专题04函数的单调性函数的单调性与导数的关系已知函数f(x)在区间(a，b)上可导，(1)如果f(x)0，那么函数yf(x)在(a，b)内单调递增；(2)如果f(x)0，那么函数yf(x)在(a，b)内单调递减；(2)如果f(x)0，那么函数yf(x)在(a，b)内是常数函数注意：1在某区间内f(x)0(f(x)0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件2可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是x(a，b)，都有f(x)0(f(x)0)且f(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零(1)在函数定义域内讨论导数的符号(2)两个或多个增(减)区间之间的连接符号，不用“”，可用“，”或用“和”考点一不含参数的函数的单调性【方法总结】利用导数判断函数单调性的步骤第1步，确定函数的定义域；第2步，求出导数f(x)的零点；第3步，用f(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f(x)在各区间上的正负，由此得出函数yf(x)在定义域内的单调性【例题选讲】例1(1)定义在2，2上的函数f(x)与其导函数f(x)的图象如图所示，设O为坐标原点，A，B，C，D四点的横坐标依次为，1，则函数y的单调递减区间是()ABCD(1，2)答案B解析若虚线部分为函数yf(x)的图象，则该函数只有一个极值点，但其导函数图象(实线)与x轴有三个交点，不符合题意；若实线部分为函数yf(x)的图象，则该函数有两个极值点，则其导函数图象(虚线)与x轴恰好也只有两个交点，符合题意对函数y求导得y，由y0，得f(x)f(x)，由图象可知，满足不等式f(x)f(x)的x的取值范围是，因此，函数y的单调递减区间为故选B(2)已知函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可以是()答案C解析根据导函数的正负与原函数的单调性的关系，结合导函数f(x)的图象可知，原函数f(x)先单调递增，再单调递减，最后缓慢单调递增，选项C符合题意，故选C(3)函数f(x)x2xsinx的图象大致为()答案A解析函数f(x)x2xsin x的定义域为R，且f(x)(x)2(x)sin(x)x2xsin xf(x)，即函数f(x)为偶函数当x0时，xsinx0，故f(x)x(1cosx)(xsinx)0，即f(x)在(0，)上单调递增，故选A(4)函数f(x)x2的单调递增区间是_；单调递减区间是_答案(，0)(0，1)解析f(x)的定义域为x|x1，f(x)1 令f(x)0，得x0当0x1时，f(x)0当x0f(x)的单调递增区间为(，0)，单调递减区间为(0，1)(5)设函数f(x)x(ex1)x2，则f(x)的单调递增区间是_，单调递减区间是_答案(，1)，(0，)1，0解析f(x)x(ex1)x2，f(x)ex1xexx(ex1)(x1)令f(x)0，得x1或x0当x(，1)时，f(x)0当x1，0时，f(x)0当x(0，)时，f(x)0故f(x)在(，1)，(0，)上单调递增，在1，0上单调递减(6)函数yx2lnx的单调递减区间为()A(1，1)B(0，1)C(1，)D(0，)答案B解析yx2ln x，yx(x0)令y0，得0x1，递减区间为(0，1)(7)设函数f(x)2(x2x)ln xx22x，则函数f(x)的单调递减区间为()ABC(1，)D(0，)答案B解析由题意可得f(x)的定义域为(0，)，f(x)2(2x1)ln x2(x2x)2x2(4x2)ln x由f(x)0可得(4x2)ln x0，所以或解得x1，故函数f(x)的单调递减区间为，选B(8)已知定义在区间(0，)上的函数f(x)x2cosx，则f(x)的单调递增区间为 答案，解析f(x)12sin x，x(0，)令f(x)0，得x或x，当0x0，当x时，f(x)0，当x0，f(x)在和上单调递增，在上单调递减(9)函数f(x)2|sinx|cos2x在，上的单调递增区间为() A，和0，B，0和，C，和，D，答案A解析由题意，因为f(x)2|sin(x)|cos(2x)2|sinx|cos2xf(x)，所以f(x)为偶函数，当0x时，f(x)2sinxcos2x，则f(x)2cosx2sin2x，令f(x)0，得sinx，所以0x，由f(x)为偶函数，可得当x0时，f(x)单调递减，则在，上单调递增，故选A(10)下列函数中，在(0，)上为增函数的是()Af(x)sin2xBf(x)xexCf(x)x3xDf(x)xln x答案B解析对于A，f(x)sin 2x的单调递增区间是(kZ)；对于B，f(x)ex(x1)，当x(0，)时，f(x)0，函数f(x)xex在(0，)上为增函数；对于C，f(x)3x21，令f(x)0，得x或x0，得0x0恒成立，f(x)在区间(4，5)上单调递增2函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是()2答案D解析设导函数yf(x)与x轴交点的横坐标从左往右依次为x1，x2，x3，由导函数yf(x)的图象易得当x(，x1)(x2，x3)时，f(x)0(其中x10x2x3)，所以函数f(x)在(，x1)，(x2，x3)上单调递减，在(x1，x2)，(x3，)上单调递增，观察各选项，只有D选项符合3(多选)已知函数f(x)的导函数f(x)的图象如图所示，那么下列图象中不可能是函数f(x)的图象的是()3答案BCD解析由导函数图象可得：当x0，即函数f(x)在(，0)上单调递增；当0x2时，f(x)2时，f(x)0，即函数f(x)在(2，)上单调递增故选B、C、D4函数f(x)的导函数f(x)有下列信息：f(x)0时，1x2；f(x)0时，x2；f(x)0时，x1或x2则函数f(x)的大致图象是()4答案C解析由题意可知函数f(x)在(1，2)上单调递增，在(，1)和(2，)上单调递减，故选C5函数yf(x)的图象如图所示，则yf(x)的图象可能是()5答案D解析由函数f(x)的图象可知，f(x)在(，0)上单调递增，f(x)在(0，)上单调递减，所以在(，0)上，f(x)0；在(0，)上，f(x)0，选项D满足6已知函数f(x)x22cosx，若f(x)是f(x)的导函数，则函数f(x)的图象大致是() A B C D6答案A解析设g(x)f(x)2x2sin x，则g(x)22cos x0所以函数f(x)在R上单调递增，故选A7函数y4x2的单调递增区间为()A(0，)BC(，1)D7答案B解析由y4x2(x0)，得y8x，令y0，即8x0，解得x，函数y4x2的单调递增区间为故选B8函数f(x)(x2)ex的单调递增区间为 8答案(1，)解析f(x)的定义域为R，f(x)(x1)ex，令f(x)0，得x1，当x(1，)时，f(x)0；当x(，1)时，f(x)0)，令f(x)0，得x1，当x(0，1)时，f(x)0，f(x)单调递增11函数yx2lnx的单调递减区间是()A(3，1)B(0，1)C(1，3)D(0，3)11答案B解析y