专题09函数的最值 考点一求已知函数的最值【方法总结】导数法求给定区间上函数的最值问题的一般步骤(1)求函数f(x)的导数f(x)；(2)求f(x)在给定区间上的单调性和极值；(3)求f(x)在给定区间上的端点值；(4)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最大值与最小值；(5)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范【例题选讲】例1(1)函数f(x)lnxx在区间(0，e上的最大值为_答案1解析f(x)1，令f(x)0得x1当x(0，1)时，f(x)0；当x(1，e时，f(x)0当x1时，f(x)取得最大值，且f(x)maxf(1)ln 111(2)函数f(x)x2x2lnx的最小值为 答案解析因为f(x)x1(x0)，所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以f(x)minf(1)1(3)已知函数f(x)x3mx2nx2，其导函数f(x)为偶函数，f(1)，则函数g(x)f(x)ex在区间0，2上的最小值为 答案2e解析由题意可得f(x)x22mxn，f(x)为偶函数，m0，故 f(x)x3nx2，f(1)n2，n3f(x)x33x2，则f(x)x23故g(x)ex(x23)，则g(x)ex(x232x)ex(x1)(x3)，据此可知函数g(x)在区间0，1)上单调递减，在区间(1，2上单调递增，故函数g(x)的极小值，即最小值为g(1)e1(123)2e(4)已知函数f(x)2sinxsin2x，则f(x)的最小值是_答案解析f(x)的最小正周期T2，求f(x)的最小值相当于求f(x)在0，2上的最小值f(x)2cosx2cos2x2cosx2(2cos2x1)4cos2x2cosx22(2cosx1)(cosx1)令f(x)0，解得cosx或cosx1，x0，2由cosx1，得x；由cosx，得x或x函数的最值只能在导数值为0的点或区间端点处取到，f()2sinsin20，f 2sinsin，f ，f(0)0，f(2)0，f(x)的最小值为(5)设正实数x，则f(x)的值域为_答案解析令ln xt，则xet，g(t)，令t2m，m0，h(m)，h(m)，令h(m)0，解得m1，当0m0，函数h(m)单调递增，当m1时，h(m)0令h(x)xeln x1(x0)，则h(x)1当xe时，h(x)0，当0xe时，h(x)0)，则(x)，当x(0，1)时，(x)0，(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，(x)min(1)e1，ke1(8)(多选)设函数f(x)，则下列选项正确的是()Af(x)为奇函数Bf(x)的图象关于点(0，1)对称Cf(x)的最大值为1Df(x)的最小值为1答案BCD解析f(x)1，不满足f(x)f(x)，故A项错误；令g(x)，则g(x)g(x)，所以g(x)为奇函数，则f(x)关于点(0，1)对称，B项正确；设f(x)1的最大值为M，则g(x)的最大值为M1，设f(x)1的最小值为N，则g(x)的最小值为N1，当x0时，g(x)，所以g(x)，当0x1时，g(x)0，当x1时，g(x)0，所以当0x1时，g(x)单调递增，当x1时，g(x)单调递减，所以g(x)在x1处取得最大值，最大值为g(1)，由于g(x)为奇函数，所以g(x)在x1处取得最小值，最小值为g(1)，所以f(x)的最大值为M1，最小值为N1，故C、D项正确故选B、C、D例2已知函数f(x)excos xx(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值解析(1)因为f(x)excos xx，所以f(x)ex(cos xsin x)1，f(0)0又因为f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y1(2)设h(x)ex(cos xsin x)1，则h(x)ex(cos xsin xsin xcos x)2exsin x当x时，h(x)0，所以h(x)在区间上单调递减所以对任意x，有h(x)h(0)0，即f(x)0所以函数f(x)在区间上单调递减因此f(x)在区间上的最大值为f(0)1，最小值为f例3(2017浙江)已知函数f(x)(x)ex(1)求f(x)的导函数；(2)求f(x)在区间上的取值范围解析(1)f(x)(x)ex(x)(ex)ex(x)exex(1x)ex(2)令f(x)(1x)ex0，解得x1或当x变化时，f(x)，f(x)的变化如下表：x1f(x)00f(x)e0e又fe，f(1)0，fe，则f(x)在区间上的最大值为e又f(x)(x)ex(1)2ex0综上，f(x)在区间上的取值范围是例4(2021北京)已知函数f(x)(1)若a0，求yf(x)在(1，f(1)处的切线方程；(2)若函数f(x)在x1处取得极值，求f(x)的单调区间，以及最大值和最小值解析(1)当a0时，f(x)，则f(x)当x1时，f(1)1，f(1)4，故yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为y14(x1)，整理得4xy50(2)已知函数f(x)，则f(x)若函数f(x)在x1处取得极值，则f(1)0，即0，解得a4经检验，当a4时，x1为函数f(x)的极大值，符合题意此时f(x)，其定义域为R，f(x)，令f(x)0，解得x11，x24f(x)，f(x)随x的变化趋势如下表：x(，1)1(1，4)4(4，)f(x)00f(x)极大值极小值故函数f(x)的单调递增区间为(，1)，(4，)，单调递减区间为(1，4)由上表知f(x)的极大值为f(1)1，极小值为f(4)又因为x0；x时，f(x)0，所以函数f(x)的最大值为f(1)1，最小值为f(4)例5已知函数f(x)(1)求f(x)在区间(，1)上的极小值和极大值；(2)求f(x)在1，e(e为自然对数的底数)上的最大值解析(1)当x1时，f(x)3x22xx(3x2)，令f(x)0，解得x0或x当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0f(x)00f(x)极小值极大值故当x0时，函数f(x)取到极小值，极小值为f(0)0，当x时，函数f(x)取到极大值，极大值为f(2)当1x0时，f(x)在1，e上单调递增则f(x)在1，e上的最大值为f(e)a故当a2时，f(x)在1，e上的最大值为a；当a2时，f(x)在1，e上的最大值为2【对点训练】1函数y在0，2上的最大值是()ABC0D1答案A解析易知y，x0，2，令y0，得0x1，令y0，得1x2，所以函数y在0，1上单调递增，在(1，2上单调递减，所以y在0，2上的最大值是ymax，故选A2函数f(x)2xlnx的最小值为_2答案1ln 2解析f(x)的定义域为(0，)，f(x)2，当0x时，f(x)时，f(x)0f(x)在上单调递减，在上单调递增，f(x)minf1ln 1ln 23已知f(x)2x36x2m(m为常数)在2，2上有最大值3，那么此函数在2，2上的最小值是()A37B29C5D以上都不对3答案A解析f(x)6x212x6x(x2)，f(x)在(2，0)上单调递增，在(0，2)上单调递减，x0为极大值点，也为最大值点，f(0)m3，m3f(2)37，f(2)5最小值是37故选A4已知函数f(x)x2sinx，x0，2，则f(x)的值域为()ABCD0，24答案D解析f(x)12cosx，x0，2，令f(x)0，得cosx，x或x，又f，f，f(0)0，f(2)2，ff20，f(0)fff(2)，f(x)maxf(2)2，f(x)minf(0)0，f(x)的值域为0，25设0x，则函数y的