专题13导数中对数单身狗指数找基友的应用 导数在高考中占据了及其重要的地位，导数是研究函数的一个重要的工具，在判断函数的单调性、求函数的极值、最值与解决函数的零点(方程的根)、不等式问题中都用到导数而这类问题都有一条经验性规则：对数单身狗，指数找基友，指对在一起，常常要分手考点一对数单身狗【方法总结】在证明或处理含对数函数的不等式时，如f(x)为可导函数，则有(f(x)lnx)f(x)lnx，若f(x)为非常数函数，求导式子中含有lnx，这类问题需要多次求导，烦琐复杂通常要将对数型的函数“独立分离”出来，这样再对新函数求导时，就不含对数了，只需一次就可以求出它的极值点，从而避免了多次求导这种相当于让对数函数“孤军奋战”的变形过程，我们形象的称之为“对数单身狗”1设f(x)0，f(x)lnxg(x)0lnx0，则(lnx)()，不含超越函数，求解过程简单或者f(x)lnxg(x)0f(x)(lnx)0，即将前面部分提出，就留下lnx这个单身狗，然后研究剩余部分2设f(x)0，f(x)lnxg(x)0lnx0，则(lnx)()，不含超越函数，求解过程简单或者f(x)lnxg(x)0f(x)(lnx)0，即将前面部分提出，就留下lnx这个单身狗，然后研究剩余部分【例题选讲】例1 (2016全国)已知函数f(x)(x1)lnxa(x1)(1)当a4时，求曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线方程；(2)若当x(1，)时，f(x)0，求a的取值范围例2已知函数f(x)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为x2y30(1)求a，b的值；(2)证明：当x0，且x1时，f(x)【对点精练】1若不等式xln xa(x1)对所x1有都成立，求实数a的取值范围2(2017全国)已知函数f(x)ax2axxln x，且f(x)0(1)求a；(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e2f(x0)223(2018全国)已知函数f(x)(2xax2)ln(1x)2x(1)若a0，证明：当1x0时，f(x)0时，f(x)0；(2)若x0是f(x)的极大值点，求a考点二指数找基友【方法总结】在证明或处理含指数函数的不等式时，通常要将指数型的函数“结合”起来，即让指数型的函数乘以或除以一个多项式函数，这样再对新函数求导时，只需一次就可以求出它的极值点，从而避免了多次求导这种相当于让指数函数寻找“合作伙伴”的变形过程，我们形象的称之为“指数找基友”1由exf(x)010，则(1)是一个多项式函数，变形后可大大简化运算2由exf(x)010，则(1)是一个多项式函数，变形后可大大简化运算【例题选讲】例3 (2018全国)已知函数f(x)exax2(1)若a1，证明：当x0时，f(x)1；(2)若f(x)在(0，)只有一个零点，求a例4(2020全国)已知函数f(x)exax2x(1)当a1时，讨论f(x)的单调性；(2)当x0时，f(x)x31，求a的取值范围【对点精练】1已知函数f(x)ex1xax2，当x0时，f(x)0恒成立，求实数a的取值范围2已知函数f(x)exax(aR)(1)讨论f(x)的最值；(2)若a0，求证：f(x)x23已知函数f(x)a(x1)，g(x)(ax1)ex，aR(1)求证：存在唯一实数a，使得直线yf(x)和曲线yg(x)相切；(2)若不等式f(x)g(x)有且只有两个整数解，求a的取值范围考点三指对在一起，常常要分手【方法总结】设f(x)为可导函数，则有(exlnxf(x)exlnxf(x)，若f(x)为非常数函数，求导式子中还是含有ex，lnx，针对此类型，可以采用作商的方法，构造lnx，从而达到简化证明和求极值、最值的目的，exlnx腻在一起，常常会分手【例题选讲】例5 (2014全国)设函数f(x)aexln x，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线为ye(x1)2(1)求a，b；(2)证明：f(x)1例6已知函数f(x)a ln x，g(x)(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)证明：a1时，f(x)g(x)ln xe【对点精练】1设函数f(x)，求证：当x1时，不等式2已知f(x)exalnxa，其中常数a0(1)当ae时，求函数f(x)的极值；(2)求证：e2x2ex1lnxx03已知函数f(x)alnx，g(x)(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)证明：a1时，f(x)g(x)lnxe