专题18单变量不含参不等式证明方法之凹凸反转 一、凹函数、凸函数的几何特征二、凹凸反转很多时候，我们需要证明f(x)0，但不代表就要证明f(x) min0，因为大多数情况下，f(x)的零点是解不出来的当然，导函数的零点如果解不出来，可以用设隐零点的方法，但是隐零点也不是万能的方法，如果隐零点法不行可尝试用凹凸反转如要证明f(x)0，可把f(x)拆分成两个函数g(x)，h(x)，放在不等式的两边，即要证g(x)h(x)，只要证明了g(x) minh(x) max即可，如上右图，这个命题显然更强，注意反过来不一定成立很明显，g(x)是凹函数，h(x)是凸函数，因为这两个函数的凹凸性刚好相反，所以称为凹凸反转凹凸反转与隐零点都是用来处理导函数零点不可求问题的，两种方法互为补充凹凸反转关键是如何分离，常见的不等式是由指数函数、对数函数、分式函数和多项式函数构成，当我们构造差值函数不易求出导函数零点时(当然可以考虑用隐零点的方法)，要考虑指、对分离(对数单身狗，指数找基友，指对在一起，常常要分手)，即指数函数和多项式函数组合与对数函数和多项式函数组合分开，构造两个单峰函数，然后利用导数分别求两个函数的最值并进行比较当然我们要非常熟练掌握一些常见的指(对)数函数和多项式组合的函数的图象与最值三、六大经典超越函数的图象和性质1x与ex的组合函数的图象与性质函数f(x)xexf(x)f(x)图象定义域R(，0)(0，)R值域(，0)(e，)(，单调性在(，1)上递减在(1，)上递增在(，0)，(0，1)上递减在(1，)上递增在(，1)上递增在(1，)上递减最值f(x)minf(1)当x0时，f(x)minf(1)f(x)maxf(1)2x与ln x的组合函数的图象与性质函数f(x)xlnxf(x)f(x)图象定义域(0，)(0，)(0，1)(1，)值域(，)(，0)e，)单调性在(0，)上递减在(，)上递增在(0，e)上递增在(e，)上递减在(0，1)，(1，e)上递减在(e，)上递增最值f(x)minf()f(x)maxf(e)当x0时，f(x)minf(e)e【例题选讲】例1 (2014全国)设函数f(x)aexln x，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线为ye(x1)2(1)求a，b；(2)证明：f(x)1例2已知函数f(x)(mR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当m0时，证明：x0，ex2(1ln x)f(x)xf(1)例3已知f(x)lnx(1)若函数g(x)xf(x)，讨论g(x)的单调性与极值；(2)证明：f(x)例4已知(1)当时，求在的最值；(2)求证：，【对点精练】1已知函数f(x)eln xax(aR)(1)讨论f(x)的单调性；(2)当ae时，证明：xf(x)ex2ex02已知，其中常数(1)当时，求函数的极值；(2)求证：3设函数(1)当时，求的极值；(2)当时，证明：在上恒成立4已知f(x)xln x，g(x)x2ax3(1)若对一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围(2)证明：对一切x(0，)，ln x恒成立5已知函数f(x)ln x，g(x)exbx，a，bR，e为自然对数的底数(1)若函数yg(x)在R上存在零点，求实数b的取值范围；(2)若函数yf(x)在x处的切线方程为exy2b0求证：对任意的x(0，)，总有f(x)g(x)6已知f(x)xlnx(1)求函数f(x)在t，t2(t0)上的最小值；(2)证明：对一切x(0，)，都有lnx成立