宁夏青吴忠市铜峡高级中学2025届高二数学第一学期期末统考模拟试题注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角条形码粘贴处。2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知全集，（）A.B.C.D.2以下命题是真命题的是（）A.方差和标准差都是刻画样本数据分散程度的统计量B.若m为数据（i=1，2，3，2021）的中位数，则C.回归直线可能不经过样本点的中心D.若“”为假命题，则均为假命题3将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴广交会的四个不同地方服务，不同的分配方案有（ ）种A.B.C.D.4在长方体中，点分别在棱上，则（ ）A.B.C.D.5若双曲线的渐近线方程为，则的值为（）A.2B.3C.4D.66设等比数列的前项和为，若，则的值是（ ）A.B.C.D.47在棱长为4的正方体中，为的中点，点P在正方体各棱及表面上运动且满足，则点P轨迹围成的图形的面积为（ ）A.B.C.D.8我国古代的数学名著九章算术中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问次日织几问?其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，请问第二天织布的尺数是（ ）A.B.C.D.9用反证法证明命题“a，bN，如果ab可以被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”假设内容是()A.a，b都能被5整除B.a，b都不能被5整除C.a不能被5整除D.a，b有1个不能被5整除10抛物线的焦点到其准线的距离是（）A.4B.3C.2D.111圆截直线所得弦的最短长度为（）A.2B.C.D.412若且，则下列选项中正确的是（）AB.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知双曲线的左，右焦点分别为，右焦点到一条渐近线的距离是，则其离心率的值是_；若点P是双曲线C上一点，满足，则双曲线C的方程为_14设命题：，则为_ .15椭圆的离心率是_16甲乙参加摸球游戏，袋子中装有3个黑球和1个白球，球的大小、形状、质量等均一样，若从袋中有放回地取1个球，再取1个球，若取出的两个球同色，则甲胜，若取出的两个球不同色则乙胜，求乙获胜的概率为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）如图，在三棱锥中，平面平面，都是等腰直角三角形，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面.18（12分）如图，在直三棱柱中，分别为，的中点（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值19（12分）已知椭圆左，右顶点分别是，且，是椭圆上异于，的不同的两点（1）若，证明：直线必过坐标原点；（2）设点是以为直径的圆和以为直径的圆的另一个交点，记线段的中点为，若，求动点的轨迹方程20（12分）已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且，（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和21（12分）已知抛物线经过点.（）求抛物线C的方程及其焦点坐标；（）过抛物线C上一动点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，求四边形面积的最小值.22（10分）如图，点是曲线上的动点(点在轴左侧)，以点为顶点作等腰梯形，使点在此曲线上，点在轴上.设，等腰梯的面积为.（1）写出函数的解析式，并求出函数的定义域；（2）当为何值时，等腰梯形的面积最大？求出最大面积.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据条件可得，则，结合条件即可得答案.【详解】因，所以，则，又，所以，即.故选：C2、A【解析】A：根据方差和标准差的定义进行判断；B：根据中位数的定义判断；C：根据回归直线必过样本中心点进行判断；D：根据“且”命题真假关系进行判断.【详解】对于A，方差和标准差都是刻画样本数据分散程度的统计量，故A正确；对于B，若为数据，2，3，的中位数，需先将数据从小到大排列，此时数据里面之间的数顺序可能发生变化，则为排序后的第1010个数据的值，这个数不一定是原来的，故B错误；对于C，回归直线一定经过样本点的中心，故C错误；对于D，若“”为假命题，则、中至少有一个是假命题，故D错误；故选：A3、B【解析】先按要求分为四组，再四个不同地方，四个组进行全排列.【详解】两个组各2人，两个组各1人，属于部分平均分组，要除以平均分组的组数的全排列，故分组方案有种，再将分得的4组，分配到四个不同地方服务，则不同的分配方案有种.故选：B4、D【解析】依题意可得，从而得到，即可得到，从而得解；【详解】解：由长方体的性质可得，又，所以，因为，所以，所以，因为，所以；故选：D5、A【解析】根据双曲线方程确定焦点位置，再根据渐近线方程为求解.