和，称为数列,a,n,的前,n,项和，记作,S,n,，即,S,n,_,2,数列的前,n,项和公式：如果数列,a,n,的前,n,项和,S,n,与它的序号,n,之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前,n,项和公式,a,1,a,2,a,n,3,数列,a,n,的通项,a,n,与前,n,项和,S,n,之间的关系为,a,n,【教用,微提醒】,由,S,n,求,a,n,，应分,n,1,与,n,2,两种情况，分别进行计算后，再验证两种情形可否用统一的式子表示若不能，则用分段的形式表示,典例讲评,2,已知,S,n,为数列,a,n,的前,n,项和，根据条件求,a,n,的通项公式,(1),S,n,3,n,7,；,(2),S,n,2,n,2,30,n,.,解,(1),当,n,1,时，,a,1,S,1,4,，,当,n,2,时，,a,n,S,n,S,n,1,3,n,7,(3,n,-1,7),2,3,n,-1,，显然,a,1,4,不适合上式，,所以,a,n,(2),因为,S,n,2,n,2,30,n,，,所以当,n,1,时，,a,1,S,1,2,1,2,30,1,28,，,当,n,2,时，,a,n,S,n,S,n,1,2,n,2,30,n,2(,n,1),2,30(,n,1),4,n,32.,显然,a,1,28,适合上式，所以,a,n,4,n,32,，,n,N,*,.,母题探究,将本例,(2),的条件,“,S,n,2,n,2,30,n,”,改为,“,S,n,2,n,2,30,n,1,”,，其他条件不变，求,a,n,.,解,因为,S,n,2,n,2,30,n,1,，,所以当,n,1,时，,a,1,S,1,2,1,2,30,1,1,27,，,当,n,2,时，,a,n,S,n,S,n,1,2,n,2,30,n,1,2(,n,1),2,30(,n,1),1,4,n,32.,当,n,1,时不适合上式,所以,a,n,发现规律,由前,n,项和求通项公式的步骤,(1),先利用,_,，求出,a,1,.,(2),用,n,1(,n,2),替换,S,n,中的,n,得到一个新的关系,S,n,1,，利用,a,n,_(,n,2),便可求出当,n,2,时,a,n,的解析式,(3),注意检验,_,时的值是否符合,n,2,时,a,n,的解析式，若符合，则合并；若不符合，则用分段函数表示通项公式,a,n,.,a,1,S,1,S,n,S,n,1,n,1,学以致用,2,已知数列,a,n,的前,n,项和,n,，求数列,a,n,的通项公式,解,a,1,S,1,1,101.,当,n,2,时，,a,n,S,n,S,n,1,3,n,104.,n,1,也适合上式，,数列,a,n,的通项公式为,a,n,3,n,104(,n,N,*,),探究,3,利用递推公式求通项公式,典例讲评,3,(1),已知数列,a,n,满足,a,1,1,，,a,n,a,n,1,，,n,N,*,且,n,2,，求通项公式,a,n,；,(2),设数列,a,n,中，,a,1,1,，,a,n,a,n,1,(,n,2),，求通项公式,a,n,.,思路引导,(1),先将递推公式变形为,a,n,a,n,1,(,n,2),，再利用累加法求通项公式；,(2),先将递推公式化为,(,n,2),，再利用累乘法求通项公式,解,(1),由,a,n,a,n,1,(,n,2),得，,a,2,a,1,；,a,3,a,2,；,a,4,a,3,；,；,a,n,a,n,1,.,以上各式累加得，,a,n,a,1,.,a,n,1,1,，,a,n,(,n,2),又,n,1,时，,a,1,1,，符合上式，,a,n,(,n,N,*,),(2),a,1,1,，,a,n,a,n,1,(,n,2),，,.,又,n,1,时，,a,1,1,，符合上式，,a,n,反思领悟,由递推公式求通项公式的常用方法,(1),归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式,(,只适用于选择题、填空题,),(2),迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类：,a,n,1,a,n,常数，或,a,n,1,a,n,f,(,n,)(,f,(,n,),是可以求和的,),，,使用,累加法或迭代法,a,n,1,pa,n,(,p,为非零常数且,p,1),，或,a,n,1,f,(,n,),a,n,(,f,(,n,),是可以求积的,),，使用累乘法或迭代法,a,n,1,pa,n,q,(,p,，,q,为非零常数且,p,1),，适当变形后转化为第,类解决,学以致用,3,(1),在数列,a,n,中，,a,1,2,，,a,n,1,则,a,n,(,),A,2,ln,n,B,2,(,n,1)ln,n,C,2,n,ln,n,D,1,n,ln,n,(2),设,a,n,是首项为,1,的正项数列，且,2,a,n,1,a,n,0,，则通项公式,a,n,_,(1),A,(2),(1),法一,(,归纳法,),：由题意得,a,1,2,，,a,2,2,ln(1,1),2,ln 2,，,a,3,(2,ln 2),ln,2,ln 3,，,a,4,(2,ln 3),ln,2,ln 4,，,a,5,(2,ln 4),ln,2,ln 5,，,，由此猜想数列的一个通项公式为,a,n,2,ln,n,，经检验符合题意,法二,(,迭代法,),：由题意得,a,n,a,n,1,a,n,1,ln,(,n,2),，,则,a,n,a,n,1,ln,a,n,2,ln,a,1,ln,ln,ln,ln,a,1,ln,2,ln,n,(,n,2),又,a,1,2,2,ln 1,，符合上式,所以,a,n,2,ln,n,.,法三,(,累加法,),：由题意得,a,n,1,a,n,ln,ln(,n,1),ln,n,，,因此,a,1,2,，,a,2,a,1,ln 2,，,a,3,a,2,ln 3,ln 2,，,a,4,a,3,ln 4,ln 3,，,，,a,n,a,n,1,ln,n,ln(,n,1)(,n,2),以上各式两边分别相加，,得,a,n,2,ln 2,(ln 3,ln 2),(ln 4,ln 3),ln,n,ln(,n,1),2,ln,n,(,n,2),因为,a,1,2,也适合上式，所以,a,n,2,ln,n,(2),由,2,a,n,1,a,n,0,，,得,(,n,2),a,n,1,na,n,(,a,n,1,a,n,),0,，,因为,a,n,0,，所以,a,n,1,a,n,0,，,所以,(,n,2),a,n,1,na,n,0,，,所以,，,所以,a,n,a,1,(,n,2),，,又,a,1,1,满足上式，,所以,a,n,.,2,4,3,题号,1,应用迁移,1,若数列,a,n,的前,n,项和,S,n,n,2,1,，则,a,4,(,),A,7 B,8,C,9 D,17,A,数列,a,n,的前,n,项和,S,n,n,2,1,，,a,4,S,4,S,3,(16,1),(9,1),7.,故选,A.,2,3,题号,1