微专题,2,数列求和,微专题,2,数列求和,第四章数列,等差、等比数列可直接应用求和公式求和，非等差、等比数列求和有以下几种常用方法,1,倒序相加法,如果一个数列,a,n,，首末两端等,“,距离,”,的两项的和相等，那么求这个数列的前,n,项和可用倒序相加法，等差数列的前,n,项和即是用此法推导的,2,错位相减法,如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前,n,项和可用此法来求，等比数列的前,n,项和就是用此法推导的,3,裂项相消法,把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和,4,分组求和法,若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或其他可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减,5,并项求和法,一个数列的前,n,项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如,a,n,(,1),n,f,(,n,),类型，可采用两项合并求解,例如：,S,n,100,2,99,2,98,2,97,2,2,2,1,2,(100,99),(98,97),(2,1),5 050.,类型,1,分组求和,【例,1,】,(2023,新高考,卷,),已知,a,n,为等差数列，,b,n,记,S,n,，,T,n,分别为数列,a,n,，,b,n,的前,n,项和，,S,4,32,，,T,3,16.,(1),求,a,n,的通项公式；,(2),证明：当,n,5,时，,T,n,S,n,.,解,(1),设等差数列,a,n,的公差为,d,.,因为,b,n,所以,b,1,a,1,6,，,b,2,2,a,2,2,a,1,2,d,，,b,3,a,3,6,a,1,2,d,6.,因为,S,4,32,，,T,3,16,，所以,整理得,解得,所以,a,n,的通项公式为,a,n,2,n,3.,(2),证明：,由,(1),知,a,n,2,n,3,，,所以,S,n,n,2,4,n,，,b,n,当,n,为奇数时，,T,n,(,1,14),(3,22),(7,30),(2,n,7),(4,n,2),2,n,3,1,3,7,(2,n,7),(2,n,3),14,22,30,(4,n,2),.,当,n,5,时，,T,n,S,n,(,n,2,4,n,),0,，,所以,T,n,S,n,.,当,n,为偶数时，,T,n,(,1,14),(3,22),(7,30),(2,n,5),(4,n,6),1,3,7,(2,n,5),14,22,30,(4,n,6),.,当,n,5,时，,T,n,S,n,(,n,2,4,n,),0,，所以,T,n,S,n,.,综上可知，当,n,5,时，,T,n,S,n,.,反思领悟,分组转化法求和的常见类型,(1),若,a,n,b,n,c,n,，且,b,n,，,c,n,为等差数列或等比数列，则可采用分组求和法求,a,n,的前,n,项和,(2),通项公式为,a,n,的数列，其中,b,n,，,c,n,是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和,学以致用,1,(,多选,),已知数列,a,n,的通项公式为,a,n,A,2,n,Bn,1,，前,n,项和为,S,n,，则,(,),A,当,A,0,，,B,2,时，,S,n,n,2,B,当,A,1,，,B,0,时，,S,n,2,n,+1,n,2,C,当,A,，,B,1,时，,n,N,*,，,a,n,1,S,n,D,当,A,1,，,B,1,时，,n,N,*,，使得,S,n,2,a,n,ABD,当,A,0,，,B,2,时，,a,n,2,n,1,，所以,S,n,n,2,，故,A,正确；,当,A,1,，,B,0,时，,a,n,2,n,1,，所以,S,n,n,2,n,+1,n,2,，故,B,正确；,当,A,，,B,1,时，,a,n,2,n,-1,n,1,，所以,a,n,1,2,n,n,2.,S,n,2,n,1,，,a,n,1,S,n,n,1,，,当,n,1,时，,a,n,1,S,n,，当,n,2,时，,a,n,1,S,n,，故,C,错误；,当,A,1,，,B,1,时，,a,n,2,n,n,1,，所以,S,n,2,n,+1,2.,当,S,n,2,a,n,时，解得,n,5,，所以,n,N,*,，使得,S,n,2,a,n,成立，故,D,正确,故选,ABD.,类型,2,倒序相加法求和,【例,2,】,已知函数,f,(,x,),对任意的,x,R,，都有,f,(,x,),f,(1,x,),1,，若数列,a,n,满足,a,n,f,(0),f,f,f,f,(1),，求数列,a,n,的通项公式,解,f,(,x,),f,(1,x,),1,，,f,f,1.,a,n,f,(0),f,f,f,f,(1),，,a,n,f,(1),f,f,f,f,(0),，,得,2,a,n,n,1,，,a,n,，故数列,a,n,的通项公式为,a,n,.,反思领悟,倒序相加法求和适合的题型,一般情况下，数列项数较多，且距首末等距离的项之间隐含某种关系，需要结合题意主动发现这种关系，利用推导等差数列前,n,项和公式的方法，倒序相加求和,学以致用,2,德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有,“,数学王子,”,之称，在历史上有很大的影响他幼年时就表现出超人的数学天赋，,10,岁时，他在进行,1,2,3,100,的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称为高斯算法已知数列,a,n,，则,a,1,a,2,a,98,等于,(,),A,96,B,97,C,98,D,99,C,S,a,1,a,2,a,97,a,98,，,S,a,98,a,97,a,2,a,1,，,两式相加得，,2,S,98,2,，,S,98.,故选,C.,类型,3,裂项相消法求和,【例,3,】,已知在数列,a,n,中，,a,1,1,，且满足,a,n,1,a,n,2,n,，,b,n,a,n,n,2,(,n,N,*,),(1),证明数列,b,n,是等差数列，并求数列,b,n,的通项公式；,(2),设,S,n,为数列,的前,n,项和，求满足,S,n,的,n,的最小值,解,(1),证明：,因为,b,n,1,b,n,(,a,n,n,2,),a,n,1,a,n,2,n,1,1,，,b,1,a,1,1,2,，,所以数列,b,n,是首项为,2,，公差为,1,的等差数列，,所以,b,n,2,(,n,1),n,1.,(2),因为,，,所以,S,n,，令,S,n,，解得,n,10,，,所以满足,S,n,的,n,的最小值为,10.,母题探究,已知数列,b,n,的通项公式为,b,n,2,n,1,，求数列,的前,n,项和,T,n,.,解,由,b,n,2,n,1,得,，,所以,T,n,.,反思领悟,(1),裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止,(2),消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项,(3),常见的裂项求和的形式：,.,.,.,.,.,ln,ln(,n,1),ln,n,.,.,学以致用,3,已知数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,，且满足,S,n,n,2,a,n,(,n,N,*,),(1),证明：数列,a,n,1,是等比数列；,(2),设,b,n,，求数列,b,n,的前,n,项和,T,n,.,解,(1),证明：,当,n,1,时，,a,1,1,2,a,1,，得,a,1,1.,当,n,2,时，,两式相减得,a,n,2,a,n,1,1(,n,2),，,即,a,n,1,2(,a,n,1,1)(,n,2),，又,a,1,1,2,，且,a,n,1,1,0,，,所以数列,a,n,1,是以,2,为公比，,2,为首项的等比数列,(2),由,(1),知,a,n,1,2,n,(,n,N,*,),，,即,a,n,2,n,1(,n,N,*,),b,n,，,则,T,n,b,1,b,2,b,n,1,.,微专题强化练,(,二,),点击页面进入,数列求和,（,WORD,版）,巩固课堂所学,激发学习思维,夯实基础知识,熟悉命题方式,自我检测提能,及时矫正不足,本节课掌握了哪些考点？,本节课还有什么疑问点？,课后训练,学习反思,课时小结,THANKS,