【详解】因为双曲线所以焦点在x轴上，又因为渐近线方程为，所以，所以.故选：A【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.6、B【解析】根据题意，由等比数列的性质可知成等比数列，从而可得，即可求出的结果.【详解】解：已知等比数列的前项和为，由等比数列的性质得：成等比数列，且公比不为-1即成等比数列， .故选：B.7、A【解析】构造辅助线，找到点P轨迹围成的图形为长方形，从而求出面积.【详解】取的中点E，的中点F，连接BE，EF，AF，则由于为的中点，可得，所以CBE=ECN，从而BCN+CBE=BCN+ECN=90，所以BECN，又EF平面，平面，所以EFCN，又因为BEEF=E，所以CN平面ABEF，所以点P轨迹围成的图形为矩形ABEF，又，所以矩形ABEF面积为.故选：A8、C【解析】根据等比数列求和公式求出首项即可得解.【详解】由题可得该女子每天织布的尺数成等比数列，设其首项为，公比为，则，解得所以第二天织布的尺数为.故选：C9、B【解析】由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证命题“a，bN，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”考点：反证法10、C【解析】由抛物线焦点到准线的距离为求解即可.【详解】因为抛物线焦点到准线的距离为,故抛物线的焦点到其准线的距离是2.故选：C【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程中的几何意义,属于基础题型.11、A【解析】由题知直线过定点，且在圆内，进而求解最值即可.【详解】解：将直线化为，所以联立方程得所以直线过定点将化为标准方程得，即圆心为，半径为，由于，所以点在圆内，所以点与圆圆心间的距离为，所以圆截直线所得弦的最短长度为故选：A12、C【解析】对于A，作商比较，对于B，利用基本不等式的推广式判断，对于C，利用在单位圆中，内接正边形的面积小于内接正边形的面积判断，对于D，利用放缩法判断【详解】，故错误；，故错误；在单位圆中，内接正边形的面积小于内接正边形的面积（必修三阅读材料割圆术），则，故正确；，故错误故选：C【点睛】关键点点睛：此题考查不等式的综合应用，考查基本不等式的推广式的应用，考查放缩法的应用，对于C项解题的关键是利用了在单位圆中，内接正边形的面积小于内接正边形的面积求解，考查数学转化思想，属于难题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、 .#1.5 .【解析】求得焦点到渐近线的距离可得，计算即可求得离心率，由双曲线的定义可求得，计算即可得出结果.【详解】双曲线的渐近线方程为，即，焦点到渐近线的距离为，又，.双曲线上任意一点到两焦点距离之差的绝对值为，即，即，解得：，由，解得：,.双曲线C的方程为.故答案为：；.14、，【解析】由全称命题的否定即可得到答案【详解】根据全称命题的否定，可得为，【点睛】本题考查了含有量词的命题否定，属于基础题15、【解析】求出、的值，即可得出椭圆的离心率.【详解】在椭圆中，因此，椭圆的离心率是.故答案为：.16、#0.375【解析】先算出有放回地取两次的取法数，再算出取出两球不同色的取法数，根据古典概型的概率公式计算即可求得答案.【详解】有放回地取两球，共有种取法，两次取球不同色的取法有种，故乙获胜的概率为 ，故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析 （2）证明见解析【解析】（1）由三角形的中位线定理可证得MNAB，再由线面垂直的判定定理可证得结论，（2）由已知可得ABBC，VCAC，再由已知结合面面垂直的性质定理可得VC平面ABC，从而有ABVC，然后由线面垂直的判定定理可证得结论【小问1详解】证明：M，N分别为VA，VB的中点，MNAB，AB平面CMN，MN平面CMN，AB平面CMN【小问2详解】证明：ABC和VAC均是等腰直角三角形，ABBC，ACCV，ABBC，VCAC，平面VAC平面ABC，平面VAC平面ABCAC，VC平面ABC，AB平面ABC，ABVC，又VCBCC，AB平面VBC18、（1）证明见解析 （2）【解析】（1）利用空间向量求出空间直线的向量积，即可证明两直线垂直.（2）利用空间向量求直线与平面所成空间角的正弦就是就出平面的法向量与直线的方向向量之间夹角的余弦即可.【小问1详解】如图，以为坐标原点，所在直线为，轴，建立空间直角坐标系，则，因为，所以，即；【小问2详解】设平面的法向量为因为，由，得，令，则所以平面的一个法向量为，又所以故直线与平面所成角的正弦值为19、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）设，首先证明，从而可得到，即得到；进而可得到四边形为平行四边形；再根据为的中点，即可证明直线必过坐标原点（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，消元，写韦达；根据条件可求出直线MN过定点，从而可得到过定点，进而可得到点在以为直径的圆上运动，从而可求出动点的轨迹方程【小问1详解】设，则，即因为，所以因为，所以，所以.同理可证.因为，所以四边形为