高考命题探源,(,一,),高考,命题探源,(,一,),第四章数列,探源,1,数列的概念及表示方法,命题点分析,数列的概念及表示是高考的常考考点，主要考查等差数列、等比数列的基本概念，数列的函数特性,(,最大,(,小,),项、周期性、增减性,),，,S,n,与,a,n,的关系等，多以选择题、填空题的形式呈现，属于中低档题,【案例,1,】,(2020,全国,卷,),数列,a,n,满足,a,n,2,(,1),n,a,n,3,n,1,，前,16,项和为,540,，则,a,1,_,7,因为数列,a,n,满足,a,n,2,(,1),n,a,n,3,n,1,，所以当,n,2,k,(,k,N,*,),时，,a,2,k,2,a,2,k,6,k,1(,k,N,*,),，所以,(,a,2,a,4,),(,a,6,a,8,),(,a,10,a,12,),(,a,14,a,16,),5,17,29,41,92.,当,n,2,k,1(,k,N,*,),时，,a,2,k,1,a,2,k,1,6,k,4(,k,N,*,),，所以当,k,2,时，,a,2,k,1,a,1,(,a,3,a,1,),(,a,5,a,3,),(,a,7,a,5,),(,a,2,k,1,a,2,k,3,),a,1,2,8,14,6(,k,1),4,a,1,a,1,(3,k,4)(,k,1),，当,k,1,时上式也成立，所以,a,2,k,1,a,1,(3,k,4)(,k,1)(,k,N,*,),，即,a,2,k,1,a,1,3,k,2,7,k,4(,k,N,*,),7,法一：,所以,a,1,a,3,a,5,a,7,a,15,8,a,1,3,(1,2,2,2,3,2,8,2,),7,(1,2,3,8),4,8,8,a,1,3,7,32,8,a,1,612,252,32,8,a,1,392.,又前,16,项和为,540,，所以,92,8,a,1,392,540,，解得,a,1,7.,法二：,所以,a,2,k,1,a,1,(3,k,2,3,k,1),10,k,3,(,k,1),3,k,3,10,k,3,，所以,a,1,a,3,a,5,a,7,a,15,8,a,1,(2,3,1,3,),(3,3,2,3,),(9,3,8,3,),10,3,8,8,a,1,9,3,1,3,360,24,8,a,1,392.,又前,16,项和为,540,，所以,92,8,a,1,392,540,，解得,a,1,7.,考题来源,本考题来源于教材复习参考题,4,第,10,题，高考题和教材复习参考题都是以数列的递推公式为载体，根据,n,为奇数和偶数进行讨论求解数列中的项，难度高于教材，属于难题,试题评价,已知数列的递推关系式中含有,，根据,n,为奇数和偶数进行讨论，这是处理同类问题的常用方法本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的分组、并项求和，考查分类讨论思想和运算求解能力,探源,2,等差数列,命题点分析,等差数列是高考的重点，一是考查利用等差数列的通项公式、前,n,项和公式进行基本量运算，多以选择题、填空题形式呈现，属于中低档题；二是考查等差数列的证明、等差数列的性质、等差中项、通项公式及前,n,项和的最大,(,小,),值等问题，多以解答题的形式呈现，属于中档题,【案例,2,】,(2022,全国乙卷,),记,S,n,为等差数列,的前,n,项和若,2,S,3,3,S,2,6,，则公差,d,_,2,由,2,S,3,3,S,2,6,可得,2(,a,1,a,2,a,3,),3,(,a,1,a,2,),6,，,化简得,2,a,3,a,1,a,2,6,，,即,2,2,a,1,d,6,，解得,d,2.,2,考题来源,本题来源于教材习题,4.2,第,1,题，高考题和教材习题都是以等差数列为载体，考查等差数列中基本量的计算，难度稍高于教材,试题评价,教材是学习数学基础知识，形成基本技能的,“,源泉,”,，是高考试题的重要知识载体，本考题通过等差数列前,n,项和之间的关系来考查等差数列的通项公式及性质，体现了数学运算的核心素养，属于容易题,【案例,3,】,(2023,新高考,卷,),已知,a,n,为等差数列，,b,n,记,S,n,，,T,n,分别为数列,a,n,，,b,n,的前,n,项和，,S,4,32,，,T,3,16.,(1),求,a,n,的通项公式；,(2),证明：当,n,5,时，,T,n,S,n,.,解,(1),设等差数列,a,n,的公差为,d,.,因为,b,n,所以,b,1,a,1,6,，,b,2,2,a,2,2,a,1,2,d,，,b,3,a,3,6,a,1,2,d,6.,因为,S,4,32,，,T,3,16,，所