专题10含参函数的极值、最值讨论 考点一含参函数的极值【例题选讲】例1设a0，函数f(x)x2(a1)xa(1ln x)(1)若曲线yf(x)在(2，f(2)处的切线与直线yx1垂直，求切线方程(2)求函数f(x)的极值解析(1)由已知，得f(x)x(a1)(x0)，又由题意可知yf(x)在(2，f(2)处切线的斜率为1，所以f(2)1，即2(a1)1，解得a0，此时f(2)220，故所求的切线方程为yx2(2)f(x)x(a1)(x0)当0a1时，若x(0，a)，则f(x)0，函数f(x)单调递增；若x(a，1)，则f(x)0，函数f(x)单调递减；若x(1，)，则f(x)0，函数f(x)单调递增此时xa是f(x)的极大值点，x1是f(x)的极小值点，函数f(x)的极大值是f(a)a2aln a，极小值是f(1)当a1时，f(x)0，所以函数f(x)在定义域(0，)内单调递增，此时f(x)没有极值点，故无极值当a1时，若x(0，1)，则f(x)0，函数f(x)单调递增；若x(1，a)，则f(x)0，函数f(x)单调递减；若x(a，)，则f(x)0，函数f(x)单调递增此时x1是f(x)的极大值点，xa是f(x)的极小值点，函数f(x)的极大值是f(1)，极小值是f(a)a2aln a综上，当0a1时，f(x)的极大值是a2aln a，极小值是；当a1时，f(x)没有极值；当a1时f(x)的极大值是，极小值是a2aln a例2已知函数f(x)lnxax(aR)(1)当a时，求f(x)的极值；(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数解析(1)当a时，f(x)ln xx，函数的定义域为(0，)且f(x)，令f(x)0，得x2，于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表x(0，2)2(2，)f(x)0f(x)ln 21故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值f(2)ln 21，无极小值(2)由(1)知，函数的定义域为(0，)，f(x)a当a0时，f(x)0在(0，)上恒成立，则函数在(0，)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；当a0时，若x，则f(x)0，若x，则f(x)0时，函数yf(x)有一个极大值点，且为x例3设f(x)xlnxax2(3a1)x(1)若g(x)f(x)在1，2上单调，求a的取值范围；(2)已知f(x)在x1处取得极小值，求a的取值范围解析(1)由f(x)lnx3ax3a，即g(x)ln x3ax3a，x(0，)，g(x)3a，g(x)在1，2上单调递增，3a0对x1，2恒成立，即a对x1，2恒成立，得a；g(x)在1，2上单调递减，3a0对x1，2恒成立，即a对x1，2恒成立，得a，由可得a的取值范围为(2)由(1)知，当a0时，f(x)在(0，)上单调递增，x(0，1)时，f(x)0，f(x)单调递增，f(x)在x1处取得极小值，符合题意；当0a1，又f(x)在上单调递增，x(0，1)时，f(x)0，f(x)在(0，1)上单调递减，在上单调递增，f(x)在x1处取得极小值，符合题意；当a时，1，f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，x(0，)时，f(x)0，f(x)单调递减，不合题意；当a时，00，f(x)单调递增，当x(1，)时，f(x)0(1)求函数f(x)在区间(0，)上的零点个数；(2)函数F(x)的导数F(x)f(x)，是否存在无数个a(1，4)，使得lna为函数F(x)的极大值点？请说明理由解析(1)f(x)ex，当0x时，f(x)时，f(x)0，f(x)单调递增，所以当x(0，)时，f(x)minf，因为ff(0)0，所以存在x0，使f(x0)0，且当0xx0时，f(x)x0时，f(x)0故函数f(x)在(0，)上有1个零点，即x0(2)方法一当a1时，ln a0因为当x时，exa0由(1)知，当x(0，x0)时，f(x)0下面证：当a时，ln ax0，即证f0，所以g(x)在上单调递增，由g(1)0，所以存在唯一零点t0，使得g0，且x时，g(x)0，g(x)单调递增所以当x时，g(x)max由g(1)0，g(e)0，得当x时，g(x)0故f0，0ln ax0当0xln a时，exa0，f(x)0，F(x)单调递增；当ln ax0，f(x)0，F(x)f(x)0，F(x)单调递减所以存在a(1，4)，使得ln a为F(x)的极大值点方法二因为当x时，exa0由(1)知，当x(0，x0)时，f(x)0所以存在无数个a(1，4)，使得ln a为函数F(x)的极大值点，即存在无数个a(1，4)，使得ln ax0成立，由(1)，问题等价于存在无数个a(1，4)，使得f0，所以g(x)在上单调递增，因为gln0，所以存在唯一零点t0，使得g0，且当x时，g(x)0，g(x)单调递增；所以当x时，g(x)mingt0ln t0t01，由g0，可得ln t0，代入式可得g(x)mingt01，当t0时，gt010，所以必存在x，使得g(x)0，即对任意a，f0，g(x)0，g(x)在(0，)上是增函数，函数g(x)无极值点当a0时，g(x)，令g(x)0得x.当x时，g(x)0；当x时，g(x)0时，函数g(x)有极大值ln a，无极小值2设函数f(x)ax2(4a1)x4a3ex(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行，求a；(2)若f(x)在x2处取得极小值，求a的取值范围2解析(1)因为f(x)ax2(4a1)x4a3ex，所以f(x)ax2(2a1)x2exf(1)(1a)e由题设知f(1)0，即(1a)e0，解得a1此时f(1)3e0所以a的值为1(2)f(x)ax2(2a1)x2ex(ax1)(x2)ex若a，则当x时，f(x)0所以f(x)在x2处取得极小值若a，则当x(0，2)时，x20，ax1x10，所以2不是f(x)的极小值点综上可知，a的取值范围是3已知函数f (x)x23x(1)若a4，讨论f (x)的单调性；(2)若f (x)有3个极值点，求实数a的取值范围3解析(1)因为a4时，f (x)x23x，所以f (x)2x