专题07构造函数法解决导数不等式问题(二)考点四构造F(x)f(x)g(x)，F(x)f(x)g(x)，F(x)类型的辅助函数【方法总结】(1)若F(x)f(x)axnb，则F(x)f(x)naxn1；(2)若F(x)f(x)g(x)，则F(x)f(x)g(x)；(3)若F(x)f(x)g(x)，则F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(4)若F(x)，则F(x)由此得到结论：(1)出现f(x)naxn1形式，构造函数F(x)f(x)axnb；(2)出现f(x)g(x)形式，构造函数F(x)f(x)g(x)；(3)出现f(x)g(x)f(x)g(x)形式，构造函数F(x)f(x)g(x)；(4)出现f(x)g(x)f(x)g(x)形式，构造函数F(x)【例题选讲】例1(1)函数f(x)的定义域为R，f(1)3，对任意xR，f(x)3x6的解集为()Ax|1x1Cx|x1DR答案C解析设g(x)f(x)(3x6)，则g(x)f(x)30的解集是x|x1，当x时，不等式f(2cos x)2sin2的解集为()ABCD答案D解析令g(x)f(x)，则g(x)f(x)0，g(x)在R上单调递增，且g(1)f(1)0，f(2cos x)2sin2f(2cos x)g(2cos x)，f(2cos x)2sin2，即g(2cos x)0，2cos x1，又x，x(4)f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)2x若f(a2)f(a)44a，则实数a的取值范围是()A(，1B1，)C(，2D2，)答案A解析令G(x)f(x)x2，则G(x)f(x)2x当x0，)时，G(x)f(x)2x0，G(x)在0，)上是增函数由f(a2)f(a)44a，得f(a2)(a2)2f(a)a2，即G(a2)G(a)，又f(x)是定义在R上的偶函数，知G(x)是偶函数故|a2|a|，解得a1(5)已知f(x)是函数f(x)的导数，且f(x)f(x)，当x0时，f(x)3x，则不等式f(x)f(x1)3x，所以当x0时，g(x)f(x)3x0，即g(x)在0，)上单调递增因为f(x)f(x)，所以g(x)f(x)x2f(x)x2g(x)，所以g(x)是偶函数因为f(x)f(x1)3x，所以f(x)x2f(x1)(x1)2，即g(x)g(x1)，所以g(|x|)g(|x1|)，则|x|x1|，解得x0时，f(x)f(x)xlnx0的解集为_答案(0，1)解析由于函数yf(x)为R上的奇函数，则f(0)0当x0时，f(x)f(x)xlnx0，则f(1)0时，构造函数g(x)f(x)lnx，则g(x)f(x)lnxf(x)0，所以函数yg(x)在区间(0，)上单调递减，且g(1)0当0x1时，lnxg(1)0，即f(x)lnx0，此时f(x)1时，lnx0，g(x)g(1)0，即f(x)lnx0，此时f(x)0又f(1)0时，f(x)0由于函数yf(x)为R上的奇函数，当x0对于不等式(x1)f(x)0，当x0时，x10，则f(x)0，不符合题意；当0x1时，x10，则f(x)1时，x10，则f(x)0，不符合题意综上所述，不等式(x1)f(x)0的解集为(0，1)(7)(多选)定义在(0，)上的函数f(x)的导函数为f(x)，且(x1)f(x)f(x)x22x对任意x(0，)恒成立下列结论正确的是()A2f(2)3f(1)5B若f(1)2，x1，则f(x)x2xCf(3)2f(1)7D若f(1)2，0x1，则f(x)x2x解析CD答案设函数g(x)，则g(x)因为(x1)f(x)f(x)x22x对任意x(0，)恒成立，所以g(x)0，故g(x)在(0，)上单调递减，从而g(1)g(2)g(3)，整理得2f(2)3f(1)5，f(3)2f(1)7，故A错误，C正确当0x1时，若f(1)2，因为g(x)在(0，)上单调递减，所以g(x)g(1)，即，即f(x)x2x，故D正确，从而B不正确即结论正确的是CD(8)已知函数f(x)，对xR，都有f(x)f(x)x2，在(0，)上，f(x)0时，g(x)f (x)x0，则函数F(x)xf(x)的零点个数是()A0 B1 C2 D3答案B解析依题意，记g(x)xf(x)，则g(x)xf(x)f(x)，g(0)0，当x0时，g(x)xf(x)0，g(x)是增函数，g(x)0；当x0时，g(x)xf(x)0在同一坐标系内画出函数yg(x)与y的大致图象，结合图象可知，它们共有1个公共点，因此函数F(x)xf(x)的零点个数是1(10)函数f(x)满足x2f(x)2xf(x)，f(2)，当x0时，f(x)的极值状态是_答案没有极大值也没有极小值解析因为x2f(x)2xf(x)，关键因为等式右边函数的原函数不容易找出，因此把等式左边函数的原函数找出来，设h(x)x2f(x)，则h(x)，且h(2)，因为x2f(x)2xf(x)，则f(x)，判断f(x)的极值状态就是判断f(x)的正负，设g(x)ex2h(x)，则g(x)ex2h(x)ex2ex，这里涉及二阶导，g(x)在x2处取得最小值0，因此g(x) 0，则f(x)0，故f(x)没有极大值也没有极小值(有难度，但不失为好题目)【对点训练】1已知函数f(x)的定义域为R，f(1)2，且对任意xR，f(x)2，则f(x)2x4的解集为()A(1，1)B(1，)C(，1)D(，)1答案B解析由f(x)2x4，得f(x)2x40设F(x)f(x)2x4，则F(x)f(x)2因为f(x)2，所以F(x)0在R上恒成立，所以F(x)在R上单调递增又F(1)f(1)2(1)42240，故不等式f(x)2x40等价于F(x)F(1)，所以x1，故选B2已知函数f(x)(xR)满足f(1)1，f(x)的导数f(x)，则不等式f(x2)的解集为 2答案x|x1解析设F(x)f(x)x，F(x)f(x)，f(x)，F(x)f(x)0，即函数F(x)在R上单调递减f(x2)，f(x2)f(1)，F(x2)1，即不等式的解集为x|x13已知定义域为R的函数f(x)的导数为f(x)，且满足f(x)x21的解集是()A(，1)B(1，)C(2，)D(，2)3答案D解析令g(x)f(x)x2，则g(x)f(x)2xx21可化为f(x)x21，而g(2)f(2)22341，所以不等式可化为g(x)g(2)，故不等式的解集为(，2)故选D4定义在(0，)上的函数f(x)满足x2f(x)10，f(1)4，则不等式f(x)3的解集为_4解析(1，)答案由x2f(x)10得f(x)0，构造函数g(x)f(x)3，则g(x)f(x)0，即g(x)在(0，)上是增函数又f(1)4，则g(1)f(1)130，从而g(x)0的解集为(1，)，即f(x)3的解集为(1，)5设f(x)为R上的奇函数，当x0时，f(x)cosx0，则不等式f(x)sinx的解集为 5答案(0，)解析令(x)f(x)sinx，当x0时，(x)f(x)cosx0，(x)在0，)上单调递减，又f(x)为R上的奇函数，(x)为R上的奇函数，(x)在(，0上单调递减，故(x)在R上单调递减且(0)0，不等式f(x)sinx可化为f(x)sinx0，即