以,整理，得,解得,所以,a,n,的通项公式为,a,n,2,n,3.,(2),证明：,由,(1),知,a,n,2,n,3,，,所以,S,n,n,2,4,n,，,b,n,当,n,为奇数时，,T,n,(,1,14),(3,22),(7,30),(2,n,7),(4,n,2),2,n,3,1,3,7,(2,n,7),(2,n,3),14,22,30,(4,n,2),.,当,n,5,时，,T,n,S,n,(,n,2,4,n,),0,，,所以,T,n,S,n,.,当,n,为偶数时，,T,n,(,1,14),(3,22),(7,30),(2,n,5),(4,n,6),1,3,7,(2,n,5),14,22,30,(4,n,6),.,当,n,5,时，,T,n,S,n,(,n,2,4,n,),0,，所以,T,n,S,n,.,综上可知，当,n,5,时，,T,n,S,n,.,考题来源,本题来源于教材习题,4.2,第,3,题，高考题和教材习题都是以等差数列为载体，考查等差数列的通项公式和数列的求和不同的是教材习题分步设问，层层递进，高考题以分段的形式给出数列递推式，加大了题目求解的难度,试题评价,试题首先考查数列的通项及前,n,项和的概念；其次，作为最基本的数列类型，等差数列的两个基本量是首项和公差，要进行求解，需考生将题设所给条件正确转化为它们的方程；最后，本题在等差数列,a,n,的基础上，构造出一个新数列,b,n,考查了考生熟练运用已有知识学习、研究新问题的能力试题既考查了考生的理性思维素养，又考查了逻辑推理、数学运算的核心素养以及分类讨论与整合的能力,探源,3,等比数列,命题点分析,等比数列是高考的重点和热点，一是考查利用等比数列的通项公式、前,n,项和公式进行基本量运算，多以选择题、填空题形式呈现，属于中低档题；二是考查等比数列的证明、等比数列的性质、等比中项、通项公式及前,n,项和等问题，多以解答题的形式呈现，属于中档题,【案例,4,】,(2023,全国甲卷,),记,S,n,为等比数列,a,n,的前,n,项和若,8,S,6,7,S,3,，则,a,n,的公比为,_,由,8,S,6,7,S,3,，可知数列,a,n,的公比,q,1,，所以,8,7,，即,8(1,q,6,),7(1,q,3,),，,即,8(1,q,3,),7,，所以,q,.,考题来源,本考题来源于教材,P,36,例,8,，与教材例题命题角度完全一致，均以等比数列为载体，考查等比数列的前,n,项和公式,试题评价,本题以等比数列基本量的求解为落脚点，考查了等比数列的前,n,项和公式，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养,探源,4,等差、等比数列的综合问题,命题点分析,高考对等差数列与等比数列综合问题的考查，主要有两个方面：一是等差数列与等比数列结合，考查利用通项公式、前,n,项和公式进行基本量的运算及一般数列求和问题；二是与函数、方程、不等式、几何等知识结合，在知识的交汇点处命题，或与数阵、点列结合命制一些创新型问题，也经常与数学文化结合考查数列的实际应用，各种题型均有考查，属于中档题,【案例,5,】,(2022,全国甲卷,),记,S,n,为数列,a,n,的前,n,项和，已知,n,2,a,n,1.,(1),证明：,a,n,是等,差数列；,(2),若,a,4,，,a,7,，,a,9,成等比数列，求,S,n,的最小值,解,(1),证明：,由已知有,2,S,n,n,2,2,na,n,n,，,把,n,换成,n,1,，,2,S,n,1,(,n,1),2,2(,n,1),a,n,1,n,1,，,可得,2,a,n,1,2(,n,1),a,n,1,2,na,n,2,n,，,整理得,a,n,1,a,n,1,，,由等差数列定义可知,a,n,为等差数列,(2),由已知有,a,4,a,9,，设等差数列,a,n,的首项为,x,，由,(1),可知其公差为,1,，,故,(,x,6),2,(,x,3)(,x,8),，解得,x,12,，故,a,1,12,，所以,a,n,12,(,n,1),1,n,13,，,故,S,n,在,n,12,或者,n,13,时取得最小值，,S,12,S,13,78,，,故,S,n,的最小值为,78.,考题来源,本考题来源于教材复习参考题,4,第,12,题，高考题和教材复习参考题都以数列中递推公式,a,n,与,S,n,的关系为载体，考查等差数列、等比数列的综合应用，难度相当,试题评价,本考题以等差数列的证明和求等差数列前,n,项和的最值为落脚点，考查了等差数列的通项公式和前,n,项和公式、等比数列的性质，考查转化化归思想，体现了逻辑推理、数学运算等核心素养，属于中档题,THANKS,