5.2.2,导数的四则运算法则,5.2.2,导数的四则运算法则,第五章一元函数的导数及其应用,5.2,导数的运算,整体感知,学习目标,1,能利用导数的运算法则求函数的导数,(,数学运算,),2,掌握导数的四则运算法则及应用,(,逻辑推理、数学运算,),(,教师用书,),同学们，上节课我们学习了基本初等函数的导数，实际上，它是我们整个导数的基础，而且我们也只会幂函数、指数函数、对数函数、三角函数这四类函数的求导法则，我们知道，可以对基本初等函数进行加、减形式的组合，组合后的函数，又如何求导，这将是我们本节课要学习的内容,讨论交流,问题,1,导数的四则运算法则是什么？,问题,2,在导数的四则运算法则中，若,g,(,x,),c,(,c,为常数,),时,，,f,(,x,),c,等于什么？,等于什么？,自我感知,经过认真的预习,，,结合对本节课的理解和认识,，,请画出本节课的知识逻辑体系,探究建构,探究,1,f,(,x,),g,(,x,),的导数,探究问题,1,设,f,(,x,),x,3,，,g,(,x,),x,，计算,f,(,x,),g,(,x,),与,f,(,x,),g,(,x,),，它们与,f,(,x,),和,g,(,x,),有什么关系？,提示,设,y,f,(,x,),g,(,x,),x,3,x,，,y,(,x,x,),3,(,x,x,),(,x,3,x,),3,x,2,x,3,x,(,x,),2,(,x,),3,x,，,3,x,2,1,3,x,x,(,x,),2,，,y,3,x,2,1,，,而,f,(,x,),3,x,2,，,g,(,x,),1,，,所以,f,(,x,),g,(,x,),f,(,x,),g,(,x,),设,y,f,(,x,),g,(,x,),x,3,x,，,y,(,x,x,),3,(,x,x,),(,x,3,x,),3,x,2,x,3,x,(,x,),2,(,x,),3,x,，,3,x,2,1,3,x,x,(,x,),2,，,y,3,x,2,1,，而,f,(,x,),3,x,2,，,g,(,x,),1,，,所以,f,(,x,),g,(,x,),f,(,x,),g,(,x,),新知生成,两个函数,f,(,x,),和,g,(,x,),的和,(,或差,),的导数：,f,(,x,),g,(,x,),_,【教用,微提醒】,推广式：,f,1,(,x,),f,2,(,x,),f,n,(,x,),f,1,(,x,),f,2,(,x,),f,n,(,x,),f,(,x,),g,(,x,),【链接,教材例题】,例,3,求下列函数的导数：,(1),y,x,3,x,3,；,(,2),y,2,x,cos,x,.,解,(1),y,(,x,3,x,3,),(,x,3,),(,x,),(3,),3,x,2,1,；,(2),y,(2,x,cos,x,),(2,x,),(cos,x,),2,x,ln 2,sin,x,典例讲评,1,求下列函数的导数：,(1),y,x,4,x,2,cos,x,；,(2),y,log,3,x,e,x,.,解,(1),y,(,x,4,),(,x,2,),(cos,x,),4,x,3,2,x,sin,x,.,(2),y,(log,3,x,),(e,x,),e,x,.,反思领悟,两个函数和,(,或差,),的导数，等于这两个函数的导数的和,(,或差,),，对于每一项分别利用导数的运算法则即可,学以致用,1,求下列函数的导数：,(1),y,3,x,；,(2),y,lg,x,x,-2,3.,解,(1),y,(3,x,),(,),3,x,ln 3,.,(2),y,(lg,x,),(,x,-2,),(3),2,x,-3,.,探究,2,f,(,x,),g,(,x,),和,的导数,探究问题,2,设,f,(,x,),x,3,，,g,(,x,),x,，计算,f,(,x,),g,(,x,),与,f,(,x,),g,(,x,),，它们是否相等？,提示,因为,f,(,x,),g,(,x,),(,x,4,),4,x,3,，,f,(,x,),g,(,x,),3,x,2,1,3,x,2,，,3,x,2,，,所以,f,(,x,),g,(,x,),f,(,x,),g,(,x,),，,.,新知生成,1,f,(,x,),g,(,x,),_,，特别地，,cf,(,x,),_,2,_(,g,(,x,)0).,f,(,x,),g,(,x,),f,(,x,),g,(,x,),cf,(,x,),【教用,微提醒】,积的导数公式，中间用,“,加号,”,，前导后不导前不导后导；商的导数公式，分母平方，分子用,“,减号,”,【链接,教材例题】,例,4,求下列函数的导数：,(1),y,x,3,e,x,；,(,2),y,.,解,(1),y,(,x,3,e,x,),(,x,3,)e,x,x,3,(e,x,),3,x,2,e,x,x,3,e,x,.,(2),y,.,典例讲评,2,(,源自北师大版教材,),求下列函数的导数：,(1),y,；,(2),y,x,2,(ln,x,sin,x,),思路导引,根据每个函数解析式的构成特点，利用求导公式和运算法则进行求解,解,(1),函数,y,是函数,f,(,x,),x,2,与,g,(,x,),ln,x,的商，根据导数公式表分别得出,f,(,x,),2,x,，,g,(,x,),.,根据求导的除法法则，可得,.,(2),函数,y,x,2,(ln,x,sin,x,),是函数,f,(,x,),x,2,与,g,(,x,),ln,x,sin,x,的积,根据导数公式表及求导的加法法则分别得出,f,(,x,),2,x,，,g,(,x,),cos,x,.,根据求导的乘法法则，可得,x,2,(ln,x,sin,x,),2,x,(ln,x,sin,x,),x,2,x,2,x,ln,x,2,x,sin,x,x,2,cos,x,反思领悟,利用导数运算法则的策略,(1),分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组成的，确定所需的求导法则和基本公式,(2),如果求导式子比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等,(3),利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导,学以致用,2,求下列函数的导数：,(1),y,；,(2),y,x,2,e,x,.,解,(1),函数,y,是函数,f,(,x,),cos,x,x,与,g,(,x,),x,2,的商,根据导数公式表及求导的减法法则分别得出,f,(,x,),sin,x,1,，,g,(,x,),2,x,.,根据求导的除法法则，可得,.,(2),函数,y,x,2,e,x,是函数,f,(,x,),x,2,与,g,(,x,),e,x,的积，根据导数公式表分别得出,f,(,x,),2,x,，,g,(,x,),e,x,.,根据求导的乘法法则，可得,(,x,2,e,x,),2,x,e,x,x,2,e,x,(2,x,x,2,)e,x,.,【教用,备选题】,求下列函数的导数：,(1),y,4,x,3,x,2,ln,x,1,；,(2),y,.,解,(1),y,12,x,2,2,x,.,(2),y,.,探究,3,导数四则运算法则的综合应用,【链接,教材例题】,例,5,日常生活中的饮用水通常是经过净化的随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加已知将,1 t,水净化到纯净度为,x,%,时所需费用,(,单位：元,),为,c,(,x,),(80,x,100),求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：,(1)90%,；,(2)98%.,解,净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数,c,(,x,),.,(1),因为,c,(90),52.84,，所以，净化到纯净度为,90%,时，净化费用的瞬时变化率是,52.84,元,/,吨,(2),因为,c,(98),1321,，所以，净化到纯净度为,98%,时，净化费用的瞬时变化率是,1321,元,/,吨,函数,f,(,x,),在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢由上述计算可知，,c,(98),25,c,(90),它表示净化到纯净度为,98%,左右时净化费用的变化率，大约是净化到纯净度为,90%,左右时净化费用变化率的,25,倍这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快,典例讲评,3,(1),已知函数,f,(,x,),2cos,x,f,sin,x,，则,f,(,),A,B,C,2,D,2,(2),求曲线,f,(,x,),2,x,ln,x,在点,(1,，,0),处的切线的方程,(1),B,因为,f,(,x,),2cos,x,f,sin,x,，所以,f,(,x,),2sin,x,f,cos,x,，,故,f,2sin,f,cos,，即,f,，,所以,f,.,故选,B.,(2),根据导数公式表及导数的四则运算法则，可得,f,(,x,),(2,x,)ln,x,2,x,(ln,x,),(2,x,ln 2)ln,x,2,x,ln 2ln,x,.,将,x,1,代入,f,(,x,),，得所求切线的斜率为,f,(1),.,所以曲线,f,(,x,),2,x,ln,x,在点,(1,，,0),处的切线的方程为,y,(,x,1),，即,y,x,.,反思领悟,(1),此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素，其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系,(2),准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确,(3),分清,“,在某点,”,和,“,过某点,”,导数的不同,学以致用,3,(1),日常生活中的饮用水通常都是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加已知,1 t,水净化到纯净度为,x,%,时所需费用,(,单位：元,),为,c,(,x,),(80,x,100),那么净化到纯净度为,90%,时所需净化费用的瞬时变化率是,(,),A,40,元,/t B,10,元,/t,C,10,元,/t D,40,元,/t,(2),曲线,y,(,x,1)e,x,在点,(1,，,0),处的切线与坐标轴围成的面积为,_,1,(1),D,(2)1,(1),净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数，,因为,c,(,x,),(80,x,100),，,所以,c,(,x,),，,又因为,c,(90),40,，,所以净化到纯净度为,90%,时所需净化费用的瞬时变化率是,40,元,/t.,(2),由题意可知，,y,x,e,x,，,y,|,x,1,2,，,切线方程为,y,2(,x,1),，即,2,x,y,2,0.,令,x,0,得,y,2,；令,y,0,得,x,1.,曲线,y,(,x,1)e,x,在点,(1,，,0),处的切线与坐标轴围成的面积,S,2,1,1.,2,4,3,题号,1,应用迁移,1,已知,f,(,x,),x,ln,x,，若,f,(,x,0,),2,，则,x,0,(,),A,e,2,B,C,e D,ln 2,C,由已知可得,f,(,x,),ln,x,1,，则,f,(,x,0,),ln,x,0,1,2,，解得,x,0,e.,故选,C.,2,3,题号,1,4,2,(,多选,),下列求导运算不正确的是,(,),A,1,B,C,(5,x,),5,x,log,5,x,D,(,x,2,cos,x,),2,x,sin,x,ACD,对于,A,项，,1,，,A,错误；,对于,B,项，,，,B,正确；,对于,C,项，,(5,x,),5,x,ln 5,，,C,错误；,对于,D,项，,(,x,2,cos,x,),2,x,cos,x,x,2,sin,x,，,D,错误,故选,ACD.,2,3,题号,4,1,3,(2023,全国甲卷,),曲线,y,在点,处的切线方程为,(,),A,y,x,B,y,x,C,y,x,D,y,x,C,设曲线,y,在点,处的切线方程为,y,k,(,x,1),因为,y,，所以,y,，所以,k,y,|,x,1,，